暑期复习专题1 平面向量及其应用讲义（9类必考点）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复习专题1 平面向量及其应用 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 6.1 平面向量的概念 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识点2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 6.2 平面向量的运算 【知识点1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【知识点2 向量共线定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 6.3 向量的数量积 【知识点1 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 6.4 平面向量基本定理及坐标表示 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 6.5 平面向量的应用 【知识点1 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【知识点2 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 6.6 解三角形 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识点2 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【考点1：平面向量的实际背景及基本概念】 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）关于向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 4．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列关于向量的命题，错误的是（    ） A． B．在边长为的等边中， C．若，则 D．若，则向量，的夹角是锐角 5．（25-26高一下·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．单位向量都相等 B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若非零向量，满足，则在上的投影向量为 7．（25-26高一下·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．单位向量都相等 B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则在上的投影向量为 8．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，与共线的单位向量坐标为 【考点2：平面向量的线性运算】 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．（25-26高一下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．（25-26高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【考点3：平面向量的基本定理及坐标表示】 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知平面向量，则向量等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 4．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 6．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 7．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 8．（25-26高一下·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【考点4：平面向量的数量积】 1．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知向量，若，则（     ） A．3 B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）（多选）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）已知向量，满足，，．则______． 6．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 7．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 8．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数最小值及对应的取值集合； (3)若，求的值． 【考点5：平面向量的应用举例】 1．（2026·湖北襄阳·二模）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 5．（25-26高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角． (1)当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB的大小；（精确到0.1°） (2)为了确保观测质量，要求观测角∠AMB不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里） 7．（25-26高一下·湖南常德·阶段检测）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 8．（25-26高一下·河南驻马店·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【考点6：与平面向量有关的新定义】 1．（25-26高一下·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高一下·上海·期中）定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 3．（25-26高一下·江西·阶段检测）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 5．（25-26高一下·河北·期中）（多选）定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B． C． D． 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求，在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 7．（25-26高一下·江西上饶·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. (1)已知，，，求，，； (2)证明：对任意，，有； (3)已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 8．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 【考点7：正弦定理和余弦定理】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 3．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 4．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 5．（2026·湖北·模拟预测）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 6．（25-26高一下·广东·期末）已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 7．（25-26高一下·广东·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，，， (1)若，求的长． (2)若，当四边形面积最大时，求的长． 【考点8：三角形的面积】 1．（25-26高一下·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 2．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，的面积为___________ 3．（25-26高一下·上海长宁·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 4．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的面积． 6．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 8．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【考点9：正、余弦定理的实际应用】 1．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且，，A，B均以的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向处，在直线的西侧的C保持的速度紧随其后．忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海·期中）在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 6．（25-26高一下·上海·期中）某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 7．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米．    8．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 2．（2026·吉林·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26高一下·辽宁·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　 A． B． C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若∥，则 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（    ） A．若，，分别表示，的面积，则 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三、填空题 9．（25-26高一下·海南·阶段检测）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，则___________. 10．（2026·上海·二模）若四边形是边长为的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是___________. 四、解答题 11．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 12．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题1 平面向量及其应用 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 6.1 平面向量的概念 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识点2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 6.2 平面向量的运算 【知识点1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【知识点2 向量共线定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 6.3 向量的数量积 【知识点1 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 6.4 平面向量基本定理及坐标表示 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 6.5 平面向量的应用 【知识点1 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【知识点2 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 6.6 解三角形 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识点2 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【考点1：平面向量的实际背景及基本概念】 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）关于向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 2．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点到原点的距离为，则， 由任意角的正弦函数定义，得， 又已知，故. 因为，解得，则得，故向量， 则，故的单位向量为. 3．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 4．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列关于向量的命题，错误的是（    ） A． B．在边长为的等边中， C．若，则 D．若，则向量，的夹角是锐角 【答案】BD 【详解】选项A：，故，A选项正确； 选项B：等边三角形边长为，任意两边夹角为， 则，，B选项错误； 选项C：，即为相反向量，故，C选项正确； 选项D：当向量，的夹角为时，满足，D选项错误. 5．（25-26高一下·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．单位向量都相等 B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若非零向量，满足，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】对于AB：根据平行向量的相关概念分析判断；对于C：根据模长结合数量积的运算律可得，进而求向量夹角；对于D：根据投影向量的定义结合向量的方向分析判断. 【详解】对于选项A：因为单位向量仅要求模长为1，方向不一定相同， 而向量相等需要模相等且方向相同，因此单位向量不一定都相等，故A错误； 对于选项B：作用力与反作用力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上， 所以作用力与反作用力是一对共线向量，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 又因为向量，均为非零向量，则，且， 可得，所以与共线且反向，故C正确； 对于选项D：因为在上的投影向量与共线， 且，即与不共线，所以在上的投影向量不为，故D错误. 7．（25-26高一下·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．单位向量都相等 B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据向量的定义，既有大小又有方向的量叫做向量，可判断A选项，方向相同或相反为共线向量，可判断BC，根据投影向量公式在上的投影向量为计算． 【详解】单位向量模长相等，方向不确定，故不是相等向量，A错误； 力既有大小又有方向是向量，作用力与反作用力方向相反，是共线向量，故B正确； 因为，则， 整理得：，故； 因为，故为， 因为，故， 则与共线且反向，C正确； 在上的投影向量为， 与共线，故D错误． 8．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，与共线的单位向量坐标为 【答案】AC 【分析】由基底的性质判断A；由题意可得，求出与的夹角，即可判断B；由题意可得或，求出在方向上的投影向量的模，即可判断C；求出满足题意的单位向量，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，所以，共线，所以，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确； 对于B，因为，所以， 即，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以或， 所以在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，设所求向量坐标为， 由题意可得，解得， 所以所求向量坐标为或，故D错误. 【考点2：平面向量的线性运算】 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 2．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可得：. 3．（25-26高一下·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 5．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 6．（25-26高一下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 7．（25-26高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量的数乘运算计算求解； （2）应用向量的数乘及加减法运算求解. 【详解】（1）； （2）. 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 【考点3：平面向量的基本定理及坐标表示】 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知平面向量，则向量等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，所以，，则. 2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】基底向量由不共线的非零向量组成， 选项A：为零向量，A选项错误； 选项B：，共线，B选项错误； 选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确； 选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确. 3．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 4．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量共线判断即可；对于B，根据向量的模的坐标表示求解即可；对于C，根据垂直关系的向量表示求解即可；对于D，根据向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 6．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 【答案】(1)， (2)不存在 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】（1）由， 则，得. 即，所以， 所以； （2）在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 7．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算； （2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解； （3）根据投影向量的计算公式即可求解． 【详解】（1）． ． （2）． （3）在上的投影向量为. 8．（25-26高一下·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和. （2）先由已知条件计算 和，再利用向量模长公式计算 . （3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出 ，进而得到 . 【详解】（1）因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． （2）由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 【考点4：平面向量的数量积】 1．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知向量，若，则（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量坐标加减法运算，向量垂直坐标表示，以及向量模的坐标公式分析计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即，解得：， 所以，所以， 所以. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 则可设，设， 由， 得， 即，化简整理得， 所以，所以， 所以， 即的最大值为. 4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）（多选）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角形同角三角函数可判断A，利用余弦定理及三角形面积公式可判断B，利用向量的运算性质及数量积的运算规律可判断C、D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 由余弦定理得，解得， 故，B错误； ，C正确； ，D正确. 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 所以. 6．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)10 (2)17 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义计算．（2）利用数量积的分配律展开，再代入、及的值．（3）先求，再根据向量的模为非负数求出． 【详解】（1）由平面向量数量积的定义，得. 所以. （2）由数量积的分配律及，得. 因此. 代入已知条件，得. （3）因为 所以. 所以. 因为向量的模为非负数，所以 7．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 8．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数最小值及对应的取值集合； (3)若，求的值． 【答案】(1)最小正周期； (2)函数的最小值是，此时取值集合为； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式及辅助角公式求出，进而求出其周期. （2）由（1）的信息，利用正弦函数性质求解. （3）由（1）及已知求出，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】（1）依题意， ， 所以函数的最小正周期. （2）当，即时，函数取得最小值， 所以函数的最小值是，此时取值集合为. （3）由（1）知，则， 所以 . 【考点5：平面向量的应用举例】 1．（2026·湖北襄阳·二模）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】 设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去），故C正确. 2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 3．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则、数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】如图，对于A，当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，故A正确； 对于B，当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，故B错误； 对于C，当行李包处于平衡时，，若，则有，变形得，，即，故C正确； 对于D，若，则有，变形可得，故D正确. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角． (1)当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB的大小；（精确到0.1°） (2)为了确保观测质量，要求观测角∠AMB不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里） 【答案】(1) (2)5.4公里 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小； （2）设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出∠AMB的正切值，从而求出对应的结果． 【详解】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 则， 则，， 所以， 所以观测角． （2）设， i.时，，所以， ii.时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， 因为，，所以， 所以∠AMB为锐角，设， 则函数，当时，符合上式， 又，且，所以， 整理得，解得，且， 所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里． 7．（25-26高一下·湖南常德·阶段检测）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 8．（25-26高一下·河南驻马店·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)左侧，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时. （3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为， 因此水平方向航行距离， 所以游船航行到达北岸的实际航程. 【考点6：与平面向量有关的新定义】 1．（25-26高一下·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个． 2．（25-26高一下·上海·期中）定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 【答案】A 【详解】当以、为邻边组成平行四边形时，如图 其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积，故①真， 当时，，则，反之因为、，若，则，即，故②真. 3．（25-26高一下·江西·阶段检测）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知， 因为，所以 ，， 因为 ，所以，因此， 因为是整数，所以 ，故，， 而 ，即 ，即，所以， 因为 ，，所以，即， 故的取值范围为． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】A 【分析】对于A，由平行可得，进而得到，即；对于B，由向量模长的运算判断；对于C，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于D，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断． 【详解】对于A，若，则，即，又不共线， ，整理得，故A正确； 对于B，， ，故B错误； 对于C，若， 则 ，故C错误； 对于D， ，故D错误． 5．（25-26高一下·河北·期中）（多选）定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直接根据定义的新运算，向量的加法，数量积，绝对值不等式即可判断选项A，B，C，举反例即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，取，，则，而，此时，故D错误． 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求，在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直角坐标系的定义求解； （2）根据“广义坐标”的定义，结合（1）的结果，即可求解. 【详解】（1）在直角坐标系中的坐标还是， 设与轴同向的单位向量为， 根据平行四边形法则，以及，所以，所以在直角坐标系中的坐标为； （2）设，因为向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，所以， 所以向量的“广义坐标”为. 7．（25-26高一下·江西上饶·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. (1)已知，，，求，，； (2)证明：对任意，，有； (3)已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量的向量积定义分别求解即得； （2）由题意得​，，结合新定义即可求解； （3）设，由位置关系得到 ，再由三角形的面积公式结合新定义得到，通过平方即可求解. 【详解】（1）因为，则， ，则， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 所以，， ． （2）由，， 可得​，， 由正半轴逆时针旋转到或的最小角，， 由定义，是逆时针转到的最小角，故（或）， 因此， 则 ； （3）设 ，因 是单位圆上相邻四等分点，可得 ， 即 ，则， 因为，所以 ， ， 由（2）的结论： ， 所以和面积之和, 平方得： ， 因为 ，故 ，即 . 即和面积之和取值范围是. 8．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点坐标为 (3) 【分析】（1）借助两角差的正弦公式化简后，利用定义即可得； （2）设出点，表示出、后，借助数量积为计算即可得解； （3）利用辅助角公式结合二倍角公式计算即可得. 【详解】（1）， 故是向量的“相伴函数”，故； （2）， 设，则，， 则， 即， 由，则，故， 又，故当且仅当且时，原式成立， 即有，解得，故， 即存在点，使得； （3）由题意可得，其中， 由在处取得最大值，则， 即，则， 由，则， 则， 由函数在上单调递减，故， 由，即， 则， 即的取值范围为. 【考点7：正弦定理和余弦定理】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值. 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 【答案】AC 【分析】选项 A 通过射影定理得：，直接判定正确；选项 B 结合余弦定理计算最大边所对角的余弦值，可知该角为钝角，三角形为钝角三角形，故 B 错误；选项 C 运用正弦定理求出，再根据大边对大角舍去不合理解，得到，C 正确；选项 D 依据三角形两解的条件推出b的取值范围为开区间，原选项区间有误，D 错误. 【详解】对于A项，在中，由射影定理得：， 将其代入条件，可得： 因为，所以，故选项 A 正确； 对于B项，已知，该三角形最大边为c，则最大的角为角C， 由余弦定理： 所以角C为钝角，为钝角三角形，故选项 B 错误； 对于C项，已知 ， 由正弦定理​得：。 又，根据大边对大角，得 ，所以，故选项 C 正确； 对于D项，已知，，当三角形有两解时，满足条件：， 解得：，故，故选项 D 错误. 3．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）由余弦定理可得关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】（1）若，，， 由余弦定理， ， 所以. （2）若，，， 由余弦定理， 则， 可得，解得或（舍去）. 4．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 5．（2026·湖北·模拟预测）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. （2）设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 6．（25-26高一下·广东·期末）已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角； （2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 7．（25-26高一下·广东·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由内角和定理结合正弦定理得出，结合余弦定理得到，再由正弦定理解出； （2）由（1）知由正弦定理边化角可得，，角化边得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以，即， 由正弦定理得，，即①， 因为，所以②， 联立①②得，，即， 解得， 由正弦定理知，， 所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 由正弦定理得，，即， 因为 ， 所以， 又，所以， 因为，，所以，即，所以， 由（1）得， 所以， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，即， 故的取值范围为． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，，， (1)若，求的长． (2)若，当四边形面积最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 8 【分析】（1）利用余弦定理求出，结合判断为外接圆直径，利用正弦定理求解. （2）由对角互补知四边形内接于圆，利用基本不等式确定面积最大时为等边三角形，再结合余弦定理和两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）在中，因，，， 由余弦定理，， 所以. 由题意，，则四边形内接于圆，且为该圆的直径. 设该圆半径为，在中，由正弦定理得. （2）因为，所以，四边形内接于圆. 因四边形的面积，其中， 要使四边形面积最大，只需最大，即最大. 在中，由余弦定理得，即. 因为，即，当且仅当时取等号， 此时，为等边三角形. 在中，由余弦定理得， 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 在中，由余弦定理得， 所以. 【考点8：三角形的面积】 1．（25-26高一下·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 2．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，的面积为___________ 【答案】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 3．（25-26高一下·上海长宁·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 4．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理将边化为角的正弦，再根据角的取值范围确定； （2）已知及两边关系，代入余弦定理解出边长，最后用面积公式计算. 【详解】（1）因为，由正弦定理，得， 而，即，则，即． 又，所以． （2）由（1）知，所以．把，代入余弦定理得 ，解得，， 所以的面积． 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系结合正弦定理可求解； （2）由正弦的二倍角关系可求解； （3）由余弦定理结合三角形得正弦面积公式可求解. 【详解】（1）因为，所以，                                         由题，；                                       由正弦定理，得：，                                       即，解得：； （2）由（1）得：，所以； （3）由余弦定理，得：，             整理得：，解得：或（舍去），                       所以的面积． 6．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 8．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 【考点9：正、余弦定理的实际应用】 1．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 2．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 3．（25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且，，A，B均以的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向处，在直线的西侧的C保持的速度紧随其后．忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立坐标系，用余弦定理求出的边，再用三角形等面积求C横坐标，进而得到C的坐标，接着写出飞行秒后三点坐标，最后利用A，B，C共线的条件即可解出所需的最短时间. 【详解】以无人机A的初始位置为原点，正东为轴正方向，正北为轴正方向，如图: 初始时刻，C在直线（轴）的西侧，故， 已知，在中，由余弦定理： ，代入可得， 又，即， 解得，， 得（两点纵坐标介于0和70之间），即初始， 由A，B速度向东,C速度向东,则： ， A，B横坐标相同，连线是竖直线，由A，B，C三点共线， C横坐标也等于，即， 那么. 5．（25-26高一下·上海·期中）在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 【答案】 【分析】利用余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理有． 6．（25-26高一下·上海·期中）某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 【答案】 【详解】 由题意得，海里，，从B处观测S为北偏东， 因此. 根据三角形内角和为，则. 在中，由正弦定理可得， 将，，代入得， 解得，即此时货轮到灯塔S的距离为海里. 7．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米．    【答案】 【分析】在中，由正弦定理求出的值，再在中，由正切函数的定义求解即可. 【详解】在中，，，， 所以， 由正弦定理可得， 即，解得， 在中，，， 由， 得 8．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，在中，利用正弦定理，即可求解； （2）根据题意，得到为等腰三角形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，在中，，，， 则， 在中，由正弦定理，可得， 则． （2）解：在中，， 所以为等腰三角形，所以． 在中，由余弦定理得， 即， 所以． 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 2．（2026·吉林·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】应用平面向量数量积的运算律展开目标式，根据已知向量的模和夹角求值即可. 【详解】由题设，. 故选：B. 3．（25-26高一下·辽宁·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标形式直接求的值. 【详解】， ， 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标形式，只要求出未知向量的坐标即可，本题属于容易题. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　 A． B． C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断． 【详解】解：向量垂直于向量和，则，， 又向量， 所以， 所以． 故选：． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 6．（25-26高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理得，， 得到，又，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，又分别为中点， 所以，故， 所以， 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若∥，则 【答案】AC 【分析】由向量数量积的坐标运算判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影向量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D. 【详解】解：对于A，因为，所以，故正确； 对于B，因为，， 所以，解得，故错误； 对于C，在上的投影向量为：，故正确； 对于D，因为，，∥， 所以，解得，故错误. 故选：AC. 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（    ） A．若，，分别表示，的面积，则 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，即可判断；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心； C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】对于A：如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，A正确； 对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； 对于C： 分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C错误. D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， ， 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三、填空题 9．（25-26高一下·海南·阶段检测）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，则___________. 【答案】 【分析】在与中利用向量加法和减法法则即可作答. 【详解】依题意，在中，； 在中，， 所以. 故答案为： 10．（2026·上海·二模）若四边形是边长为的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，然后表示出相关向量的坐标，结合向量数量积的坐标表示及三角函数的性质可求. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，设，则，则，，所以，，则，因为，所以. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 12．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $