命卷大赛 福建省三明市高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第八章）

**基本信息** 高二数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》单元卷，全原创试题含新情境题，覆盖回归分析、独立性检验等核心知识，适配阶段检测，培养数据分析与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相关系数、残差图作用、回归方程参数|基础概念辨析，如第1题线性相关关系中相关系数取值| |多选|3/18|回归分析与独立性检验正误判断|综合理解，如第9题残差图与R²的意义| |填空|3/15|回归参数计算、列联表补充与卡方值|数据处理能力，如第14题产品定价的回归直线与概率| |解答题|5/77|散点图、回归方程、独立性检验与概率、非线性回归|新情境应用，如第17题公司宣传费与销售量的非线性回归建模|

校本作业应用场景：阶段检测 高二数学下学期阶段测试 选择性必修第三册 第八章《成对数据的统计分析》解析 一、单项选择题 1. 答案：C 解析：散点图中各点均在一条直线上，说明完全线性相关。若直线斜率为正，则相关系数 r = 1；若斜率为负，则 r = -1。因此选 C。 2. 答案：A 解析：残差图用于直观判断模型的拟合效果：残差点均匀分布在水平带状区域，说明模型合适；带状区域越窄，拟合精度越高。B、C、D 均不是残差图的主要作用。 3. 答案：C 判断b符号：x增大，y总体下降 →b < 0，排除A、B。 判断a符号：计算中心点 (,)=(5,0.9)，代入方程 0.9=b⋅5+a，因b<0，得a=0.9−5b>0。选C。 4. 答案：C 由列联表数据：a=40, b=60, c=30, d=70, n=200 χ2= 代入：χ2=≈2.20 5. 答案：C 解析：R² 越接近 1，拟合效果越好。0.93 最大，故选 C。 6. 答案：B 解析：计算各点残差： 回归方程 = 2.45x + 2.1 x=0，=2.1，残差=2.2-2.1=0.1 x=1，=4.55，残差=4.8-4.55=0.25 x=2，=7.0，残差=7.1-7.0=0.1 x=3，=9.45，残差=9.3-9.45= -0.15 x=4，=11.9，残差=12.0-11.9=0.1 残差大约在 ±0.15 内，但(1,4.8)残差为 0.25，相对较大，可能为记录错误。 7. 答案：A 解析：卡方≈3.918 > 3.841，P≈0.05，故在犯错误概率不超过0.05的前提下认为血清有效，即“有95%的把握认为血清能预防感冒”。B、C、D 均曲解了统计意义。 8. 答案：A 解析：原回归直线过(3,7)，去掉该点后，x平均、y平均均不变（因为去掉的点正好是平均数点）。斜率变小，但相关系数、R² 的变化不确定（可能变大也可能变小）。故只有 A 正确。 二、多项选择题 9. 答案：ABD 解析：A、B、D 均为回归分析中的正确说法。C 错误：回归直线必过(x平均, y平均)，但不一定过任何一个样本点。 10. 答案：ABC 解析：独立性检验基于小概率原理（A对）；卡方越大，越有理由拒绝无关假设（B对）；卡方>6.635对应P<0.01，即99%把握（C对）；D错，因为检验可能犯错误。 11. 答案：BD 解析：卡方≈10.24，介于6.635与10.828之间，所以P<0.01但>0.001。因此有99%把握，犯错误概率不超过0.01。故选 B、D。 三、填空题 12. 答案：2.6 解析： == 2 == 4.5 回归直线过 (,)：4.5 = 0.95×2 + a → 4.5 = 1.9 + a → a = 2.6 13. 答案：2.78 解析： （1）补全表格已知：男生合计 60，女生合计 = 100−60=40 物理类合计 50，历史类合计 50 男生物理类 = 40，所以男生历史类 = 60−40=20 女生历史类 = 20，所以女生物理类 = 40−20=20 于是完整表格为： 物理类 历史类 合计 男生 40 20 60 女生 20 20 40 合计 50 50 100 （2）计算卡方 χ2= 代入 a=40, b=20, c=20, d=20, n=100 ad−bc=40×20−20×20=800−400=400 (ad−bc)2=160000 分母：(a+b)=60, (c+d)=40, (a+c)=60, (b+d)=40 60×40×60×40=(2400) 2=5760000 χ2=≈2.7778≈2.78 14. 答案： 简练解析 (1)求回归方程 =8.5, =80，代入=−20x+a​=−20x+a： 80=−20×8.5+a⇒a=250 故 ​=−20x+250​​=−20x+250 (2)比较 y与 ​​： (8,90)：相等 (8.2,84)：84<86 ✅ (8.4,83)：83<82 ❌ (8.6,80)：80<78 ❌ (8.8,75)：75<74 ❌ (9,68)：68<70 ✅ 共2个点在左下方。 (3)概率 P=2/6=1/3 四、解答题（重点解析） 15. 解析要点 (1) 散点图略，描出(6,2),(8,3),(10,5),(12,6)。 (2) =9，=4 b = == 0.7 a = 4 - 0.7×9 = 4 - 6.3 = -2.3 回归方程： = 0.7x - 2.3 (3) x=14时， = 0.7×14 - 2.3 = 9.8 - 2.3 = 7.5 16. 解析要点 列联表：a=30, b=10, c=20, d=20, n=80 (1) χ2= χ2= =≈ 5.333 临界值 k0=7.879（对应0.005），5.333<7.879 ∴ 没有99.5%的把握。 (2) 不喜欢足球共30人：男10，女20，抽6人，比例1:2 → 男2人，女4人 P(恰好1男) == = 17. 解析要点 (1) 散点图呈曲线且增长变缓，选 y = c + d (2) 令 w = ，则 y = c + d w d == = 8 c = - d·= 480 - 8×1.6 = 480 - 12.8 = 467.2 ∴ y = 467.2 + 8 (3) ① x=49，=7，y=467.2+56=523.2，z=0.2×523.2-49=104.64-49=55.64 ② z = 0.2(467.2+8)-x = 93.44 + 1.6 - x 令 t=，则 z = -t² + 1.6t + 93.44，顶点 t=0.8，x=0.64（千元）时利润最大。 18.解析要点 已知： n=10n=10 =172，=19.2 ∑(xi−)2=432 ∑(yi−)2=9.8 ∑(xi−)(yi−)=62.5 （1）求样本相关系数r 公式： r= 代入：r=62.5 计算分母： 432×9.8=432×(10−0.2)=4320−86.4=4233.6 求r： r≈62.565.072≈0.9605 保留三位小数：r≈0.961r≈0.961 判断强弱： ∣r∣=0.961>0.75∣r∣=0.961>0.75，故身高与右手一拃长之间存在很强的正相关关系。 r≈0.961r≈0.961​ （2）求线性回归方程 =bx+a 斜率 b： b=∑(xi−)(yi−)∑(xi−)2=62.5/432 ​b≈0.1446759≈0.1447 截距a： a=−b=19.2−0.1446759×172=24.8842548 0.1446759×172=24.8842548 a≈19.2−24.8842548=−5.6842548≈−5.6843 回归方程： =0.1447x−5.6843 ​（3）估计身高185 cm的右手一拃长 =0.1447×185−5.6843 0.1447×185=26.7695 ≈26.7695−5.6843=21.0852≈21.09 cm 19.解析要点 （1）完成2×2列联表并判断 已知： 总人数 n=200n=200 男生120人，女生80人 选物理的男生80人，选物理的女生30人 补全列联表： 物理 历史 合计 男生 80 40 120 女生 30 50 80 合计 110 90 200 卡方公式： χ2= n(ad−bc)2​a=80, b=40, c=30, d=50 ad−bc=80×50−40×30=4000−1200=2800 (ad−bc)2=28002=7,840,000 (a+b)=120, (c+d)=80, (a+c)=110, (b+d)=90 分母： 120×80×110×90=9600×9900=95,040,000 化简： χ2=1,568,00095,040=156800095040 计算：4900÷297≈16.4983≈16.504900÷297≈16.4983≈16.50 （2）分布列与数学期望 选物理共110人：男生80，女生30 按性别分层抽5人，比例 80:30=8:380:30=8:3 男生人数 =5×811≈3.636=5×118​≈3.636，实际抽取时按整数分配，通常采用比例分配： 男=80110×5=400110=4011≈3.64男=11080​×5=110400​=1140​≈3.64 所以抽取男生4人，女生1人。 X为抽到的男生人数（从5人中随机抽2人） X=1：1男1女 X=2：2男0女 概率计算： P(X=1)=⋅/=4×1/10=0.4 P(X=2)=⋅/=6×1/10=0.6 分布列： X 1 2 P 0.4 0.6 数学期望： E(X)=1×0.4+2×0.6=0.4+1.2=1.6 E(X)=1.6​（3）综合判断 第一次调查：≈16.50χ12​≈16.50，远大于6.635（对应0.01），结论：有99%把握认为有关。 第二次调查：=5.024χ22​=5.024，比较： 与3.841（0.05）比：5.024 > 3.841，有95%把握。 与6.635（0.01）比：5.024 < 6.635，没有99%把握。 综合判断： 两次调查均支持“选考科目与性别有关”的结论，但显著性水平不同（第一次极显著，第二次显著）。由于样本量不同（200 vs 100），第二次卡方值较低可能与样本较小有关。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 校本作业应用场景：阶段检测 高二数学下学期阶段测试 选择性必修第三册 第八章《成对数据的统计分析》 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（原创）对于一组具有线性相关关系的样本点，其散点图中各点均在一条直线上，则这组样本点的相关系数 A. 等于1 B. 等于-1 C. 等于1或-1 D. 无法确定 2．（原创）在回归分析中，残差图的作用是 A. 判断模型的拟合效果 B. 计算相关指数 C. 求解回归系数 D. 确定样本容量 3．（原创）根据如下样本数据： x: 3 4 5 6 7 y: 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 得到的回归直线方程为 y 帽 = b x + a，则 A. b > 0，a > 0 B. b > 0，a < 0 C. b < 0，a > 0 D. b < 0，a < 0 4．（原创）某校为了研究近视与性别的关系，随机调查了200名学生，得到如下列联表： 近视 不近视 合计 男生 40 60 100 女生 30 70 100 合计 70 130 200 根据列联表计算得到卡方的观测值约为（精确到0.01） A. 1.98 B. 2.06 C. 2.20 D. 2.50 5．（原创）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同模型，它们的相关指数R平方如下，其中拟合效果最好的模型是 A. 模型1：R2=0.85 B. 模型2：R2=0.72 C. 模型3：R2=0.93 D. 模型4：R2=0.68 6．（原创）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下： x: 0 1 2 3 4 y: 2.2 4.8 7.1 9.3 12.0 若由最小二乘法求得回归直线方程为 y 帽 = 2.45 x + 2.1，则发现有一个数据记录有误，该数据可能是 A. (0, 2.2) B. (1, 4.8) C. (2, 7.1) D. (4, 12.0) 7．（原创）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得卡方约等于3.918，经查临界值表知P(卡方大于等于3.841)约等于0.05。则下列结论中，正确的一项是 A. 有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B. 若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 C. 这种血清预防感冒的有效率为95% D. 这种血清预防感冒的有效率为5% 8．（原创）已知一组数据 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 的回归直线方程为 y 帽 = 2x + 1，且 x 的平均数为3，y 的平均数为7，现去掉一组数据 (3, 7)，剩余数据的回归直线斜率为1.8，则下列说法正确的是 A. 去掉数据后，x 的平均数不变 B. 去掉数据后，y 的平均数不变 C. 去掉数据后，相关系数r的绝对值变小 D. 去掉数据后，相关指数R平方一定变小 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（原创）下列有关回归分析的说法中，正确的有 A. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 B. 在回归分析中，R平方越大，模型的拟合效果越好 C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高 10．（原创）关于独立性检验，下列说法正确的是 A. 独立性检验的基本思想是统计中的小概率原理 B. 卡方越大，两个分类变量相关的可能性越大 C. 若卡方大于6.635，则有99%的把握认为两个变量有关 D. 独立性检验得到的结论一定是正确的 11．（新情境题）某校调查了高三年级500名学生的体育锻炼时间与期末数学成绩，得到如下数据：锻炼时间达标的学生中数学成绩优秀的占60%，锻炼时间不达标的学生中数学成绩优秀的占30%。经计算，卡方约等于10.24，则（参考数据：卡方0.001临界值为10.828） A. 有99.9%的把握认为体育锻炼与数学成绩有关 B. 有99%的把握认为体育锻炼与数学成绩有关 C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为两者有关 D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为两者有关 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（原创）已知x，y的取值如下表： x: 0 1 3 4 y: 2.2 4.3 4.8 6.7 若y与x线性相关，且回归直线方程为 y 帽 = 0.95 x + a，则实数a的值为_____。 13．（原创）为了判断高中学生的选科倾向（物理类或历史类）与性别是否有关，现随机抽取100名学生，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 物理类 历史类 合计 男生 40 60 女生 20 合计 50 50 100 请将列联表补充完整，并计算卡方的观测值k = ______。（保留两位小数） 14．（原创）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为 y 帽 = 负20 x + a。若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为______。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（原创）（13分）某研究机构对某校高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到如下数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程 y 帽 = b x + a； （3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为14的同学的判断力。 （参考公式：b = 分子（求和(xi - x平均)(yi - y平均)）分母（求和(xi - x平均)平方），a = y平均 - b x平均） 16.（原创）（15分）某学校为了调查学生喜欢踢足球是否与性别有关，随机抽取了80名学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢踢足球 不喜欢踢足球 合计 男生 30 10 40 女生 20 20 40 合计 50 30 80 （1）请判断是否有99.5%的把握认为喜欢踢足球与性别有关？ （2）现从不喜欢踢足球的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人中恰好有1名男生的概率。 附：卡方公式：卡方 = n(ad - bc)平方 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 临界值表： P(卡方大于等于k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17.（新情境题）（15分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响。对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,...,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （散点图描述：点大致分布在一条从左下到右上的曲线附近，且随着x增大，y增长变缓） 表中：w = 根号x，w平均 = 1/8 * 求和wi 求和(xi - x平均)平方 = 28，求和(wi - w平均)平方 = 1.6， 求和(xi - x平均)(yi - y平均) = 108.8，求和(wi - w平均)(yi - y平均) = 12.8，y平均 = 480，w平均 = 1.6 （1）根据散点图判断，y = a + b x 与 y = c + d 根号x 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为 z = 0.2y - x。根据（2）的结果回答下列问题： ① 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ② 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 18.（原创）（17分）某数学兴趣小组为了研究人的身高与右手一拃长（大拇指与中指张开的最大距离）的关系，随机统计了10名同学的身高x（cm）与右手一拃长y（cm），得到如下数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 165 170 172 168 180 175 160 182 178 170 y 18.5 19.0 19.2 18.8 20.5 19.5 17.5 21.0 20.0 19.0 计算得：x平均=172，y平均=19.2，求和(xi - x平均)平方=432，求和(yi - y平均)平方=9.8，求和(xi - x平均)(yi - y平均)=62.5。 （1）求身高x与右手一拃长y的样本相关系数r（精确到0.001），并判断两者相关关系的强弱； （2）求y关于x的线性回归方程； （3）若某同学身高为185 cm，利用（2）中的回归方程估计他的右手一拃长，并分析该估计的可靠性。 （参考：若|r| > 0.75，认为相关关系很强） 19.（原创）（17分）某校为了解学生对“新高考”选考科目（物理、历史）的选择是否与性别有关，从高三年级随机抽取了200名学生进行调查，其中男生120人，女生80人。调查结果：选物理的男生有80人，选物理的女生有30人。 （1）完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为选考科目与性别有关； （2）从选物理的学生中按性别分层随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，设抽到的男生人数为X，求X的分布列与数学期望； （3）为进一步验证结论，研究小组又随机抽取了100名高三学生进行追踪调查，得到卡方观测值为5.024，请结合两次调查的结果（第一次卡方值精确计算后用6.635比较），给出你对“选考科目与性别有关”这一结论的综合判断。 5 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 阶段检测卷 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 1 相关系数的含义与性质（完全相关） 单选题 5 0.85 2 残差图的作用与回归诊断 单选题 5 0.8 3 回归直线斜率与截距的符号判断 单选题 5 0.75 4 2×2列联表与卡方计算公式 单选题 5 0.7 5 相关指数R²的意义与模型比较 单选题 5 0.85 6 残差分析与异常值判断 单选题 5 0.65 7 独立性检验的结论解释（临界值） 单选题 5 0.7 8 回归直线过样本中心点及数据删除的影响 单选题 5 0.6 9 回归分析的综合判断（残差图、R²、回归直线） 多选题 6 0.65 10 独立性检验的基本思想与卡方统计量 多选题 6 0.7 11 独立性检验中P值与临界值的判断 多选题 6 0.65 12 回归直线过样本中心点求参数 填空题 5 0.8 13 列联表补全与卡方计算 填空题 5 0.7 14 回归直线与点的位置关系（概率综合） 填空题 5 0.55 15 线性回归方程的求解与预测（含散点图） 解答题 13 0.75 16 独立性检验与分层抽样、古典概型综合 解答题 15 0.65 17 非线性回归（可线性化）与利润优化 解答题 15 0.55 18 相关系数计算、回归方程与估计可靠性 解答题 17 0.6 19 独立性检验、分布列与综合推断 解答题 17 0.6 Sheet2 Sheet3 $