专题09变量与函数及一次函数概念暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题09变量与函数及一次函数概念暑假预习讲义 ·识记基础概念：分清常量、变量、自变量、因变量；吃透函数核心判定标准：自变量取一个值，因变量有唯一值对应；熟记一次函数y=kx+b(k≠0)、正比例函数y=kx(k≠0)标准形式，理清正比例函数属于特殊一次函数的包含关系。 ·掌握基础技能：看懂函数解析式、表格、图像三种表示方式；会根据整式、分式、二次根式、实际情境求自变量取值范围；能依据定义判断式子是否为一次 / 正比例函数，根据函数类型求参数k、b；结合行程、收费等实际问题列出函数关系式。 ·培养核心思想：理解变量间的对应、变化思想，初步学会用函数模型描述现实中两个量的变化规律，建立数形结合意识。 ·落实预习要求：自主研读课本例题，归纳易混淆概念，圈画参数求值、函数判断等难点题型；独立完成基础习题，整理预习疑问，开学针对性听课突破。 预习必备 知识点梳理 1.常量与变量 2.函数的概念 3.自变量的取值范围与函数值 4.一次函数与正比例函数定义 5.函数图象的画法 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.函数的概念 2.函数解析式 3.求自变量的取值范围 4.求自变量的值或函数值 5.用表格表示变量间的关系 6.用关系式表示变量间的关系 7.用图象表示变量间的关系 8.函数图象识别 9.从函数的图象获取信息 10.用描点法画函数图象 11.动点问题的函数图象 12.函数的三种表示方法 13.正比例函数的定义 14.识别一次函数 15.由一次函数定义求参数 16.列一次函数解析式并求值 17.求一次函数解析式 强化题型 解答题6题 知识点01:常量与变量 1.定义 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。 2.自变量与因变量 在两个相关变量中，主动变化的量叫自变量；随自变量变化而唯一确定的量叫因变量（也叫函数）。 3.举例：路程公式 s=60t，速度 60 是常量；时间t是自变量，路程s是因变量。 知识点02:函数的概念（本章核心，必考定义） 1. 函数严格定义 在某个变化过程中，存在两个变量x、y，如果对于x在允许取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数。 · x：自变量 y：因变量（函数） 2. 函数判断标准（重中之重） 对应关系 是否为函数 举例 一个x对应一个y 是函数 y=2x+1 多个x对应同一个y 是函数 y=x2 一个x对应两个及以上y 不是函数 x2+y2=16 3.函数的三种表示方法 表示方式 概念定义 优点 缺点 适用题型 解析法 用含有自变量的代数式表示函数关系 结构简洁、便于计算、方便研究函数规律 较为抽象，无法直观看出变化趋势 计算题、求自变量取值、求函数值 列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值 数据直观、读取简单、通俗易懂 只能呈现部分数值，无法反应整体变化 选择填空、数据分析题 图象法 在平面直角坐标系中，用点的集合表示函数 直观反映增减变化、变化趋势 数据粗略，不能精准计算 图像选择题、实际应用题 知识点03:自变量取值范围（必考） 取值原则：既要满足代数式有意义，也要贴合实际问题现实逻辑。 代数式类型 取值要求 示例 整式（一次、二次多项式） 全体实数 y=2x+1，x取任意实数 分式（分母含自变量） 分母≠0 y=，(x≠2) 二次根式（根号内含自变量） 被开方数≥0 y=，(x≥3) 实际应用场景 变量具备现实意义（人数、长度≥0） 人数x取非负整数 知识点04:函数值 定义：当自变量x取一个确定的值时，代入解析式计算得到的y值，叫做函数值。. 求函数值步骤 (1)将已知自变量的值代入解析式；(2)根据代数式运算法则计算；(3)得出对应的函数值。 知识点05:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点6:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点07:高频易错点汇总表 易错类型 错误示例 正确知识点 函数判定误区 认为一个y能对应多个x就不是函数 判定标准只看：一个x只能对应一个y，多对一属于函数 忽略k≠0条件 判断y=(m-1)x为正比例函数时，不写m≠1 一次、正比例函数x的系数k绝对不能为 0 混淆两类函数 认为一次函数都是正比例函数 只有b=0的一次函数才是正比例函数 自变量取值漏限制 分式只看分母，实际问题不考虑长度、人数≥0 取值范围同时满足代数式意义 + 实际现实意义 概念书写错误 一次函数写成y=kx+b不标注k≠0 定义必须带上参数限制条件k≠0 题型1.函数的概念 【典例】下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 题型2.函数解析式 【典例】据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是______． 【跟踪专练1】有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型3.求自变量的取值范围 【典例】函数的自变量x的取值范围是__________． 【跟踪专练1】已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】在函数中，自变量x的取值范围是________． 题型4.求自变量的值或函数值 【典例】已知，那么_______． 【跟踪专练1】下列函数经过点的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，那么______． 题型5.用表格表示变量间的关系 【典例】下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【跟踪专练1】我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 【跟踪专练2】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂的物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 … 10 10.5 11 11.5 12 12.5 … 则下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 题型6.用关系式表示变量间的关系 【典例】某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】汽车以的速度由地驶往相距的地，设汽车行驶的时间为，离B地的距离为，则s关于t的函数表达式为___________． 【跟踪专练2】某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 题型7.用图象表示变量间的关系 【典例】如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．  B．  C．   D．   【跟踪专练1】下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【跟踪专练2】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 题型8.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A． B． C． D． 题型9.从函数的图象获取信息 【典例】甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 【跟踪专练1】随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，在整个过程中快递车均匀速行驶．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据题图图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为______min． 【跟踪专练2】如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．时高度和时高度相同 C．时风筝达到最高高度为 D．到之间，风筝飞行高度持续上升 题型10.用描点法画函数图象 【典例】以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【跟踪专练2】小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型11.动点问题的函数图象 【典例】某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 题型12.函数的三种表示方法 【典例】一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【跟踪专练1】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 温度/℉ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．190 D．192 【跟踪专练2】九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 题型13.正比例函数的定义 【典例】正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 题型14.识别一次函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是___________（填序号）． 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 题型15.由一次函数定义求参数 【典例】若函数是一次函数，则的值为_________． 【跟踪专练1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 题型16.列一次函数解析式并求值 【典例】如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________． 【跟踪专练1】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（    ） A．. B． C． D． 【跟踪专练2】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 题型17.求一次函数解析式 【典例】若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【跟踪专练1】小明发现：在一次函数中，每增加1，增加k，b不变，因此也增加．即横坐标差为1时，纵坐标差等于．一次函数经过点，当自变量增加2时，函数值增加4，则该一次函数的解析式为__________． 【跟踪专练2】已知三条直线，直线，直线都经过点，则对于同一个的值，的取值为（   ） A．小于0 B．大于0 C．小于等于0 D．大于等于0 解答题 1．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 2．小慧骑车从甲地到乙地，小聪骑车从乙地到甲地，小慧的速度小于小聪的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小慧的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： (1)点的坐标表示的实际意义为__________． (2)小慧和小聪的速度分别是多少？ (3)求线段所表示的与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 3．某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 (1)这批零件共有多少个？ (2)需要的天数是怎样随着每天生产的零件个数的变化而变化的？ (3)用x表示每天生产的零件个数，y表示需要的天数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ (4)如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 4．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 5．某儿童玩具厂实行计件工资制，每生产一套玩具火车可得3元，若每人每日生产超过100套，则超过部分每套额外奖励元． (1)若某工人一天生产80套，那么他当天的工资是___________元． 若某工人一天生产120套，那么他当天的工资是___________元（用含有的代数式表示）． (2)若某工人一天生产套，那么他每天的工资是多少元？请用函数表达式表示出来． (3)有一天工人老张生产了110套，当天的计件工资是345元，请你求出的值． 6．如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09变量与函数及一次函数概念暑假预习讲义 ·识记基础概念：分清常量、变量、自变量、因变量；吃透函数核心判定标准：自变量取一个值，因变量有唯一值对应；熟记一次函数y=kx+b(k≠0)、正比例函数y=kx(k≠0)标准形式，理清正比例函数属于特殊一次函数的包含关系。 ·掌握基础技能：看懂函数解析式、表格、图像三种表示方式；会根据整式、分式、二次根式、实际情境求自变量取值范围；能依据定义判断式子是否为一次 / 正比例函数，根据函数类型求参数k、b；结合行程、收费等实际问题列出函数关系式。 ·培养核心思想：理解变量间的对应、变化思想，初步学会用函数模型描述现实中两个量的变化规律，建立数形结合意识。 ·落实预习要求：自主研读课本例题，归纳易混淆概念，圈画参数求值、函数判断等难点题型；独立完成基础习题，整理预习疑问，开学针对性听课突破。 预习必备 知识点梳理 1.常量与变量 2.函数的概念 3.自变量的取值范围与函数值 4.一次函数与正比例函数定义 5.函数图象的画法 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.函数的概念 2.函数解析式 3.求自变量的取值范围 4.求自变量的值或函数值 5.用表格表示变量间的关系 6.用关系式表示变量间的关系 7.用图象表示变量间的关系 8.函数图象识别 9.从函数的图象获取信息 10.用描点法画函数图象 11.动点问题的函数图象 12.函数的三种表示方法 13.正比例函数的定义 14.识别一次函数 15.由一次函数定义求参数 16.列一次函数解析式并求值 17.求一次函数解析式 强化题型 解答题6题 知识点01:常量与变量 1.定义 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。 2.自变量与因变量 在两个相关变量中，主动变化的量叫自变量；随自变量变化而唯一确定的量叫因变量（也叫函数）。 3.举例：路程公式 s=60t，速度 60 是常量；时间t是自变量，路程s是因变量。 知识点02:函数的概念（本章核心，必考定义） 1. 函数严格定义 在某个变化过程中，存在两个变量x、y，如果对于x在允许取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数。 · x：自变量 y：因变量（函数） 2. 函数判断标准（重中之重） 对应关系 是否为函数 举例 一个x对应一个y 是函数 y=2x+1 多个x对应同一个y 是函数 y=x2 一个x对应两个及以上y 不是函数 x2+y2=16 3.函数的三种表示方法 表示方式 概念定义 优点 缺点 适用题型 解析法 用含有自变量的代数式表示函数关系 结构简洁、便于计算、方便研究函数规律 较为抽象，无法直观看出变化趋势 计算题、求自变量取值、求函数值 列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值 数据直观、读取简单、通俗易懂 只能呈现部分数值，无法反应整体变化 选择填空、数据分析题 图象法 在平面直角坐标系中，用点的集合表示函数 直观反映增减变化、变化趋势 数据粗略，不能精准计算 图像选择题、实际应用题 知识点03:自变量取值范围（必考） 取值原则：既要满足代数式有意义，也要贴合实际问题现实逻辑。 代数式类型 取值要求 示例 整式（一次、二次多项式） 全体实数 y=2x+1，x取任意实数 分式（分母含自变量） 分母≠0 y=，(x≠2) 二次根式（根号内含自变量） 被开方数≥0 y=，(x≥3) 实际应用场景 变量具备现实意义（人数、长度≥0） 人数x取非负整数 知识点04:函数值 定义：当自变量x取一个确定的值时，代入解析式计算得到的y值，叫做函数值。. 求函数值步骤 (1)将已知自变量的值代入解析式；(2)根据代数式运算法则计算；(3)得出对应的函数值。 知识点05:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点6:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点07:高频易错点汇总表 易错类型 错误示例 正确知识点 函数判定误区 认为一个y能对应多个x就不是函数 判定标准只看：一个x只能对应一个y，多对一属于函数 忽略k≠0条件 判断y=(m-1)x为正比例函数时，不写m≠1 一次、正比例函数x的系数k绝对不能为 0 混淆两类函数 认为一次函数都是正比例函数 只有b=0的一次函数才是正比例函数 自变量取值漏限制 分式只看分母，实际问题不考虑长度、人数≥0 取值范围同时满足代数式意义 + 实际现实意义 概念书写错误 一次函数写成y=kx+b不标注k≠0 定义必须带上参数限制条件k≠0 题型1.函数的概念 【典例】下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义． 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 【跟踪专练1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 【跟踪专练2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 题型2.函数解析式 【典例】据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】先计算出每分钟滴水的体积，再根据总滴水量等于每分钟滴水量乘以时间，推导得到与的函数关系式． 【详解】解：由题意得，每分钟滴水体积为：（毫升）， ∴分钟后，总滴水量满足， ∴与之间的函数关系式是． 【跟踪专练1】有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式的建立，关键在于理解清楚题意，需注意赛制是“单循环形式”，需要两两之间的比赛的总场数除以2． 设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，则每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即可建立函数关系式． 【详解】解：设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即： 故选：． 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 题型3.求自变量的取值范围 【典例】函数的自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围， 根据代数式的分母不等于0，可知，即可得出答案. 【详解】解：函数中，， 解得. 所以函数的自变量的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪专练1】已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，利用时，即对应图象在x轴及其上方，进而求出x的取值范围． 【详解】解：如图所示：当时，或． 故选：D． 【跟踪专练2】在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的取值范围，熟练掌握二次根式的定义即可得到答案．根据即可得到答案． 【详解】解：依题意，， 解得． 故答案为：． 题型4.求自变量的值或函数值 【典例】已知，那么_______． 【答案】5 【分析】本题考查求函数值． 将代入函数解析式计算 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列函数经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，熟知函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把分别代入函数检验即可． 【详解】解：A、当时，，函数图象不经过，故A不符合题意； B、当时，，函数图象不经过，故B不符合题意； C、当时，，函数图象经过，故C符合题意； D、当时，，函数图象不经过，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数求值和二次根式性质与化简，直接把代入，然后根据二次根式性质化简即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得， 故答案为：． 题型5.用表格表示变量间的关系 【典例】下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，从表格中获取信息是关键．观察表格可知，第一行表示月份，第二行表示对应的平均气温，由表格可直接读出时对应的的值，对比各选项，即可得到答案． 【详解】解：当时，的函数值为． 故选：． 【跟踪专练1】我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 【答案】500 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：由表格可得，温度每增加，导热率增加， ∴当导热率为时，温度为： ， 故答案为：500． 【跟踪专练2】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂的物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 … 10 10.5 11 11.5 12 12.5 … 则下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键．由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度增加，当不挂重物时弹簧长度为，然后逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.与都是变量，说法正确，故选项正确，不符合题意； B.弹簧不挂重物时的长度为，故选项正确，不符合题意； C. 物体质量每增加，弹簧长度增加，故选项正确，不符合题意； D.由题意可知，，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，故选项错误，符合题意； 故选：D． 题型6.用关系式表示变量间的关系 【典例】某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总转数=每分钟转数×转动时间”，找出n与t的等量关系即可得到结果． 【详解】解：∵齿轮每分钟转120转，n表示总转数，t表示转动时间（单位：分钟）， ∴总转数=每分钟转数×转动时间， 即． 【跟踪专练1】汽车以的速度由地驶往相距的地，设汽车行驶的时间为，离B地的距离为，则s关于t的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，解题的关键是正确理解题意． 根据离B地的距离s等于总距离减去已行驶距离即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，s关于t的函数表达式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 题型7.用图象表示变量间的关系 【典例】如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 【跟踪专练2】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 题型8.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键． 有两个变量x和y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y与之对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、y不是x的函数，不符合题意； B、y不是x的函数，不符合题意； C、y不是x的函数，不符合题意； D、y是x的函数，符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BB 【分析】本题考查了函数图象的识别，该货车匀速行驶时，行驶速度不变，由此即可得出结果． 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是B． 【跟踪专练2】如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 题型9.从函数的图象获取信息 【典例】甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 【跟踪专练1】随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，在整个过程中快递车均匀速行驶．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据题图图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为______min． 【答案】4 【分析】本题主要考查了函数图像的识别，解题的关键是读懂函数图象， 先根据图象求出快递车行驶的时间，再结合总时间得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶所需时间为， 所以快递车行驶的时间是， 所以快递车在每个快递站卸包裹的时间为． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．时高度和时高度相同 C．时风筝达到最高高度为 D．到之间，风筝飞行高度持续上升 【答案】D 【分析】由图象获取信息，逐项进行判断． 【详解】解：A. 由图可得，风筝最初的高度为，该选项正确； B. 由图可得，时高度和时高度相同，都为，该选项正确； C. 由图可得，时风筝达到最高高度为，该选项正确； D. 由图可知，到之间，风筝飞行高度先上升，再下降，该选项错误． 题型10.用描点法画函数图象 【典例】以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 【跟踪专练1】小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 【跟踪专练2】小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案． 本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意； 步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变， 在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少． 故选：B． 题型11.动点问题的函数图象 【典例】某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据题意判断函数图像的起伏进行判断即可． 【详解】解：某人骑车沿直线匀速行驶，先前进了，这一过程反映在图象上应是自原点出发的一段上升线； 休息了一段时间，时间增加，但距离没有变化，故应是一段水平线； 按原路返回，这一段反映在图象上应是一段下降线； 再前进了，这一过程反映在图象上应是一段上升线，由于行驶中一直保持匀速，故第一段和最后一段上升线的倾斜度相同． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想，关键是将图中点P的运动与选项中的函数图象进行对应． 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由点P的运动可知，点在边上运动时，的面积逐渐变大，可以判断选项不符合题意； 点在边上运动时，的面积不变， 点在边上运动时，的面积逐渐变小， 符合题意的选项为A， 故选：A． 【跟踪专练2】如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在边上运动时，可知，再根据点P在运动路程时，可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设边上的高为h． ∴， 当动点P沿边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在边上运动的路程为； 当点P沿边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 题型12.函数的三种表示方法 【典例】一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 温度/℉ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．190 D．192 【答案】D 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2℉，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：（次）， 即当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是192． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，理清题意，正确列出算式是解题关键． 【跟踪专练2】九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 题型13.正比例函数的定义 【典例】正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 【跟踪专练1】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 题型14.识别一次函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 【跟踪专练1】下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是___________（填序号）． 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握知识点是解题的关键． 【详解】根据一次函数的解析式：k、b为常数）可知符合条件的是②，④、⑤、⑥． 故答案为②④⑤⑥． 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义：形如的函数叫一次函数，从三个方面分析：①只含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③是整式方程；逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．是反比例函数，故此选项不符合题意； B．是一次函数，故此选项符合题意； C．不是一次函数，故此选项不符合题意； D．是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练把握三个方面：①只含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③是整式方程是解决问题的关键． 题型15.由一次函数定义求参数 【典例】若函数是一次函数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不为零求解即可．． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，且， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的轴对称变换，解题的关键是求出直线关于轴对称后的解析式． 将直线关于轴对称，把替换为，得对称后的直线解析式为；将点代入该解析式，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：直线关于轴对称后，解析式为． 将代入，得，即，解得． 故选：B． 题型16.列一次函数解析式并求值 【典例】如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查利用将军饮马求三角形的最短周长，待定系数法求一次函数的解析式； 作B关于x轴的对称点，连接，根据A、、C共线时的周长最小时，得，求出所在直线的解析式即可解答． 【详解】解：作B关于x轴的对称点，连接，当A、、C共线时的周长最小时， ∵B，关于x轴对称，，， ∴， 设所在直线的解析式为 则， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，，即， 故答案为2． 【跟踪专练1】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（    ） A．. B． C． D． 【答案】B 【分析】温度每增加1℃，电阻增加欧，那么温度从℃到t℃，电阻增加欧，进而可得答案. 【详解】解：∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧， ∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为； 故选：B. 【点睛】本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，正确理解题意、弄清函数关系是解题的关键. 【跟踪专练2】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 题型17.求一次函数解析式 【典例】若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 【跟踪专练1】小明发现：在一次函数中，每增加1，增加k，b不变，因此也增加．即横坐标差为1时，纵坐标差等于．一次函数经过点，当自变量增加2时，函数值增加4，则该一次函数的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质和待定系数法，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据函数自变量和函数值的变化得出函数图象经过点，然后再利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，当自变量增加2时，函数值增加4，可参照点得， 一次函数经过点， 将和代入得， ， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知三条直线，直线，直线都经过点，则对于同一个的值，的取值为（   ） A．小于0 B．大于0 C．小于等于0 D．大于等于0 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质． 先利用直线过定点的条件，推导m、a与k的大小关系，再将和变形为含的因式，结合各因式的符号判断乘积的符号． 【详解】解：∵三条直线都过点， ∴将代入得：，即， 又∵， ∴， 解得， 同理，将代入得：， 即， ∵， ∴， 解得， 将代入得：， 即， ∵直线，，都经过点， ∴，，， 则，， 则 ∵，， ∴，， ∴，故 即 故选：A． 解答题 1．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解； （2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数， 当x的值每增加1，y的值增加3， ∴这个函数解析式； （2）解：由题意得：， ∴； 答：再过系统会发出警报． 2．小慧骑车从甲地到乙地，小聪骑车从乙地到甲地，小慧的速度小于小聪的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小慧的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： (1)点的坐标表示的实际意义为__________． (2)小慧和小聪的速度分别是多少？ (3)求线段所表示的与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)出发1小时后，两人相遇 (2)小慧的速度为，小聪的速度为 (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）点B的纵坐标为0，说明此时两人相遇，再根据横坐标为1可得两人相遇需要的时间为1小时，据此可得答案； （2）由函数图象可知，甲、乙两地的距离为，小慧到达目的地的时间为，据此求出小慧的速度，再求出两人的速度之和，进而可求出小聪的速度； （3）由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离，求出小聪到达目的地的时间，进而求出点C的坐标，再列出对应的函数关系式即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知点B的坐标为，故点B的坐标表示的实际意义为出发1小时后，两人相遇； （2）解：∵小慧的速度小于小聪的速度， ∴小慧比小聪后到达目的地， 由函数图象可知，甲、乙两地的距离为，小慧到达目的地的时间为， ∴小慧的速度为， 由（1）可知，出发1小时后，两人相遇， ∴两人的速度之和为， ∴小聪的速度为； 答：小慧的速度为，小聪的速度为； （3）解：由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离， ∵， ∴点C的坐标为， ∴， ∴线段所表示的与之间的函数表达式． 3．某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 (1)这批零件共有多少个？ (2)需要的天数是怎样随着每天生产的零件个数的变化而变化的？ (3)用x表示每天生产的零件个数，y表示需要的天数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ (4)如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 【答案】(1)7200 (2)需要的天数随着每天生产的零件个数的减少而增加，且成反比例变化． (3)，反比例关系 (4)每天要生产800个零件． 【分析】本题主要考查了反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则这两个量成反比例关系； （1）根据每天生产的零件个数与需要的天数乘积一定且都是7200，即可得到答案； （2）根据表格内的数据可得随着需要的天数越来越少，每天生产零件的个数越来越多即可得到答案； （3）由表格可得等式，乘积一定为反比例关系； （4）由（3）的关系，令即可得到答案； 【详解】（1）解：∵（个）， （个）， （个）， （个） ∴这批货物共有7200个； （2）解：由表格的数据可得：需要的天数从36慢慢变到12的同时，每天生产的零件个数从200慢慢变到了600，故可得需要的天数随着每天生产的零件个数的减少而增加，且成反比例变化； （3）解：由表格可得：，x与y成反比例关系； （4）解：∵， 令时，， ∴每天要生产800个零件． 4．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 5．某儿童玩具厂实行计件工资制，每生产一套玩具火车可得3元，若每人每日生产超过100套，则超过部分每套额外奖励元． (1)若某工人一天生产80套，那么他当天的工资是___________元． 若某工人一天生产120套，那么他当天的工资是___________元（用含有的代数式表示）． (2)若某工人一天生产套，那么他每天的工资是多少元？请用函数表达式表示出来． (3)有一天工人老张生产了110套，当天的计件工资是345元，请你求出的值． 【答案】(1)240； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，列函数解析式，已知自变量和函数值求参数，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意直接列出代数式即可； （2）分时和时，分别列出函数表达式； （3）把，代入函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：某工人一天生产80套，那么他当天的工资是（元）， 若他一天生产120套，那么他当天的工资是（元）． 故答案为：240；． （2）解：当时，工资； 当时，工资， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵，且当时，， ∴， 解得． 6．如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，画一次函数图像，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据函数图象可得时，，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而求得当点在上时，的关系式，即可求解； （3）根据题意画出一次函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得当点运动到点，即时，， 设点到的距离为， ∴， ∴ 解得：， 即点到的距离是， 故答案为：． （2）解：当时，； 如图，当点在上时，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，点到的距离是， ∴ 在中， ∴ ∴当时，在上， ∴，， 在中，， ∴ ∴ （3）解：当时，， 如图所示， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $