精品解析：河南许昌市襄城县2025-2026学年第二学期学科素养评估 八年级数学

2025－2026学年第二学期学科素养评估八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：，包含可开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A错误； 对于选项B：，包含可开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B错误； 对于选项C：，包含可开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C错误； 对于选项D：满足最简二次根式的两个要求，是最简二次根式，故D正确． 2. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，计算各选项结果即可判断正误． 【详解】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，则，计算错误，不符合题意． 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可． 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 5. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 6. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（ ） A. 时间为常量 B. 冰的厚度为常量 C. 冰的质量为常量 D. 时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查变量与常量的概念．根据自变量、因变量及常量的定义求解即可． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴判断与的符号，再结合二次根式和绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 8. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 9. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 10. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，在中，、分别是边，的中点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴． 故答案为：120． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，然后根据边长乘积两倍列式计算即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 余下部分的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，．作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上，则所作的正方形的边长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据矩形和正方形的性质容易证明，则，进而证明是等边三角形，计算得，因此，利用勾股定理计算得，再次使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，， ∴正方形的边长为． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，核心在于熟练掌握二次根式的化简规则、乘除运算法则及平方差公式的灵活应用，并严格遵循“先化简、再计算、最后合并”的运算顺序是解题关键． （1）需先将化为最简二次根式，通过分母有理化化为，再进行同类二次根式的减法运算； （2）前半部分符合平方差公式的结构特征，可直接套用公式简化计算；后半部分运用二次根式乘法法则计算，最后将两部分结果相加并化为最简二次根式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 18. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 19. 求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】分析可知，题设为：对角线互相平分的四边形；结论是四边形是平行四边形，由此写出已知、求证，并画出图形，只要证明，即可． 【详解】已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形． 证明：在和中， ， ， ， ， 同理可证， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了文字证明题的证明，涉及了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 21. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． （1）如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 （2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积； （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）24 （3）1.2 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； 【小问3详解】 解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 22. 【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）________（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【小问1详解】 解：总结规律可得，； 【小问2详解】 解：利用（1）的规律可得， ； 【小问3详解】 解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 23. 解决下列问题： （1）如图①，在正方形中，点，分别是边，上的点，，与交于点．直接写出与的位置关系及数量关系 ； （2）点，分别在边，的延长线上，且．（1）中结论是否也成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出理由； （3）在（2）的基础上，连接，，分别取，，，的中点，，，，请判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）， （2）成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）四边形是正方形，证明如下： ∵，，，是，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质容易证明，则，，进而证明； （2）仿照（1）的解法进行证明即可； （3）由中位线的性质可得，，，，，结合，即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期学科素养评估八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 6. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（ ） A. 时间为常量 B. 冰的厚度为常量 C. 冰的质量为常量 D. 时间和冰的厚度都为变量 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 9. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，在中，、分别是边，的中点，，则________． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 15. 如图，矩形中，，．作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上，则所作的正方形的边长是_________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 18. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 19. 求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 21. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． （1）如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 （2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积； （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 22. 【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）________（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 23. 解决下列问题： （1）如图①，在正方形中，点，分别是边，上的点，，与交于点．直接写出与的位置关系及数量关系 ； （2）点，分别在边，的延长线上，且．（1）中结论是否也成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出理由； （3）在（2）的基础上，连接，，分别取，，，的中点，，，，请判断四边形的形状，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $