精品解析：山东省德州市宁津县育新中学等2025-2026学年下学期八年级数学第一次学情检测

2025-2026下学期 八年级数学第一次学情检测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 在下列二次根式中，其中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并，即可得到答案． 【详解】解：A、，不能和合并的，不符合题意， B、，能和合并的，符合题意， C、，不能和合并的，不符合题意， D、，不能和合并的，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式． 4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 5. 满足下列条件的（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，不符合题意； C、，则：，故不是直角三角形，符合题意； D、，则：，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 6. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 7. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 8. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：，  ，  ，   选择“是”的分支进行运算， 输出值为：     ． 9. 若，，则的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴原式． 10. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，关键是利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 二、填空．（每小题4分，共24分） 11. 使式子有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义要求被开方数为非负数，可得， 解得． 12. 比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握二次根式的性质，比较两个实数大小的方法． 根据二次根式，即可进行比较． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：<． 13. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 14. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 15. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是__________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）． 故答案为：10． 16. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度 ，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度 ．那么，绳索的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得四边形是矩形， ， ， 设，则有， ， ， 解得， （）． 三、解答题．（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，，，，，连接． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理逆定理得，由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 19. 求值： （1）先化简后求值：，其中； （2）已知，，求下列各式的值：①；②． 【答案】（1）， （2）①12；②4 【解析】 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）先求出，的值，再结合完全平方公式分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ， 当时， 原式 ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴① ； ② ． 20. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．(要求用无刻度直尺画图，不需要写画法)  （1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； （2）在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为，， ，并计算边上的高为 ；(直接写出计算结果) （3）若三角形有两条边分别为，面积为3.5，请直接写出第三边的长度． 【答案】（1）见详解 （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查网格中的勾股定理和割补法求面积， （1）根据正方形的面积可得边长，结合网格特点即可找到对应的正方形； （2）根据题意要求即可在网格中找到对应的边长并组成三角形，利用割补法求面积即可得到得其对应的高； （3）根据题意找到对应的三角形，结合面积即可确定三角形，进一步利用网格特点求得第三边． 【小问1详解】 解：根据题意可知小正方形的边长为，如图， 【小问2详解】 ∵，，， ∴，解得， 则边上的高为1； 【小问3详解】 ∵， ∴(舍去)， ， (舍去)， 则． 那么，第三边的长． 22. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）∠ACB＝90° （2）海港C受台风影响，理由见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为小时 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解； （2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解； （3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解． 【小问1详解】 解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； 【小问3详解】 解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，cm，，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t； （2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③若∠EFD=90°，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°， ∴∠C=90°-∠A=30°． 在Rt△CDF中，∠C=30°，CD=4t， ∴DF=CD=2t， ∵点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动， ∴AE=2t， ∴AE=DF； 【小问2详解】 解：①当∠DEF=90°时， ∵ ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴EFAD， ∴∠ADE=∠DEF=90°， ∵∠A=60°， ∴∠AED=30°， ∴AD=AE=t， 又AD=60-4t，即60-4t=t，解得t=12； ②当∠EDF=90°时，则四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°， ∴AD=2AE，即60-4t=4t， 解得t=． ③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t=或12秒时，△DEF为直角三角形， 故答案为：或12． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质与判定、含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24. 阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）， （2）这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）自变量时，函数取最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； 【小问2详解】 设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； 【小问3详解】 ∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学期 八年级数学第一次学情检测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列二次根式中，其中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 满足下列条件的（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 9. 若，，则的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 10. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空．（每小题4分，共24分） 11. 使式子有意义，则x的取值范围为______． 12. 比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． 13. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 14. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________ ． 15. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是__________米． 16. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度 ，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度 ．那么，绳索的长度为______． 三、解答题．（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，，，，连接． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 19. 求值： （1）先化简后求值：，其中； （2）已知，，求下列各式的值：①；②． 20. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．(要求用无刻度直尺画图，不需要写画法)  （1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； （2）在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为，， ，并计算边上的高为 ；(直接写出计算结果) （3）若三角形有两条边分别为，面积为3.5，请直接写出第三边的长度． 22. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23. 如图，在Rt△ABC中，cm，，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 24. 阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $