2026年河北邯郸市大名县初中学业水平模拟考试 数学试卷(六)

2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（六） 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置， 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答 题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在 答题卡上对应题目的答题区域内答题、 ǎ 5.考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 興 题意) 1.下列计算结果为a°的是 A.a3.a3 B.(-a4) C.(-a2)3 D.a12÷a2 2.将三角形纸片ABC按如图1所示的方式折叠，则展开后得到的折痕AD是△ABC的 A.AB边上的高线 B.角平分线 B C.AB边上的中线 图1 D.BC边上的垂直平分线 3.随着科技的发展，纳米材料在很多领域有广泛应用.一种新型纳米颗粒的直径约为 0.0000000267米，将数据0.0000000267用科学记数法表示为 A.2.67×10-6 B.0.267×10-7 C.2.67X10-8 D.26.7×10-9 如 4.如图2，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比i=1：3,当他沿斜坡向下直线滑行80m 时，他下降的高度为 A.20√5m B.40m C.803 3 m 图2 D.403m 数学试卷（六）第1页（共8页） 5.下列运算正确的是 A.√⑧+√2=3,2 B.√3X5=√⑧ C.2÷√2=2 D.√-3)z=-3 6.如图3，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于直线PQ对称，CC交PQ于点R,则下列结论不 P 一定正确的是 B A.AB=A'B' B.∠ABC=∠A'B'C C.CC'LPQ D D.AB∥B'C 图3 7.某校团体操比赛中，每班由8位专业评委进行打分，九(3)班参加比赛得分的折线统计图如图4 所示，则这组数据的中位数、众数分别是 A.95,92 B.92,95 C.94.5,90 D.94.5,95 分数分 96 94 91 9 012345678评委 A 图4 图5 8.如图5，在正方形网格纸中，点A,B,C,D,E都在格点上，下列四个格点三角形：△ADE, △ACE,△BDE,△CDE中，与△ABC相似的三角形个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9.某文具店购进一批笔记本，进价为每本5元，出售时标价为每本8元.为了清理库存，文具店打 算打折销售，且要保证利润率不低于20%，则该笔记本最低可以打 A.七五折 B.八五折 C.七折 D.八折 10.如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E.若AB= 2√3，BC=4,则AE的长为 8 B号x C23 图6 3 D.√3π 数学试卷（六）第2页（共8页） 11.如图7，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一动点（不与端点重合），连接CE,将CE绕点 C顺时针旋转90°得到CF,连接EF,DF.若AB=√2，则△DEF面积的最大值为 A.2 B.√2 C.1 图7 D 12.如图8，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于A(一4,0)，B(2,0),交y轴负半轴于点C,对称轴 交抛物线于点D,交x轴于点E,则下列结论：①2a一b=0;②abc>0;③a一b≤am2+bm(m为 任意实数)；④若点Q(m,n)是第三象限内抛物线上的动点，当△QAC的面积最大时，m=一2， 其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D D.4个 图8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.比较大小：3√3 2√7.（填“>”“<”或“=”） 14.嘉嘉想用总长度为16分米的竹条做等腰三角形风筝骨架，他先剪了一段4分米长的竹条作 为其中一条边，若竹条全部用完，则这个风筝骨架的底边长是 分米 15.将一个平行四边形纸片ABCD进行折叠，第一次折叠经过点A,使 D 边AD和AB重合，折痕交边CD于点E,展开后进行第二次折叠，第 1 二次折叠经过点B,使边BC和AB重合，折痕交边CD于点F,展开 图9 后如图9所示.当CE=EF时，若AB=9,则AD的长是 16.如图10，点A为第一象限内函数y-经(>0)图象上一点，连接0A, 交函数y=2(x>0)的图象于点B,点C是x轴上一点，且A0=AC 已知职-3，且△ABC的面积为6，则点一点的值是 0 图10 数学试卷（六）第3页（共8页） 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分7分) 已知代数式A=2士1+父-2x-2,B=x十6x. x+1 x+1 (1)化简A; (2)当A的值比B的值大3时，求x的值. 18.(本小题满分8分) 如图11-1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，点A位于不完整的数轴 上，四边形ABCD的顶点A,B,C,D均落在格点上.已知a,b是数轴上的两个实数，且满足 (a+3)2+1b-21=0. (1)求a和b的值，并在图11-1中补全数轴（以向右为正方向），标出数b所表示的点的位置； (2)以(1)中的数轴为x轴，取竖直向上为正的直线为y轴，且与x轴的单位长度相同，在图 11-2中建立相应的平面直角坐标系，并写出点A和点D的坐标； (3)在(2)的条件下，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交x轴于点E(点E在点A左侧)， 直接写出点E的坐标 图11-1 图11-2 数学试卷（六）第4页（共8页） 19.(本小题满分8分) 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“唐山皮影制作”非遗实践课程，组织九年级学生参加皮 影制作技能测试，测试结果分为A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级.为了解活 动效果，随机抽取部分学生的测试结果进行整理，得到不完整的统计图如下 学生皮影制作测试结果条形统计图 学生皮影制作测试结果扇形统计图 人数 14 10 C B 35% 30% 6 A D BCD等级 图12-1 图12-2 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数是 名，补全“学生皮影制作测试结果条形统计图”； (2)扇形统计图中表示D等级的扇形圆心角的度数是 (3)若九年级共有学生760名，估计九年级参与皮影制作技能测试“优秀”(A等级)的人数为 名； (4)某班有4名优秀的同学：甲、乙、丙、丁，班主任要从中随机选择两名同学进行制作经验分 享，利用画树状图法或列表法求甲同学被选中的概率 数学试卷（六）第5页（共8页） 20.（本小题满分8分) 如图13-1是一个湖畔景观道路灯，如图13-2，嘉嘉想测量路灯的高度，于是他在地面的C 点用测角仪CM从点M测得路灯顶端A的仰角为60°，然后他在地面的D点用同一台测角仪 DM从点M'测得路灯顶端A的仰角为45°.已知CD=6m,测角仪的高度是1.6m(B,C,D 在同一直线上). (1)求点C到路灯底部B的距离（结果保留一位小数）； (2)求路灯AB的高度（结果保留一位小数）. (参考数据：tan60°≈1.73，tan45°=1.00) M∠M D C B 图13-1 图13-2 21.(本小题满分9分) 某生态工程团队计划在滨海滩涂实施“蓝绿交织”示范工程，种植耐盐碱乔木，构建多层次海 岸防护带.已知乙种绿植栽植费用为120元/亩.甲种绿植栽植费用与种植面积之间满足一次 函数关系，部分数据如下表： 种植面积x/亩 300 600 栽植费用y/元 540000 1080000 (1)利用表格中的数据，求出y与x之间的函数表达式. (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共800亩，若甲种绿植的种植面积不少于300亩，且不超 过乙种绿植种植面积的1.5倍. ①求出x的取值范围； ②应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用W最少？总费用最少为多少元？ 数学试卷（六）第6页（共8页） 22.(本小题满分9分) 如图14，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O,以点O为圆心、OA为半径作⊙O,过点O 作OF⊥AD于点F,交劣弧AD于点G,连接AG,DG,OD. (1)求证：△AOF∽△ACD. (2)若AC=10,∠AGD=120°， ①求线段DG的长； ②过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E,求线段DE的长， 图14 23.(本小题满分11分) 如图15，已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A(1,0), B(3,0). (1)求该抛物线的解析式。 (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断△BCD的形状， (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ACM的周长最小.求出点M的坐标 及最小周长 AB 图15 数学试卷（六）第7页（共8页） 24.(本小题满分12分) 已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12,BC=6,点D为边AB上一点（不与端点重合），且 铝-&，过点D作EDLAB,交边AC于点E,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△APG,其中 旋转角∠BAF=a(0°<a<360). (1)如图16-1，连接BF,CG,求证：△ACG∽△ABF. (2)如图16-2，当点F在△ACG内部时，连接CF,若△CFG的面积为8，△ACF的面积为 24,求△AFG的面积S,并求出此时k的值. (3)若点N为直线AB上一点，且在△ADE旋转的过程中，FN+GN的最小值为3， ①求k的值； ②在①的条件下，直接写出当B,F,G三点共线时△CFG的面积. G B D D 图16-1 图16-2 备用图 数学试卷（六）第8页（共8页） 2026年河北省初中学业水平模拟考试 与∠A'B'C'是对应角，·∠ABC=∠A'B'C',选项B正确；：C 数学试卷（六） 与C是对应点，且对称轴是对应点连线的垂直平分线，PQ垂 直平分CC',即CC'⊥PQ,选项C正确；AB与B'C不一定平行， 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 选项D错误，故选D, 题号 1 2 3 4 6 7.D【命题立意】本题主要考查了统计量：中位数和众数，核心素 答案 A U B A D 养表现为数据观念 题号 7 8 9 10 11 12 【解析】将这8个数由小到大排列，可得90,90,92,94,95,95,95， 答案 D B A C D C 96,所以中位数是4士5-94.5因为95出现的次数最多，所以 1,A【命题立意】本题主要考查了幂的运算，核心素养表现为运 算能力 众数是95.故选D. 【解析】a3·a=a,选项A正确；（一a)2=a,选项B错误， 8.B【命题立意】本题主要考查了相似三角形的判定，核心素养 （-a2)3=一a°，选项C错误；a2÷a2=a°，选项D错误故选A 表现为几何直观和推理能力， 2.B【命题立意】本题主要考查了轴对称的性质、角平分线的定 【解析】先计算△ABC三边的比：W2:2:V0=1:2:√5，再 义，核心素养表现为几何直观和空间观念， 计算△ADE,△ACE,△BDE,△CDE的三边比，它们分别为 【解析】由折叠的性质可得，点C关于直线AD的对称点是C', 1:2:5w5:√5：√10=1：1：√2,1：√2：V52:V5: ∠CAD=∠CAD,.AD是△ABC的角平分线.故选B. √5，根据三边成比例判定相似，可以发现△ADE,△BDE与 3.C【命题立意】本题主要考查了科学记数法一表示较小的 △ABC相似.即四个格点三角形中有2个三角形与△ABC相 数，核心素养表现为运算能力 似.故选B. 【解析】0.0000000267=2.67×10-8，故选C. 9.A【命题立意】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用， 4.B【命题立意】本题主要考查了坡比的定义，核心素养表现为 核心素养表现为模型观念和运算能力， 几何直观和运算能力， 【解析】已知进价为每本5元，要保证利润率不低于20%，则最 【解析】设下降的高度为xm,则下降前后的水平距离为W3xm. 低售价为5X(1+20%)=5×1.2=6(元). 依题意，得√x2+(W3x)2=80,解得x=40,即他沿斜坡向下滑 设打x折， 行80m时，下降的高度为40m.故选B. 由题意，得8×品≥6， 5.A【命题立意】本题主要考查了二次根式的相关运算，核心素 养表现为运算能力 解得≥g×10=7.5, 【解析V⑧+√2=22+V2=3√2，选项A正确w3XW5=√3X5= 该笔记本最低可以打七五折，故选A. √5，选项B错误2÷√2=√2，选项C错误；√(-3)=3，选项 10.C【命题立意】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的性 D错误.故选A 质、直角三角形、弧长公式，核心素养表现为几何直观和推理 6.D【命题立意1本题主要考查了轴对称的性质，核心素养表现 能力， 为几何直观和推理能力 【解析】连接BE,,CD是扇形BAF的切线，切点为E,∴BEL 【解析】，四边形ABCD与四边形A'B'CD关于PQ对称， CD AB与A'B是对应边，.AB=A'B',选项A正确；，∠ABC AD∥BC,且BA⊥AD,∴，∠ABC=90°. 数学试卷参考答案及评分细则第27页 已知AB=25,在Rt△BCE中，BE=BA=2√3， (-1)十c=a一b十c,对于m为任意实数，都有a一b+c≤ am2+bn十c,即a-b≤am2+bm.故③正确. B5=5,∠EBC=30, :在R△BCE中，cos∠EBC-BC-=岂 结论④：设抛物线解析式为y=a(x十4)(x一2)，则C(0,一8a), ∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-30°=60°， .AC所在的直线方程为y=一2ax一8a. “A正的长度为60XxX23=23】 点Q(m,n)在抛物线上，故n=a(m十4)(m-2). 180 3π故选C 过Q作x轴的垂线，交AC于点P, 11.D【命题立意】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、 则P点的坐标为(m,一2am一8a), 全等三角形的判定及性质，核心素养表现为几何直观、空间观 iSa-ou+XX(-2am-8a)-a(m+ 念和推理能力 【解析】由旋转的性质可得CE=CF,∠ECF=90°. 4)(m-2)]=-2a(m2+4m)=-2a(m+2)2+8a. :四边形ABCD是正方形，∴BC=DC,∠BCD=90. ∴当m=一2时，S△o4c取得最大值.故④正确. '∠BCE+∠ECD=90°，∠DCF+∠ECD=90°， 综上，①③④正确，共3个，故选C. .∠BCE=∠DCF, 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） ∴△BCE≌△DCF(SAS), 13.<【命题立意】本题主要考查了无理数的大小比较，核心素养 ∴，BE=DF,∠CBE=∠CDF. 表现为运算能力。 ∠CBE+∠EDC=90°，∴∠CDF+∠EDC=90°， 【解析】：(3√3)2=27，(2√7)2=28,27<28，∴33<2√7. ∴SAEs=合DP·DE=合BE·DE. 14.4【命题立意】本题主要考查了等腰三角形的特点和三角形的 三边关系，核心素养表现为几何直观和推理能力. 由于正方形的边长AB=√2，∴对角线BD的长为2. 【解析】分两种情况讨论： 设BE=x,则DE=2-x 情况1(4是腰)：底边=16一2×4=8（分米），此时三边为4,4， ∴5ag=22-)=-合女+z 8,不成立； :-名<0，∴当x=1时，Sag可取最大值，最大值为宁 情况2(4是底)：腰=(16一4)÷2=6（分米），此时三边为6,6， 4,成立.因此，底边长是4分米， 故选D. 15.6【命题立意】本题主要考查了平行四边形的性质和折叠的性 12.C【命题立意】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物 质，核心素养表现为几何直观和推理能力， 线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，以及利用函数图象分 【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD,∴.∠AED= 析参数符号、最值问题和三角形面积的动态变化，核心素养表 ∠BAE,∠CFB=∠ABF 现为运算能力、几何直观和推理能力， 由第一次折叠可得∠DAE=∠BAE,∴.∠DAE=∠AED, 【解析】结论①；：抛物线与x轴交于A(一4,0)，B(2,0),对 ∴AD=DE 称销为直线x=二牛-1，又：对称轴公式为=一品，故 2 由第二次折叠可得∠CBF=∠ABF,∠CFB=∠CBF, -2a=-b,.2a-b=0.因此①正确. ..CF=BC. 结论②：由于抛物线开口向上，故a>0.b=2a,,b>0.抛 AD=BC,∴DE=CF,∴CE=DF 物线与y轴交于负半轴，故c<0,∴abc<0,②错误. ,CE=EF,∴.CE=EF=DF 结论③：当x=一1时，抛物线取得最小值y=aX(一1)2+b× AB=9,.CE=EF=DF=3,..AD=DE=DF+EF=.6. 数学试卷参考答案及评分细则第28页 16.8【命题立意】本题主要考查了反比例函数的图象及性质、k 即x-1=x2+6x+3, 的几何意义，核心素养表现为运算能力和几何直观. 整理得x2十5x十4=0，…5分 【解析】设点A(x),点B(x2,y). 解得x1=-4,=一1.…6分 :A在)-点上，=点，即= xI A的分母为x十1，故x≠一1，因此x=一1不合题意，应舍 :B在y=上，y= ,即k2=x必： 去，x的值为一4.…7分 18.【命题立意】本题主要考查了平方和绝对值的非负性、点的坐 已蜘器=则8册-号 标、勾股定理，核心素养表现为几何直观和运算能力. 0,A,B三点共线，x=3业=31 解：(1)(a+3)2+1b-2|=0, ∴.(a+3)2≥0，|b-2|≥0，即a+3=0,b-2=0, 由于AO=AC(已知)，则△AOC是等腰三角形，点A在OC的 a=-3,b=2.…2分 垂直平分线上 补全的数轴和数b所表示的点的位置如图所示。…4分 ~点A的横坐标为x1,故C点坐标为(2x1,0). 又：△ABC的面积为6，且△ABC的面积=△AOC的面积- △BOC的面积， -3-2-011 △A0C的面积=受×0CX3%=号×2xX=, (2)以数轴的原点为公共原点，过原点作竖直向上的数轴作为 △B0C的面积=号×0CX为=号×2×号%=号4W, y轴（与原数轴垂直），建立平面直角坐标系，如图所示。 ………………5分 ÷△ABC的面积=五y-号=号4=6，得=9， 1 即=9. .1 .1 1 . 由五=3业=31，得=五业=3西×3 9西4= 9X9=1, 通过方格纸数格子确定A,D坐标：A(1,0),D(一1,1). k1-k2=9-1=8. …………………(每个坐标1分)7分 三、解答题（本大题共8小题，共72分） (3)E(1一√5,0).…8分 17【命题立意】本题主要考查了分式的化简和一元二次方程的解 【解析】由A,D点的坐标可以求AD的长度为5， 法，核心素养表现为运算能力. :以点A为圆心，AD长为半径画弧，交x轴于点E(点E在点 解：(1)A=2红+1+x-2x-2 x+1 x+1 A左侧)，.点E的坐标为(1一√5,0) -2z+1十主-2x-2…1分 19.【命题立意】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、用样本 x+1 估计总体、用画树状图法和列表法求概率，核心素养表现为数 =-1 x+1 …………3分 据观念和模型观念 =x-1. 4分 解：(1)40…………………2分 (2)由题意得A=B十3， 补全后的条形统计图如图所示：…3分 数学试卷参考答案及评分细则第29页 人数 AP 在RtAAMP中，tan45°=7，即AP=x+6,② …4分 12 10 ①②联立，解得x≈8.2. 答：点C到路灯底部B的距离约为8.2m.…5分 (2)由(1)可知AB-1.6=AP=BD=BC+CD=8.2+6= 0 8 D 等级 14.2(m）,……… …7分 【僻析】由题意得，B等级有12人，占比30%， .AB=AP+BP=14.2+1.6=15.8(m). .12÷30%=40(名) 答：路灯AB的高度约为15.8m…8分 C等级人数=40×35%=14（名）. 21.【命题立意】本题主要考查了一次函数的性质、不等式、最值，核 (2)72°…4分 心素养表现为模型观念和运算能力， 【解析D等级的扇形圆心角的度数为360×号=72 解：(1)设甲种绿植栽植费用与种植面积之间的函数关系式为 y=kx十b. (3)114……5分 根据表格数据，将(300,540000)和(600,1080000)代人关系式， 【解折】优秀”(A等级)人数占比=8×100%=15%.。 (540000=300k+b, 了k=1800, 得 解得 …2分 :全校九年级学生有760名，则有760×15%=114，即优秀人 1080000=600k+b, 6=0, 数约为114名. 故函数表达式为y=1800z.……3分 (4)画树状图如下： (2)①，甲种绿植面积不少于300亩，.x≥300.…4分 开始 ,甲种绿植面积不超过乙种绿植面积的1.5倍， x≤1.5(800一x),解得x≤480，…5分 .x的取值范围是300≤x≤480.…6分 7分 ②由题意得W=1800x+120(800一x)=1680x+96000. 可见，共有12种等可能的情况，其中选中甲同学的情况有 …7分 6种， :1680>0,W随x的增大而增大， 5P(甲同学被选中)=是= 1 ……………8分 .当x=300时，W最小， 20.【命题立意】本题主要考查了解直角三角形的应用，核心素养表 .W小=1680X300+96000=600000,…8分 现为几何直观、模型观念和运算能力。 .甲种绿植种植300亩，乙种绿植种植800一300=500（亩）. 解：(1)设BC=xm,MM的延长线交AB于点P. 答：甲种绿植种植300亩，乙种绿植种植500亩，才能使得总费 由题意，得CM=DM=1.6m,PM=BC=xm 用W最少，总费用最少为600000元.…9分 由第一次观测可得∠AMP=60°. 22.【命题立意】本题主要考查了矩形的基本性质、圆的基本性质、 在R△AMP中，m60-品=号，脚2兰≈1.73,2分 垂径定理、相似三角形的判定、等边三角形的判定及性质，核心 素养表现为几何直观和推理能力. .AP≈1.73x.①…3分 (1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90,…1分 由第二次观测可得∠AMM=45°，PM=BD=BC+6= ,过点O作OF⊥AD于F,∠AFO=90°， (x+6)m. ∠AFO=∠ADC…2分 数学试卷参考答案及评分细则第30页 N∠OAF=∠DAC, 则BD2=BE+DE2=12+12=2, .△AOF∽△ACD. ……3分 CD2=CF2+DF2=42+22=20, (2)解：①AC=10,∴0A=0D=号AC=5.…4分 BC十BD2=CD2,…7分 △BCD是直角三角形。…8分 OGLAD,垂足为F,AG=DG,DG=AG. ……5分 OA=OD,OG为公共边，△OAG≌△ODG(SSS), ,∴.∠AGO=∠DGO. ∠AGD=120°， ∴∠AGO=∠DGO=60°，…6分 .△GOD是等边三角形， (3):AC为定值，要使△ACM周长最小，则需AM+CM DG=OD=5。…7分 最小。 ②在等边三角形G0D中，GD=5,∠ODG-∠DG0=60°，DF⊥OG, A(1,0)与B(3,0)关于对称轴x=2对称， ÷DF=5y5,∠ODF=30, 2 ∴，AM=BM,故AM+CM=BM+CM>BC AD=2DF=55.…8分 直线BC过B(3,0)和C(0,3),其解析式为y=-x十3. …9分 DE是⊙O的切线， ..OD DE 当x=2时，y=1,.BC与对称轴的交点的坐标为(2,1). ∴∠ADE=∠ODE-∠ODF=60 当点M位于(2,1)处时，△ACM的周长最小，为AC+BC 在矩形ABCD中，∠BAD=90°，E在BA的延长线上， ……10分 .∠DAE=90° :AC=√OA+0C=√+32=√10，BC=√OB2+0C= 在Rt△ADE中，DE= COSZADE-10月.…9分 DA √32+32=3w2, 23.【命题立意】本题主要考查了二次函数的图象与性质、几何图形 .△ACM的最小周长为10+32.11分 判定及最短距离问题，核心素养表现为模型观念、运算能力、几 24.【命题立意】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定及 何直观和推理能力. 性质、三角形面积的计算、勾股定理、最短路径问题，核心素养 解：(1)抛物线与y轴交于C(0,3),.c=3,抛物线解析式 表现为几何直观、空间观念和推理能力， 为y=ax2+bx十3. …1分 (1)证明：ED⊥AB, ,抛物线过点A(1,0),B(3,0), ∴.∠ADE=90° a+b+3=0, a=1, ,∠ABC=90°， 代人得 解得 ,3分 9a+3b+3=0,b=-4, ∴.∠ABC=∠ADE. …1分 ,抛物线解析式为y=x2一4x十3.…4分 又∠EAD=∠CAB, (2)由(1)得抛物线解析式为y=x2-4x十3=(x一2)2一1. ∴.△ADEn△ABC, ,顶点D的坐标为(2，一1).……5分 怨溫 ……2分 B(3,0),C(0,3), '将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AFG, .BC2=OC2+OB2=32+32=9+9=18. ”6分 ∠GAF=∠EAD,AG=AE,AF=AD, 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点D作y轴的垂 线，交y轴于点F, 六A8=铝，∠GAC=∠GAP-∠CMF=∠CAB-∠CAR= 数学试卷参考答案及评分细则第31页 ∠FAB, …3分 -=器= …11分 ·△ACGD△ABF. 4分 ©93 …12分 (2)解：在Rt△ABC中，AB=12,BC=6,∴.AC=6V5.…5分 2 由(1)得△ADE∽△ABC,△ADE≌△AFG 【解析】由①易得AD=AF=2AB=6,DE=FG-号BC=3. 铝=， 情况一：当B,F,G三点共线，且F在点B,G之间时，如图所 .AD=12k,DE=6k,旋转后AF=AD=12k,FG=DE=6k. 示，过C作CM⊥BG于点M. ………6分 如图，过点C作CI⊥GF的延长线于点I,过C作CH⊥AF交 AF的延长线于H,易得四边形CIFH是矩形， :∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBM=90°， ∴.∠BAF=∠CBM 又'∠AFB=∠BMC=90°， ∴.△BFAC∽△CMB, ∴CI=HF. 器器 SaaeGF CI-8, ∴BM=合AF=3, C-，即H=条…7分 ∴.CM=√BC-BM=√62-3=35， AH=HF+AP=员+126=8+6C 3k Sae=号FG.CM=号X3X3w5= 2 SMe=合AP.CH=24, 情况二：当B,F,G三点共线，且点G在点B,F之间时，过点C 作CM⊥FB于点M,如图所示. :CH=是 在Rt△AHC中，由勾股定理得AH+CP=AC, ÷(2)'+(告)》”=65r0,8分 由于S=7AP·FG=2×12X6k=36t②， 由于∠ABC=90°，∠MBC+∠ABF=90° 将①变形得(8+36)2+9X16=(6√5)2×9k2, 又·∠FAB+∠ABF=90°，.∠MBC=∠FAB, 将②代人得(8+S)2+9×16=45S,即S2一29S十208=0， .Rt△BMC∽Rt△AFB, 獬得S=16或S=13.…9分 将S=16或S=13代人②， ÷8器-器BM-ABC-=3, AB 由于0<<1，∴k=号或k=区 “CM=√BC-BM=√62-3=3V5, 6 …10分 (3)解：①：当F,G两点分别在直线AB两侧，且F,N,G共线 4Sa6=FGCM=号X3X8vg- 2 时，FN+GN的值最小，此时FG=3,∴DE=FG=3. :△ABC∽△ADE 综上所述，当B,F,G三点共线时，△CFG的面积为y 2 数学试卷参考答案及评分细则第32页