精品解析：江苏泰州市泰兴市实验初级中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

八年级数学综合练习 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 C. 了解某班学生的跳远成绩 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（ ） A. 被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本 B. 该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体 C. 该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体 D. 样本容量是100名 4. 如图，在中，平分，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 5. 反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且 ，则下列为定值的是（ ） A. 线段的长 B. 的度数 C. 四边形的周长 D. 四边形的面积 二、填空题（每题3分，共30分） 7. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 8. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 9. 在平行四边形中，若，则______． 10. 一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和3个黑球，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 11. 在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图 ．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 12. 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作 轴于点B，点C是x轴上的一点，连接 ，若的面积为3，则的值是______． 13. 若，则______． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上， 于点，于点，则__________． 15. 如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为________． 16. 如图，在中， ， ，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（共102分） 17. 按要求完成各题． （1）分解因式：； （2）化简：． 18. 计算： （1） （2） 19. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 20. 某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 22. 如图，点分别在的边 上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 23. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：、等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 24. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点O为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知， ，求菱形的面积． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）点D（____，_____），______； （2）当点F在第四象限时（如图1），求证： ． （3）设翻折后点F落在直线的下方，当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 26. 性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． （1）初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． （3）素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为 的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学综合练习 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 C. 了解某班学生的跳远成绩 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项调查某市垃圾分类的情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； B选项调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，测试会破坏车辆，适合抽样调查，不符合要求； C选项了解某班学生的跳远成绩，调查范围小，人数少，适合普查，符合要求； D选项了解全国中学生的脊柱侧弯情况，调查范围大，人数多，适合抽样调查，不符合要求． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（ ） A. 被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本 B. 该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体 C. 该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体 D. 样本容量是100名 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本，正确； B、该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体，正确； C、每个八年级学生每天体育运动的时间是个体，正确； D、样本容量是样本中个体的数目，是纯数值，不带单位，“样本容量是100名”的叙述错误． 4. 如图，在中，平分，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先求得 ，利用平行四边形的性质结合角平分线的定义求得 ，利用等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 5. 反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 6. 如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且 ，则下列为定值的是（ ） A. 线段的长 B. 的度数 C. 四边形的周长 D. 四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，， ， 且 ， 四边形 是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵ 与 的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 8. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】根据频数＝频率×总数，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：40×0.15＝6， ∴该班级在这个分数段内的学生有6人， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝频率×总数是解题的关键． 9. 在平行四边形中，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据平行四边形角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，掌握此性质是关键． 10. 一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和3个黑球，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和3个黑球， ∴球的总个数为， ∴从中随机摸出一个球恰好是红球的概率为：． 11. 在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】先在网格中取格点构造平行四边形，再通过勾股定理计算各边长度，验证四边形为平行四边形后，其对角线长度即为两个力的合力大小． 【详解】解：如图，取格点、、，连接、、， 由勾股定理得，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴合力的大小为． 12. 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作 轴于点B，点C是x轴上的一点，连接 ，若的面积为3，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列出不等式组求出的值，代入原式求出的值，再计算 即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上， 于点，于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据矩形的性质可知，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 又 ， ， ． 15. 如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明  ，从而得出，进而求出的长；其次通过作辅助线构造直角三角形，利用  求出梯形的高，最后在中利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： ，  ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点作于点，   ， ， ，  四边形 是矩形， ， ，  ， 在 中， ， ，   在  中，， ． 16. 如图，在中， ， ，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，过点作于点，由勾股定理求得的长，再根据等面积法求得的长，根据垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，设相交于点，过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理， ， ， ∵, ∴当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为． 三、解答题（共102分） 17. 按要求完成各题． （1）分解因式：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【答案】（1）25，20， （2） 由（1）得 ，则频数分布直方图如图， （3）估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 【解析】 【分析】（1）用100乘以第2组的百分比即可求a，求出第4组所占百分比即得m，用乘以第3组人所占百分比即得圆心角； （2）根据（1）所得a的值，画图即可； （3）用1800乘以周末阅读时长达到30分钟的百分比即可． 【小问1详解】 解： ， 第4组所占百分比为： ，则 ， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为 ， （人） 答：若全校有学生1800人，估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 20. 某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】（1）295；0.745 （2）0.6 （3） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数 总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：295；0.745； 【小问2详解】 估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 故答案为：0.6； 【小问3详解】 ， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将一次函数与反比例函数的交点横坐标代入一次函数中，解出点的纵坐标，再将点的坐标代入到反比例函数中求解． （2）联立一次函数和反比例函数的解析式，解出B点坐标．利用方程思想，设出点坐标，利用求出答案． 【小问1详解】 解：将点代入 ，得， ． 将点代入，得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：联立方程组，解得或， ∴， 在 中，令，解得， ∴． 设，如图， ∵， 即， ， ∴或， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及平面直角坐标系求面积问题，解题关键点交点的坐标是联立两个函数解出的解；平面直角坐标系中求图形的面积时要和点的坐标建立联系，结合方程思想解题． 22. 如图，点分别在的边 上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】（1）①（③） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵ ， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）添加合适的条件即可； （2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； 故答案：①或③ 【小问2详解】 略 23. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：、等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】（1）（答案不唯一），验证见解析；（2），验证见解析 【解析】 【分析】（1）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案； （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案． 【详解】（1）（答案不唯一）， 验证：； （2）； 证明：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，观察发现规律是解题关键． 24. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点O为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知， ，求菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧，交于点C，可得，作线段的垂直平分线，交、于点D、B，连接、，可得垂直平分，推出，得到，由平分，推出，得到，进而得到，易证，证明四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得出，， ，，根据直角三角形的性质得出 ，设，则 ，根据勾股定理求出x的值，得出，最后根据菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ，， ∵ ，， 在中， ， ， 设，则 ， 由勾股定理可得：， ， 解得：， （舍去）， ， ， ， 即菱形的面积为． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）点D（____，_____），______； （2）当点F在第四象限时（如图1），求证： ． （3）设翻折后点F落在直线的下方，当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】（1），， （2）证明：由折叠可知，， ∵点为中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质结合点，点的坐标即可得到点的坐标，再利用勾股定理结合点为对角线中点，即可求解； （2）根据折叠的性质得到，，由中点的性质得到得到 ，再利用三角形外角的关系得到，推出，即可证明； （3）根据矩形的对称轴为过中点的直线和过中点的直线，则分点在过中点的直线上或过中点的直线上，两种情况并结合点F落在直线的下方讨论即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点为对角线中点， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴矩形的对称轴为过中点的直线和过中点的直线， ∴矩形的对称轴为直线或直线， 设的中点分别为， 当点在直线上时，如图， ∵点为对角线中点， ∴点在直线上，即在直线上， 由对称的性质得，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 由折叠的性质得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即； 当点在直线上时，如图， 则， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 26. 性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． （1）初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． （3）素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为 的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 【答案】（1）D （2）解：四边形 中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形 的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形 各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是 、 、 、的中位线， ∴ ，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴ ，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴． ∴菱形是正方形， ∴四边形 中点四边形是正方形． （3）①， 证明：如图，记、的中点分别为E、F，连接， ∵四边形中，，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）如图，取四边形 各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）①如图，记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；②设交于点O，连接、、，当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，再结合①的结论即可求得答案． 【小问1详解】 解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形的中点四边形一定是正方形， 理由：∵正方形的对角线相等且互相垂直， ∴正方形的中点四边形是正方形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略； ②如图，设交于点O，连接、、， 当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴ 的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 的最小值， 由①知； 又∵， ∴，即， ∴ 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $