精品解析：2024年河北省邯郸市大名县第十中学中考三模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试 数学试卷（M三） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在由正方形组成的网格图中有2条线段，如果再画1条线段，使上述3条线段组成一个中心对称图形，最多能画出的线段的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（ ） A. 0.1058 B. 1.058 C. 10.58 D. 1058 6. 如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，添加后所得的新几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 8. 嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 9. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 10. 如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东方向航行到达码头C，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图： （1）以A圆心，长为半径画弧； （2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接，与交于点E，连接． 小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ） ①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 12. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（ ） A. 甲乙 B. 甲丙 C. 乙丙 D. 丙丁 13. 如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 15. 在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 在中，对角线相交于点O，E是近上的一个动点（不与A、B重合）连接并延长，交于点F，连接，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形始终是平行四边形； 乙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是矩形； 丙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是菱形； 丁：若，，则至少存在一个点E，使得四边形是正方形．以上所有正确说法的序号是（ ） A. 甲、丙、丁正确，乙错误 B. 甲、乙、丙、丁都正确 C. 甲、乙、丙正确，丁错误 D. 甲、乙、丙错误，丁正确 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 18. 某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为________平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是________米． 19. 如图，已知正方形的边长为8，点E在边上，的中点为G，绕点E顺时针旋转得，若，则： （1）当时，的长为________； （2）在x的变化过程中，的最小值是________． 三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 在计算“”中的“□”填入运算符号． （1）填入“×”并计算； （2）要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 21. 已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①用含m的代数式表示S甲＝_______________，S乙＝_______________． ②用“<”、“＝”或“＞”号填空S甲_______________S乙， （2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正， ①该正方形的边长是____________．（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 22. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，数学课外实践小组在全校随机调查了部分学生对这些交通法规的了解情况，调查结果分为五种：A．非常了解，B．比较了解，C．了解，D．基本了解，E．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了________名学生，条形统计图中“C．了解”有________人； （2）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A．非常了解”的学生共有多少名？ （3）现从“基本了解小组”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加遵守交通法规，关爱生命旅程的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 23. 琪琪在如图所示粗糙的平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，位于水平面且平行于，坡面与水平面的夹角为，其中，，． （1）琪琪将圆盘从点A滚到与坡面相切的位置，此时圆盘的圆心O所经过的路线长是多少？ （2）请计算出琪琪将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长度． 24. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题： （1）求甲、乙两车的行驶速度； （2）求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式； （3）求乙车出发多少小时，两车相遇？ 25. 如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ （3）如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 26. 如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（） （1）求线段的长． （2）当点Q在上运动时，求的值； （3）当DE与的直角边平行时，求的长． （4）若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试 数学试卷（M三） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：A． 2. 如图，将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，对各选项计算后即可求解． 【详解】解：A：，故选项A不符合题意； B：，故选项B不符合题意； C：，故选项C不符合题意； D：，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在由正方形组成的网格图中有2条线段，如果再画1条线段，使上述3条线段组成一个中心对称图形，最多能画出的线段的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据轴对称的性质画出所有线段即可． 【详解】解：如图所示，共有4条线段． 故选：A． 5. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（ ） A. 0.1058 B. 1.058 C. 10.58 D. 1058 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】105800000用科学记数法表示为， 故选B 6. 如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，添加后所得的新几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：添加后所得的新几何体的主视图有三列，从左到右小正方形的个数分别是1、3、1． 故选：B． 7. 甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】解： ， ∴开始出现错误的同学是乙同学， 故选B． 8. 嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将点代入， 可得：， 解得：， ， 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 9. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， 该班40人的测试成绩的平均分为90分不变， 根据方差的计算公式， ， ， 可得方差变小了， 故选：A． 10. 如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东方向航行到达码头C，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方位角定义得出，，，根据平行线的性质得出，利用三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图： （1）以A圆心，长为半径画弧； （2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接，与交于点E，连接． 小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ） ①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 利用作法可判断垂直平分，则可对②③进行判断；利用“”可对①进行判断；通过说明可对④进行判断． 【详解】解：由作法得， 则垂直平分，点与点关于点对称， 而点与点不关于对称，所以②错误，③正确； 利用为公共边， 所以，所以①正确； 由于与不平行， 则， 而， 则，所以④错误． 故选：B． 12. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（ ） A. 甲乙 B. 甲丙 C. 乙丙 D. 丙丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，熟练掌握等式的性质和不等式的性质是解题的关键．等式的性质和不等式的性质进行推理，即可判断答案． 【详解】若，则， 解得， 所以甲的结论正确； 若，则， ， 解得， 所以乙的结论错误； 若，则， 则， ， 解得， 即， 所以丙的结论正确； 若时， 则， ， 解得， 所以丁的结论错误． 故选B． 13. 如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作于点E，设正六边形的边长为a，分别计算出和即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点E， 设正六边形的边长为a， 则， 在直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14. 如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G， 菱形是中心对称图形， 经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由中心对称图形可知， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 15. 在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中，表示出第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，即可得，解得，进而有则最后中间盘子苹果的个数为：，结合，即可作答 【详解】本题主要考查了整式的计算，设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中， 第一次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第二次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果．个， 根据题意有：， 解得：， 则最后中间盘子苹果的个数为：， ∵， ∴， 故选：D． 16. 在中，对角线相交于点O，E是近上的一个动点（不与A、B重合）连接并延长，交于点F，连接，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形始终是平行四边形； 乙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是矩形； 丙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是菱形； 丁：若，，则至少存在一个点E，使得四边形是正方形．以上所有正确说法的序号是（ ） A. 甲、丙、丁正确，乙错误 B. 甲、乙、丙、丁都正确 C. 甲、乙、丙正确，丁错误 D. 甲、乙、丙错误，丁正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：∵， ∴四边形为平行四边形， 即在上任意位置(不与、重合)时，四边形形为平行四边形，故选项甲正确； 如图2， 如图3， 当时，点不在边上，故选项乙错误． 当时，四边形为菱形，故选项丙正确． 由丙知，若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形，故选项丁正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取得最小整数为1． 故答案为：1 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键． 18. 某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为________平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是________米． 【答案】 ①. 30 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程． （1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可； （2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽． 【详解】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是， 当时， ， 即时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是， 路的总面积是， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ， 解得(舍去)， 即此时的路宽为1米， 故答案为：1． 19. 如图，已知正方形的边长为8，点E在边上，的中点为G，绕点E顺时针旋转得，若，则： （1）当时，的长为________； （2）在x的变化过程中，的最小值是________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后得到，然后利用旋转的性质求解即可； （2）过点F作交的延长线于点M，证明出，得到，然后代数求出，，然后利用勾股定理得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为8， ∴ 当时， ∴ ∵的中点为G， ∴ ∵绕点E顺时针旋转得， ∴； （2）如图所示，过点F作交的延长线于点M ∵的中点为G， ∴ ∵绕点E顺时针旋转得 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴当时，的最小值为． 故答案为：5，． 【点睛】此题考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 在计算“”中的“□”填入运算符号． （1）填入“×”并计算； （2）要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）依次填入加减乘除进行计算，再比较即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意有：； 【小问2详解】 填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 故填写“”，结果最小，最小为． 21. 已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①用含m的代数式表示S甲＝_______________，S乙＝_______________． ②用“<”、“＝”或“＞”号填空S甲_______________S乙， （2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正， ①该正方形的边长是____________．（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】（1）①m2+10m+16；； ②＜； （2）①； ②正确，理由：∵， ∴与的差是1，与无关． 【解析】 【分析】（1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长； ②列式计算与的差，可知与无关． 【详解】解：（1）①，； 故答案为m2+10m+16；； ②∵， ∴， 故答案为＜； （2）①∵正方形的周长＝乙长方形的周长＝2（m+4+m+6）=4m+20， ∴该正方形的边长是： 故答案为：； ②略 【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． 22. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，数学课外实践小组在全校随机调查了部分学生对这些交通法规的了解情况，调查结果分为五种：A．非常了解，B．比较了解，C．了解，D．基本了解，E．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了________名学生，条形统计图中“C．了解”有________人； （2）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A．非常了解”的学生共有多少名？ （3）现从“基本了解小组”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加遵守交通法规，关爱生命旅程的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）200，30 （2）300 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，采用树状图法或者列表法列举即可作答． （1）用“B．比较了解”的人数除以其占比即可求出总的人数，问题随之可解； （2）用该校总人数乘以“A．非常了解”的学生的占比即可作答； （3）采用树状图列举法即可作答． 【小问1详解】 （人）， “C．了解”的人数为（人）， 故答案为：200，30； 【小问2详解】 ， ∴该校“A．非常了解”的学生共有300名； 【小问3详解】 画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 23. 琪琪在如图所示粗糙的平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，位于水平面且平行于，坡面与水平面的夹角为，其中，，． （1）琪琪将圆盘从点A滚到与坡面相切的位置，此时圆盘的圆心O所经过的路线长是多少？ （2）请计算出琪琪将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、解直角三角形和求弧长，解题过程中关键是找到对应的路径和相应的等量关系． （1）当圆盘滚到与坡面相切，停止的位置设是圆，与切于E，与切于N，连接，，，则，，，则，有，则，结合解直角三角形可求得，进一步求得； （2）画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图， E是圆盘在上滚动到与相切时的圆心位置，由（1）知和全等，求得，和，进一步得到圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为对应的圆弧，结合四边形是矩形，则有，即可求得圆心经过的路线长度． 【小问1详解】 解：如下图，当圆盘滚到与坡面相切，停止的位置设是圆，与切于E，与切于N，连接，，，则，，， 在直角和中， ∵ ∴， ∴， 则， （cm）， ∴（cm）， 即此时圆盘的圆心O所经过的路线长为（cm）． 【小问2详解】 如图为圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图． ∵与延长线的夹角为，E是圆盘在上滚动到与相切时的圆心位置， ∴此时与和都相切． 则． 由（1）知和全等， 在中，． ∴． ∵， ∴． ∵，与水平夹角为， ∴． 又∵， ∴， 则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为且半径为10cm的圆弧． ∴的长． ∵四边形是矩形， ∴． 综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是： ． 24. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题： （1）求甲、乙两车的行驶速度； （2）求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式； （3）求乙车出发多少小时，两车相遇？ 【答案】（1）甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；（2）y2＝；（3）乙车出发小时，两车相遇． 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可； （2）根据时间=路程÷速度即可求解； （3）根据时间=路程÷速度和即可求解； 【详解】（1）甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（﹣1）＝80（km/h）， ∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h； （2）当0≤t≤1时，y2＝200； 当1＜t≤时，设y2＝kt+b， ∵图象过点（1，200），（，0）， ∴， ∴， ∴y2＝﹣80t+280； 当＜t≤4时， ∵（4﹣）×80＝40（km）， ∴图象过点（4，40）， 设y2＝kt+b， ∵图象过点（4，40），（，0）， ∴， ∴， ∴y2＝80t﹣280． ∴y2＝； （3）设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得： 80m+60（m+1）＝200+240， 解得：m＝． ∴乙车出发小时，两车相遇． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 25. 如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ （3）如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）小船的最大宽度为米 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出顶点的坐标，再根据待定系数法求解即可得解； （2）二次函数的表达式中，令得，求解该方程即可得解； （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，从而得或上，满足随的增大而减小，解不等式组即可得解． 【小问1详解】 解：∵，且点在轴上， ∴， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设抛物线的解析式为，把原点代入得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式． 【小问2详解】 解：∵二次函数的表达式， ∴令得： ， 解得：，， ∴小船的最大宽度为：米． 【小问3详解】 解：根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在或上，满足随的增大而减小， ∴或， 解得或， 故的取值范围是或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，解不等式组，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． 26. 如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（） （1）求线段的长． （2）当点Q在上运动时，求的值； （3）当DE与的直角边平行时，求的长． （4）若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的长为或5； （4）当与一边垂直时t的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用勾股定理即可求解； （2）先求出，再求出，即可求； （3）分情况讨论：当时，①过P作于点F，过E作于点G，②当时，点Q与B重合，求解即可； （4）分两种情况，当时， ，当时， ，分别求解即可． 【小问1详解】 解：中，，，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分情况讨论： ①如图1，当时，过P作于点F，过E作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当时，如图2，点Q与B重合， ∴； 综上所述，的长为或5； 【小问4详解】 解：当与一边垂直时t的值为或， 当时，如下图，则， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得； 当时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得； ∵， ∴与边不垂直， 综上所述，当与一边垂直时t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $