暑期复习专题2 复数讲义（9类必考点）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复习专题2 复数 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 7.1 复数的概念 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 7.2 复数的四则运算 【知识点1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【知识点2 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 7.3 复数的三角表示 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【考点1：复数的有关概念】 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）复数（其中为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）复数的虚部为______． 5．（25-26高一下·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______. 【考点2：复数的分类】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·安徽合肥·二模）（多选）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 3．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 4．（25-26高一下·四川广安·阶段检测）已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 5．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【考点3：复数的几何意义】 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知复数，，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高一下·海南·阶段检测）（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）（多选）如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 5．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 【考点4：复数的模】 1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 4．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 5．（25-26高一下·上海·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），，若. (1)求复数； (2)求的取值范围. 【考点5：复数的三角表示】 1．（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 5．（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【考点6：复数的运算】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i为虚数单位，则展开式中常数项为（   ） A．45 B． C．90 D． 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 【考点7：共轭复数】 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·三模）已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 5．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 【考点8：复数的平方根与立方根】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025高三·全国·竞赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是_____． 3．（23-24高一下·上海·期末）计算：______． 4．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）（1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． （2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【考点9：复数的综合运算】 1．（25-26高三上·北京海淀·开学考试）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海徐汇·阶段检测）已知复数、满足，，，求、. 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知复数满足，，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是关于的方程()的一个根，求实数与的值. 4．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知、均为复数，且，记、在复平面上对应的点分别为、. （1）若，求的值； （2）若点在轴上运动，求点的轨迹方程； （3）点在圆上运动，点的轨迹记为曲线，求的值；使得圆与曲线只有一个公共点. 【达标检测】 一、单选题 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·内蒙古赤峰·一模）复数，则（   ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高一下·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）复数z满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知复数z满足，i为虚数单位，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在复平面上对应的点在第二象限 8．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知是复数，则下列说法一定正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则至少有一个是虚数 三、填空题 9．（2026·天津河北·模拟预测）已知是虚数单位，则___________． 10．（25-26高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______ 四、解答题 11．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 12．（25-26高一下·上海·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），，若. (1)求复数； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题2 复数 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 7.1 复数的概念 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 7.2 复数的四则运算 【知识点1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【知识点2 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 7.3 复数的三角表示 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【考点1：复数的有关概念】 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）复数（其中为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由虚部的概念可知：复数的虚部为1. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】，所以的虚部为2. 3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将成绩从小到大排序，再根据百分位数的计算规则分别求出第60、75百分位数，组合得到对应复数即可 【详解】首先将10名学生的成绩按从小到大排序：. 由，故第60百分位数为排序后第6位和第7位数据的平均数，即，即所求复数的实部为85.   由，故第75百分位数为排序后第8位数据88，即所求复数的虚部为88. 因此所求复数为. 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）复数的虚部为______． 【答案】 【详解】因为，所以的虚部为. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______. 【答案】 【分析】根据复数相等得到的值，从而求出的值. 【详解】已知，其中，则，， 因此. 【考点2：复数的分类】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为纯虚数，故充分性成立； 当为纯虚数时，，解得，故必要性成立． 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件． 2．（2026·安徽合肥·二模）（多选）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 【答案】BC 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 3．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 4．（25-26高一下·四川广安·阶段检测）已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求得复平面上对应的点的坐标，利用向量的坐标表示，计算即可求解. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以且，解得； （2）当时，，故得，，故． 设点，则 ，， 因为，所以，解得 所以点P的坐标为 . 5．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 【考点3：复数的几何意义】 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知复数，，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求出复数的和后根据复数的几何意义判断. 【详解】由已知，对应点坐标为，在第四象限. 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的加减法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得， 则在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第四象限. 3．（25-26高一下·海南·阶段检测）（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【答案】ACD 【详解】由题可得：， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确； 因为，则复数的虚部为，B错误； ，C正确； 由， 可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 4．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）（多选）如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 【答案】ACD 【分析】先根据点 ， 在复平面内的坐标写出 ，，再分别进行复数的加法、数乘和除法运算，判断各选项． 【详解】由图可知，点的坐标为 ，点的坐标为 ， 所以因此A正确，B错误． 对于C， 的实部为0，虚部不为0，所以为纯虚数，C正确． 对于D， 其实部和虚部均为负数，所以其对应点位于第三象限，D正确． 5．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 【答案】AC 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 【考点4：复数的模】 1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解． 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 3．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 4．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】由复数的基本性质、几何意义与模的运算求解即可. 【详解】对于A选项，设，，则，，满足，但，， 复数不能比较大小，故A错误； 对于B选项，因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C选项，设，，此时，但，故C错误； 对于D选项，设，，因为，所以， 则点在以为圆心，半径为的圆形区域内， 由可知（因为 ），故. ，所以， 该式表示圆形区域内的点到定点的距离，因为， 则，即的取值范围是，故D正确. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），，若. (1)求复数； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到答案； （2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到，解得答案. 【详解】（1）已知复数满足，则. （2）由（1）可知，，则， 又因为，，所以， 由于，得，化简得，解得， 因此的取值范围是. 【考点5：复数的三角表示】 1．（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将向量的顺时针旋转转化为复数乘法运算，通过复数除法的分母实数化求解原复数. 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 3．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 4．（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 5．（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 【考点6：复数的运算】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式 【详解】因为，， 所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i为虚数单位，则展开式中常数项为（   ） A．45 B． C．90 D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式可得，得到，再求常数项即可． 【详解】的展开式通项公式为：． 第五项的系数为，第七项的系数为， 由第五项与第七项的系数之和为0， 可得，解得． 令，解得， 故所求的常数项为． 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再根据复数模的计算公式求其模； （2）根据复数乘法的运算法则计算； （3）先求出，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】（1）， . （2）. （3）因为， 所以. 4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）由题意，将代入方程，可得m，n的值，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】（1）由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得， 所以. （2）由题意 ， 所以， 则复数的共轭复数 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据共轭复数的模的性质及复数相等求解即可； （2）根据复数的加减乘法运算及实系数一元二次方程的韦达定理得解； （3）分离参数，转化为存在，使成立，再由函数求最大值即可. 【详解】（1）设，由题意知也是方程的一个虚根， 由得. 因为，所以 ，解得， 故. （2）设，则，得. 由 得. 因为，所以， 所以. （3）当时， ，存在使 ， 即存在，使成立 . 因为在上单调递增，所以当时，， 所以，即，故的取值范围是. 【考点7：共轭复数】 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则. 2．（2026·北京·三模）已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先通过复数的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，结合复数的几何意义判断对应点所在象限. 【详解】由， 得，故对应的点为， 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，所以，又因为， 所以， 所以，解得. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】由复数的相关概念可得. 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 5．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得. 【详解】选项A：复数的模满足，若，则， 所以或，即或，故A正确. 选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确. 选项C：设（）， 左边， 右边，左右两边相等，故C正确. 选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部， 比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误. 【考点8：复数的平方根与立方根】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论． 【详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 2．（2025高三·全国·竞赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是_____． 【答案】7 【分析】由题意设，代入方程可得，即，利用三角恒等变换化简可求得，，从而有，即，表明或须是的倍数，经验证的最小值为7. 【详解】由于，则设， 原式，即， 联立得， 则有， 故 两式平方后相加整理得，所以 解得， 所以，因此， 此时，从而， 故，即， 因为，则或， 若，时，，不满足题意， 若，时，，满足题意， 时，，满足题意， 故答案为：7. 3．（23-24高一下·上海·期末）计算：______． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 4．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）（1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． （2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】（1）先化简复数，再根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解的取值范围； （2）设方程存在纯虚数根，将其代入方程即可求解. 【详解】由， 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得，则m的取值范围为. 设方程存在纯虚数根， 则，即， 则，解得或，且， 此时方程为，则， 解得或，满足题意，则. 5．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 【考点9：复数的综合运算】 1．（25-26高三上·北京海淀·开学考试）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到，再化简即可. 【详解】由，得， ． 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 2．（25-26高二下·上海徐汇·阶段检测）已知复数、满足，，，求、. 【答案】或 【分析】假设，，然后依据复数的模以及运算，可得结果. 【详解】设， . 由，，， 所以或， 所以或. 【点睛】本题考查复数的运算，属基础题. 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知复数满足，，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是关于的方程()的一个根，求实数与的值. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据，得，所以，再由求解. （2）根据是关于的方程()的一个根，知其共轭复数是方程的另一个根，再利用韦达定理求解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围为， （2）是关于的方程()的一个根， 则也是方程的另一个根， 根据韦达定理可得， 解的或 【点睛】本题主要考查了复数的运算及解一元二次方程，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知、均为复数，且，记、在复平面上对应的点分别为、. （1）若，求的值； （2）若点在轴上运动，求点的轨迹方程； （3）点在圆上运动，点的轨迹记为曲线，求的值；使得圆与曲线只有一个公共点. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据复数相等的概念，即可求出；（2）设点的坐标为，点的坐标为，根据题意可得，，消参后即可求出；（3）设，根据题意，消参可得曲线为，根据两圆的位置关系即可求出． 【详解】（1），， ， ， ． （2）设点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ，， ， 点的轨迹方程为，． （3）设，即， 则， 即，， 消参可得曲线为， 圆与曲线只有一个公共点， 两圆相切， 当两圆外切时，，此时无解， 当两圆内切时，，解得． 【点睛】本题考查了复数方程，参数方程，圆圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 【达标检测】 一、单选题 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，，故的虚部为. 2．（25-26高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 3．（2026·内蒙古赤峰·一模）复数，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因， 则. 4．（25-26高一下·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义结合旋转的性质求解即可. 【详解】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 5．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）复数z满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数z满足，表示椭圆，求出它的长半轴长，短半轴长，可以利用的几何意义求出它的范围. 【详解】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆，则，的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离，所以. 故选：A. 二、多选题 7．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知复数z满足，i为虚数单位，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在复平面上对应的点在第二象限 【答案】BCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数判断A，利用复数模的运算判断B，利用复数与共轭复数乘积运算判断C，利用复数的平方运算来判断D． 【详解】对于A，由，则， 所以，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故在复平面上对应的点在第二象限，故D正确. 故选：BCD. 8．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知是复数，则下列说法一定正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则至少有一个是虚数 【答案】BD 【分析】举例说明，即可判断AC；由只有实数才能比较大小，复数不能比较大小判断B；利用用反证法即可判断D． 【详解】A：设，满足，但不满足，故A错误； B：∵，∴都是实数，移项得，故B正确； C：设，则满足，但不满足，故C错误； D：假设中没有一个虚数（即全为实数）， 则有，与矛盾，所以假设错误，原命题正确，故D正确. 故选：BD． 三、填空题 9．（2026·天津河北·模拟预测）已知是虚数单位，则___________． 【答案】 【分析】将原式先化简成复数的代数形式，然后利用复数的模长公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______ 【答案】20 【分析】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积. 【详解】设， 则. 所以点的坐标分别为 又两点连线的中点对应的复数为， 解得 . 又 的面积为. 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），，若. (1)求复数； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到答案； （2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到，解得答案. 【详解】（1）已知复数满足，则. （2）由（1）可知，，则， 又因为，，所以， 由于，得，化简得，解得， 因此的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $