期末复习：全等三角形的判定与性质综合问题、全等三角形中的动点综合问题专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦全等三角形判定与性质综合及动点问题，通过构造辅助线、动态变量表示等方法，系统构建从静态证明到动态探究的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定与性质综合|3例+3变式|延长线段构造全等、特殊到一般转化|以全等判定为基础，结合性质解决线段关系证明，形成“判定-性质-应用”逻辑链| |动点综合|3例+3变式|动态变量代数化、分类讨论全等条件|将运动问题转化为线段等量关系，建立“几何图形-代数表达-逻辑推理”模型|

期末复习：全等三角形的判定与性质综合问题、全等三角形中的动点综合问题专项训练 期末复习：全等三角形的判定与性质综合问题、全等三角形中的动点综合问题专项训练 考点目录 全等三角形的判定与性质综合问题 全等三角形中的动点综合问题 考点一 全等三角形的判定与性质综合问题 例1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． (1)求证：； (2)求证：． 例2．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 变式1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，． (1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ． (2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 变式2．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 变式3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 考点二 全等三角形中的动点综合问题 例1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 例3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 变式2．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，点为的中点．若点在线段上以2个单位每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 变式3．（25-26七年级下·广西百色·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：全等三角形的判定与性质综合问题、全等三角形中的动点综合问题专项训练 期末复习：全等三角形的判定与性质综合问题、全等三角形中的动点综合问题专项训练 考点目录 全等三角形的判定与性质综合问题 全等三角形中的动点综合问题 考点一 全等三角形的判定与性质综合问题 例1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据结合、得到，通过证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得到，再说明，结合得到，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 例2．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由，，，利用，即可判定； （2）由，可得，继而求得，则可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 变式1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，． (1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ． (2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）可证，从而可证，即可求解； （2）可证，从而可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴ ， 即：， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为： ； （2）解：：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵， ∴ ， ∴ ， 即：， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 变式2．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：略． 变式3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)，理由如下： ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据中线的定义得，再结合、，即可由证明； （2）由（1）知，则，再证明，则，然后由，等量代换即可得出结论； （3）先证明得，，再证明，得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）略 （3）略 考点二 全等三角形中的动点综合问题 例1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 例3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 变式2．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，点为的中点．若点在线段上以2个单位每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】点的运动速度为2个单位每秒或3个单位每秒． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论与全等的情况，根据全等三角形的对应边相等列方程求解． 已知，可得．设运动时间为秒，分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：，． 设运动时间为秒，则． 点为的中点，． 情况一：当时 ． 由可得， 解方程，即，得． ，， 那么点的运动速度为（个单位每秒）； 情况二：当时： 则， 可得， 解方程，得． ， ， 那么点的运动速度为（个单位每秒）． 综上，当点的运动速度为2个单位每秒或3个单位每秒时，能够使与全等． 变式3．（25-26七年级下·广西百色·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 2 学科网（北京）股份有限公司 $