精品解析：河南省许昌市襄城县名校学科素养评估2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期学科素养评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 28 B. 20 C. D. 7. 如图，在中，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线． ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点． ③连接． 根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（ ）． A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，点M，N分别为的中点，连接．若，则的长为______． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 13. 一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 14. 观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算___________． 15. 如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简： （1） （2） 17. 如图，是的高，．求的长和的面积． 18. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 19. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 20. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 21. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 22. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 23. 阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是________与________； （2）若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ （3）若数对一个“对称数对”是，求、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期学科素养评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 3. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义；故本选项正确； C、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义．最简二次根式的被开方数中不含有分母、最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 28 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减运算，主要考查学生的计算能力． 求出的值，再运用完全平方公式得出，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线． ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点． ③连接． 根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（ ）． A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：B． 8. 如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等． 9. 如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质．先根据四边形是正方形，证明，再根据，证明，然后设，则，根据全等三角形的性质证明，在中，由勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 10. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题. 【详解】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，点M，N分别为的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点M，N分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AB=AD. 【解析】 【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】添加AB=AD， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 13. 一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用．两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这艘船航行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故此时这艘船离出发点． 故答案为：26． 14. 观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 第个等式：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 15. 如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE， ∵EA=EB，∴∠A=∠EBA， ∵∠AEB=∠CEF， ∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G， ∵∠EFC=∠G+∠FCG， ∴∠G=∠FCG， ∴FC=FG， 设CE=EF=x，则AE=BE=11－x， ∴DE=8－（11－x）=x－3， ∴DF=x－（x－3）=3， ∵DG=DB=8， ∴FG=5，∴CF=5， 在Rt△CDF中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，是的高，．求的长和的面积． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的面积的计算，先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，由勾股定理得 即 ， ， ， ， 的面积为：． 18. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是关键．根据菱形的性质得到条件证明，则，即可得到结论． 【详解】略 19. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 20. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）27 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，BC∥AD，根据平行四边形的判定可推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出，从而结论得证； （2）先根据勾股定理求得的长，再根据矩形的性质并结合（1）可得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知，； ∴的周长为： ． ∴的周长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识．解此题的关键是由矩形的性质得出和判定四边形是平行四边形． 21. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）5； （3）可能，2或8． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 四边形可能是矩形． 若四边形是矩形，则 设， ，． 或． 故当或时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握矩形和菱形的性质是关键． 22. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】 探索求证：证明：， ， ∴， 即； 问题解决：千米； 延伸扩展： 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 23. 阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是________与________； （2）若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ （3）若数对一个“对称数对”是，求、的值． 【答案】（1），； （2） （3），或， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值． 【小问1详解】 由题意得，， 数对的一对“对称数对”是与； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得， 数对的一对“对称数对”为与， 数对的一对“对称数对”相同， ， ； 【小问3详解】 数对一个“对称数对”是，， ，或，， ，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $