精品解析：河南省 驻马店市第四中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月）

河南省 驻马店市第四中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 传送带上物品的传输 B. 电梯上下移动 C. 拉动抽屉 D. 时钟的分针不停地走动 【答案】D 【解析】 【分析】要根据平移的性质，判断是否是平移现象，平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是一模一样的）．本题考查了图形的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、传送带上物品的传输，是平移，不符合题意； B、电梯的上下移动是平移，不符合题意； C、拉动抽屉是平移，不符合题意； D、时钟的分针不停地走动，不是平移，符合题意； 故选：D 2. 下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是因式分解，故选项错误，不符合题意； B．是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C．是因式分解，故选项正确，符合题意； D．不是因式分解，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，首先应假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是锐角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是直角 D. 一个三角形中有一个角是直角 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设命题结论的反面成立，据此结合原命题结论即可得出假设内容． 【详解】解：∵本题原命题结论为“一个三角形中不能有两个角是直角”， ∴结论的反面为“一个三角形中有两个角是直角”，即首先应假设一个三角形中有两个角是直角． 5. 下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 6. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边加（减）、乘（除）数时不等号方向的变化规律是解题的关键．依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其变形是否正确． 【详解】解：不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，，两边同时加， ，A选项错误． 不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边同时除以（正数）， ，B选项错误． 不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边先乘（正数），得； 又不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，两边再减， ，C选项正确． 不等式基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，，两边乘（负数）， ，D选项错误． 故选：C． 7. 如图，，能保证成立条件有（ ） ； ； ； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 8. 已知点在第四象限，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在第四象限列出关于的不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】∵点在第四象限 ∴可得不等式组， 解不等式，移项得，解得， 解不等式，移项得，解得， 取两个解集的公共部分，得． 9. 如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据角平分线的性质定理可得，再证得，即可得，在中，由勾股定理求得，即可求得． 【详解】如图所示，过作于， ，，平分， ，， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及勾股定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键． 10. 如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于点E，证明，可得，从而得到点，，同理，，……，可得到每4个点的坐标为一周期循环，再由，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点E， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴点， ∵作线段关于y轴对称的线段， ∴， 同理，，……， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一致，即． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 【答案】不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【解析】 【分析】根据不等式变形过程，判断系数正负，即可确定不等号变向的依据． 【详解】解：对系数化为1时，不等式两边同时除以，为负数，因此需要改变不等号方向， 该步骤的依据是不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 12. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点F，交于点E，连接．若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，，则可求出的长，即的长，再证明是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：6． 13. 如图，在中，，将沿着的方向平移至，若四边形的面积为24，则平移的距离为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由平移的性质可以证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积求出平移的距离即可． 【详解】∵将沿着的方向平移至， ∴， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积等于24，， ∴平移距离． 故答案为：4． 【点睛】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 14. 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为_____． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．分两种情况：当点Q在上，当点Q在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴ ∵点D为的中点， ∴，， ∵， ∴点在同一条直线上， 由旋转得： ， 分两种情况： 当点Q在上， 在中，， ∴ 当点Q在的延长线上， 在中，， ∴， 综上所述：当时，的长为5或 故答案为：5或． 三、解答题（本题共8题，共75分） 16. 解下列不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母，两边同乘得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）： （1）画出沿轴方向向下平移4个单位长度得到的，则点坐标为______； （2）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的，则点坐标为______； （3）若把点沿直线平移到点，请求出平移的距离． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先将点A，B，C向下平移4个单位，得到，，，连接三点即可得到图形；根据图形即可写出点坐标； （2）根据逆时针旋转，可知，，且点，都在格点上，由此即可求解；同时，可得到点坐标； （3）连接，根据两点之间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，就是所求作的三角形； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，就是所求作的三角形； 点坐标为； 【小问3详解】 解：连接，平移的距离为的长，． 18. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 19. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点P（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点D，与边交于点E，连接．若，求的度数． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别用尺规作图法作的平分线和边的垂直平分线，则两线的交点为点P； （2）设，根据线段垂直平分线的性质\等腰三角形的性质及角平分线的定义，可求得，再根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解:如图所示，就是所求作的图形； 【小问2详解】 解：设， 平分， ， ， 垂直平分， ， ， ，，， ， 解得， ． 20. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是           ；关于的不等式的解集是          ； （2）直接写出关于的不等式组的解集； （3）若点，直接写出关于的不等式的解集； （4）在（3）的条件下，求出的面积． 【答案】（1）， （2） （3） （4）18 【解析】 【分析】（1）关于的方程的解是直线与轴交点的横坐标；关于的不等式的解集是直线 在轴下方的部分对应的自变量的取值范围； （2）由图可分别得出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集； （3）关于的不等式的解集是直线 在直线上方的部分对应的自变量的取值范围； （4）直接利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴关于的方程的解是． 由图可得，关于的不等式的解集是． 【小问2详解】 解：由图可得，不等式的解集为， 由图可得，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． 【小问3详解】 解：由图可得，关于的不等式的解集是． 【小问4详解】 解：． 21. 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，已知购买本笔记本和张证书需要元，购买本笔记本和张证书需要440元． （1）求一本笔记本和一张证书的价格． （2）某文具用品商店给出两种优惠方案： 方案甲：买一本笔记本，赠送一张证书； 方案乙：购买张证书以上，超过张的证书按原价打八折，笔记本不打折． 学校准备购买本笔记本，证书若干张（超过张），请你判断哪种方案更合算，并说明理由． 【答案】（1） 一本笔记本的价格为6元，一张证书的价格为1元 （2） 当购买证书数量超过200张不足600张时，选择方案甲更合算；当购买证书数量为600张时，两种方案费用相同；当购买证书数量超过600张时，选择方案乙更合算． 理由：设购买证书张， 选择方案甲所需费用为： （元）， 选择方案乙所需费用为： （元）， 当时， 解得， 当时，选择方案甲划算； 当时， 解得， 当时，选择方案甲和乙所需费用相同； 当时， 解得， 当时，选择方案乙划算； 综上，当购买证书数量超过200张不足600张时，选择方案甲更合算；当购买证书数量为600张时，两种方案费用相同；当购买证书数量超过600张时，选择方案乙更合算． 【解析】 【分析】（1）设笔记本的单价为元，证书的单价为元，由题意得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买证书张，由题意可得出关于的一元一次不等式或一元一次方程可得出答案． 【小问1详解】 解：设笔记本的单价为元，证书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：笔记本的单价为6元，证书的单价为1元； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，当时，为等边三角形，据此列方程求解即可； （2）分两种情况：当时，可证明，据此列方程求解即可；当时，可证明，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ，， ， 当时，为等边三角形， 解得； 【小问2详解】 解：为直角三角形，分两种情况： 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 23. 课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换． 生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论． 【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解； （2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解； ②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解． 【详解】解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等， ∴它的两个锐角都是； 故答案为：． （2）①根据旋转可得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：． ②∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ （3）当在上时， ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上时，如图所示， ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上，如图所示， ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省 驻马店市第四中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 传送带上物品的传输 B. 电梯上下移动 C. 拉动抽屉 D. 时钟的分针不停地走动 2. 下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，首先应假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是锐角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是直角 D. 一个三角形中有一个角是直角 5. 下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 6. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，能保证成立条件有（ ） ； ； ； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知点在第四象限，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 12. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点F，交于点E，连接．若，则的周长为______． 13. 如图，在中，，将沿着的方向平移至，若四边形的面积为24，则平移的距离为 _____． 14. 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为_____． 三、解答题（本题共8题，共75分） 16. 解下列不等式（组）： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）： （1）画出沿轴方向向下平移4个单位长度得到的，则点坐标为______； （2）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的，则点坐标为______； （3）若把点沿直线平移到点，请求出平移的距离． 18. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 19. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点P（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点D，与边交于点E，连接．若，求的度数． 20. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是           ；关于的不等式的解集是          ； （2）直接写出关于的不等式组的解集； （3）若点，直接写出关于的不等式的解集； （4）在（3）的条件下，求出的面积． 21. 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，已知购买本笔记本和张证书需要元，购买本笔记本和张证书需要440元． （1）求一本笔记本和一张证书的价格． （2）某文具用品商店给出两种优惠方案： 方案甲：买一本笔记本，赠送一张证书； 方案乙：购买张证书以上，超过张的证书按原价打八折，笔记本不打折． 学校准备购买本笔记本，证书若干张（超过张），请你判断哪种方案更合算，并说明理由． 22. 如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 23. 课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换． 生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $