3.2 不等式的基本性质 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式的基本性质1、2、3，通过复习等式性质导入，结合“做一做”实例引导学生观察猜想，经证明形成定理，搭建从具体到抽象的学习支架，连接旧知与新知。 其亮点在于以实例操作为基础培养数学眼光，通过定理证明发展推理意识，用符号语言和例题变形强化数学语言表达。采用探究式教学，小结清晰，助力学生提升抽象与运算能力，教师可高效开展教学。

3.2 不等式的基本性质 第3章 一元一次不等式（组） 22051 3.2 不等式的基本性质 课时1 不等式的基本性质1、2 第3章 一元一次不等式（组） 22051 1.理解并掌握不等式的基本性质1、2； 2.通过实例操作，培养学生观察、分析、比较的能力， 会用不等式的基本性质1、2进行不等式的变形. 学习目标 22051 猜想 ：不等式也具有同样的性质吗？ 等式两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式. 符号语言：如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的基本性质是什么？ 等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式． 符号语言：如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0）. 复习导入 22051 做一做 已知 2＜3，用“＞”或“＜”填空： 2＋ 3＋， 2－ 3－(≈1.414)， 解：由于 2＋＝ ，3＋＝，＜， 所以 2＋＜3＋. 由于 2－≈0.586，3－≈1.586， 所以 2－＜3－. 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，则 a＋c＜b＋c，a－c＜b－c. 猜测是否正确？证一证！ 思考：观察以上结果，由此可猜测出什么结论? 新知讲解 22051 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，则 a＋c＜b＋c，a－c＜b－c. 证明：设 a，b，c 都是实数. 若 a＜b，则 a－b＜0，从而 (a＋c)－(b＋c)＝a＋c－b－c＝a－b＜0， 因此 a＋c＜b＋c. 类似地，有 a＋(－c)＜b＋(－c)，即 a－c＜b－c. 若a>b, 同理可得 a+c>b+c,a-c>b-c. 注意：c也可以是一个整式. 新知讲解 22051 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变. 符号语言：如果 a > b，那么 a + c > b + c，a－c > b－c . 不等式的基本性质1 新知讲解 22051 例1 用“＞”或“＜”填空： （2）已知3＜7，则3-x_______7-x. （2）因为3＜7,两边都减去x,由不等式的基本性质1， 得 3-x＜7-x. ＞ ＜ （1）已知a＞b，则a+ _______b+ ; 解：（1）因为a＞b,两边都加上,由不等式的基本性质1， 得 a+＞b+ 例题讲解 22051 已知3<π，用“＞”或“＜”填空： (1)3+ π+； (2)1 π-2. < < 可以把1看做3-2. 因为3<π，所以 3-2<π-2，即1<π-2. 巩固练习 22051 已知 3＜5，用“＞”或“＜”填空： 3π 5π， 思考：观察以上结果，由此可猜测出什么结论? 解：由于 π≈3.14，3π＝3×π≈9.42，5π＝5×π≈15.7， ， ＜ ＜ 于是 3π＜5π，＜. 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，c＞0，则 ac＜bc， ＜. 猜测是否正确？证一证！ 做一做 新知讲解 22051 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，c＞0，则 ac＜bc， ＜. 证明：已知 a＜b，于是 a－b＜0. 又 c＞0，于是 (a－b)c＜0， 从而有ac－bc＜0， 因此 ac＜bc. 又 ＞0，同理可得 a·＜b·，即 ＜. 若a＞b，c＞0，同理可得 ac＞bc， . 新知讲解 22051 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 符号语言：如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc ， > . 不等式的基本性质2 新知讲解 22051 例2 用“＞”或“＜”填空： (1) 已知 a＜b，则 aπ_____bπ； (2)已知 a＞b，则 解：(1) 因为 a＜b，π＞0，根据不等式的基本性质2 得, aπ＜bπ. (2) 因为 a＞b，＞0，根据不等式的基本性质2 得， ＜ ＞ 例题讲解 22051 已知3<π，用“＞”或“＜”填空： (1) ； (2) π. < < 解析：(1)因为3<π，两边都除以2 ， 由不等式的基本性质2，得 <. (2)因为，两边都乘， 由不等式的基本性质2，得 < π . 也可以分步：先两边都除以3，再两边都乘以5，凑到左右的数字. 巩固练习 22051 例3 利用 ＞2，比较 与 的大小. 解：因为 ＞2，根据不等式的基本性质1得， ＞2－1， 即＞1. 又因为 ＞0，根据不等式的基本性质2 得， 例题讲解 22051 思考：等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗? 拓展：(1)不等式的对称性: 若 a>b，则 b<a. (2)不等式的传递性: 若a>b，b>c，则 a>c. 填一填： （1）已知 6 > 4，那么4 6. （2）已知 10 > 8，8 > 6 ，那么10 6. > < 通过观察以上结果，你有什么发现? 新知讲解 22051 不等式的基本性质 不等式的基本性质2 → 如果 那么 不等式的基本性质1 如果 a > b，那么 a + c > b + c， a - c > b - c → 课堂小结 22051 1.用“＞”“＜”填空： (1)由a＞b，可得a _______ b； (2)由a＜b，可得2a ________ a+b； (3)由a＞b，,可得 ________ ； ＞ ＜ ＞ 2. 若,则___ . 注意：容易忽略 这种情况. 随堂小练 基础 22051 3.不等关系在生活中广泛存在.如图，， 分别表示两名同学的身高， 表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 ( ). A A. 若，则 B. 若,，则 C. 若,，则 D. 若,，则 随堂小练 基础 22051 4. 利用，比较与 的大小. 解：因为 ，所以根据不等式基本性质1得 ，即 . 又因为， 所以根据不等式基本性质2得 . 随堂小练 基础 22051 3.2 不等式的基本性质 课时2 不等式的基本性质3 第3章 一元一次不等式（组） 22051 1.理解并掌握不等式的基本性质3； 2.能运用不等式的基本性质对不等式进行变形，将不等式转化为x>a或x<a的形式. 学习目标 22051 1.上节课我们学习了哪些不等式的基本性质？ 不等式的基本性质1：如果 a＞b，那么a ± c > b ± c. 不等式的基本性质2：如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc，. 思考：不等式两边乘（或除以）的那个数可以是负数吗？可以是0吗？ 复习导入 22051 做一做 4 3， －4 －3 2(≈1.414)， 解：显然 4＞3，－4＜－3. 由于 ≈1.414，－ ≈－0.707， 所以＜2，－＞－1. 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，c＜0，则 ac＞bc， . 用“＞”或“＜”填空： ＜ 思考：观察以上结果，由此可猜测出什么结论? ＞ ＜ ＞ 猜测是否正确？ 新知讲解 22051 若 a，b，c 都是实数，且 a＜b，c＜0，则 ac＞bc， . 证明：已知 a＜b，于是 a－b＜0. 又 c＜0，于是 (a－b)c＞0， 从而有 ac－bc＞0， 因此 ac＞bc. 又 ＜0，同理可得 a·＞b·，即 . 若a>b，c<0, 同理可得 ac<bc,. 新知讲解 22051 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言：如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc ， < . 不等式的基本性质3 新知讲解 22051 例1 用“＞”或“＜”填空： (1) 已知 a＜b，则 (2) 已知 a＞b，则 解：(1) 因为 a＜b，两边都除以－3，由不等式的基本性质3，得 . ＞ (2) 因为 a＞b，两边都乘－，由不等式的基本性质3，得 . ＜ 例题讲解 22051 （1）如果 a＞b，那么 ac＞bc. （2）如果 a＞b，那么 ac2＞bc2. （3）如果 ac2＞bc2，那么 a＞b. 判断正误： × × √ 当 c ≤ 0 时不成立. 当 c = 0 时不成立. 巩固练习 22051 (1) 10x＜3x－7； 解：(1) 根据不等式的基本性质1，得 10x－3x＜3x－7－3x， 合并同类项，得 7x＜－7. 两边都除以7，根据不等式的基本性质2，得 x＜－1. 例2 把下列不等式化为 x＜a 或 x＞a 的形式: 为什么不等式两边要减去3x？ 例题讲解 22051 为什么要乘21？ 解：两边都乘以21，根据不等式的性质2，得 即 运用乘法对加法的分配律，得 合并同类项，得 (2)(x+5)+1. (x+5)×21+1×21×21 例题讲解 22051 两边都除以-3，根据不等式的性质3，得 根据不等式的基本性质1，得 合并同类项，得 . 例题讲解 22051 10x ＜ 3x － 7 10x －3x ＜－7 －x +6 ＜ 7 －x ＜ 7 - 6 把不等式右边的项 3x 改变符号后移到左边. 把不等式左边的项+ 6 改变符号后移到右边. 思考：观察例2中两道题的这两步，你有什么发现？ 把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项. 移项的依据是不等式的基本性质1 ↓ 新知讲解 22051 思考：观察例2(2)中的这些步骤，你有什么发现？ 运用乘法对加法的分配律，把不等式中的括号去掉，这种变形叫作去括号. 将原不等式的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而把分母去掉，这种变形叫作去分母. (x+5)×21+1×21×21 新知讲解 22051 注意：1.移项要变号； 2.去分母时，若分子是多项式要添括号； 3.不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 下列变形中，正确的是（ ）. A. 由 3x - 1 < 2x - 2，得 x < -1 B. 由 < ，得x+1< C. 由 -3x<-3，得 x< D. 由 x + 2 < 2x - 2，得 x < 0 A (x+1)< x x > 4 巩固练习 22051 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言：如果a>b，c <0，那么ac < bc， . 1.不等式的基本性质3： 把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项. 2.移项： 注意：1.移项的依据是不等式的性质1. 2.移项就要变号. 课堂小结 22051 ＜ 1. 已知 a > b，用“＞”或“＜”填空： (1) 2a 2b ； (2) -3a -3b ； > < (3) . 2. 用“＞”或“＜”填空： (1) 如果 1 - x > 3，那么 -x 3 - 1，得 x -2； (2) 如果 x + 2 < 3x + 8，那么 x - 3x 8 - 2， 即 -2x 6，得 x -3. > ＜ < < > 随堂小练 基础 22051 3. 把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． (1) 2x－2＜0； (2) x－2＞ x－5. 解：根据不等式的基本性质1， 两边都加上 2, 得2x＜2. 根据不等式的基本性质 2， 两边除以 2, 得x＜1. 解：根据不等式的基本性质1， 两边都加上 2－ x ，得 － x>－3. 根据不等式的基本性质 3， 两边都除以－ ，得 x < 18. 随堂小练 基础 22051 4.若,且，，设 , 的取值范围. 解：因为 , 所以,，即 . 所以 . 因为，，所以， . 所以 . 所以.所以 . 随堂小练 提升 22051 $