第一章 三角形的证明 单元综合复习提升卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形证明单元复习提升卷，以杭州亚运会八边形奖牌等现实情境为载体，覆盖全等三角形、角平分线等核心知识，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形内角和（题1）、多边形内角和（题2）|结合社会热点（题2亚运会奖牌），考查空间观念| |填空题|6/18|等边三角形性质（题12）、垂直平分线（题15）|基础性质直接应用，强化符号意识| |解答题|7/52|全等证明（题21）、动态等腰三角形（题23）|分层设计（如23题三问递进），体现推理能力与创新意识|

第1章 三角形的证明 单元综合复习提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数分别为：2：3：4， ∴三个内角分别是 ， 所以该三角形是锐角三角形， 故答案为：B. 【分析】根据三角形内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状. 2．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：（8-2）×180°=1080°。 故答案为：C。 【分析】利用多边形内角和公式计算出八边形的内角和即可得出答案。 3．如图，中，∠B=90°，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点D，已知BD=3，AC=8，则的面积为（　　） A．12 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AC于点G， 由作图可知CD平分∠ACB， ∵∠B=90°即BD⊥CB， ∴DG=BD=3， ∴S△ADC=AC·DG=×8×3=12. 故答案为：A 【分析】过点D作DG⊥AC于点G，由作图可知CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可求出DG的长，然后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积. 4．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C． 【分析】由等边对等角得出∠ACB=∠B=72°，然后根据角平分线的定义得出∠ACD=36°，最后根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE的度数. 5．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝（　　） A．100° B．130° C．150° D．160° 【答案】B 【解析】【解答】解： 、 的平分线 、 交于点 ， ， ， ， ， ． 故答案为：B． 【分析】利用角平分线的性质及三角形的内角和求解即可。 6．如图，△ABC≌△DBE，点E在AC边上，AB和DE相交于点O．若∠ABD=42°，则∠BED的度数是（　　） A．42° B．58° C．69° D．79° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠C=∠BED. ∴∠C=∠BED. ∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠DBE= ∠DBA+ ∠ABE， ∴∠ABE+∠CBE=∠DBA+ ∠ABE. ∴∠CBE=∠ABD=42°， ∴∠C=， ∴∠BED=69°. 故答案为：C. 【分析】先利用全等三角形的性质说明∠C=∠BED，接着利用“在同一个三角形中，等边对等角”和三角形内角和定理求得∠C即可. 7． 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB =AC，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC 的面积是 ( ) A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB=AC， AD平分∠BAC， ∵∠EBC = 45°， ∴∠BED=90°-∠EBC =45°， ∴∠EBC=∠BED =45°， ∴DB=DE = 3， ∴△EBC的面积 故选： B. 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD=CD=3， ∠ADB=90°， 从而可得∠EBC =∠BED=45°， 进而可得DB=DE=3， 然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答. 8．如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．160° 【答案】C 【解析】【解答】∵CD⊥直线c ∴∠ACD＝90°， ∴∠ABD＝∠ACD-∠1＝90°-40°＝50° ∵ ∴＝180°-∠ABD＝180°-50°＝130° 故答案为：C 【分析】根据CD⊥直线c，得到∠ACD＝90°，利用三角形的外角可求得∠ABD的度数，再根据a∥b可得到∠2的度数． 9．如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：延长至点E，连接，使得，延长交于点F， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可证：，， ∴， ∵， ∴设， 设， 则， ∵，，， ∴， ∴， 即： ， 解得： ， ∴． 故答案为：B． 【分析】延长AD至点E，连接CE，使得∠E=60°，延长EC和AB，相交于点F，证明出，，，利用全等三角形的性质，找出线段之间的关系，最后列方程组求解即可． 10．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】【解答】解：因为AD是∠BAC的平分线， ， 于点， 所以BD=DE.又AD为△ABD与△ADE的公共边，所以△ABD≌△ADE(HL). 所以AB=AE.因为AB=8，AC=10，所以CE=AC-AE=2. 在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，所以BC=6，. 设DE=x，则CD=6-x，所以，解得x= . 故答案为：A. 【分析】先利用角平分线的性质说明BD=DE，设DE为x，利用勾股定理求得BC，用x表示出CD，再在Rt△CDE中用勾股定理，列出关于x方程求解. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， ∵是的平分线，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 【分析】本题考查角平分线的性质和含角直角三角形的性质。过作于，因为是的平分线，且、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；在中，、，故，而（对顶角相等），因此；在中，角对的直角边是斜边的一半，即，故。 12．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=　 　； 【答案】3 【解析】【解答】∵等边△ABC ∴∠A=60° ∵EF⊥AC ∴∠AFE=30° ∴AE= AF= AB=3，故答案为3. 【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，利用垂直的定义及三角形内角和求出∠AFE=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解. 13．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC=AD，连接BD，若∠DBC=41°，∠CAD=　 　°. 【答案】82° 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60° ∵AC=AD，∠DBC=41° ∴AB= AD，∠ABD=∠ABC－∠DBC=19° ∴∠ADB=∠ABD=19° ∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=142° ∴∠CAD=∠BAD－∠BAC=82° 故答案为：82°. 【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，从而求出∠ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB= AD，根据等边对等角即可得：∠ADB=∠ABD，利用三角形的内角和即可求出∠BAD，从而求出∠CAD的度数. 14．如图，在 中， ， 平分 ， 于D．如果 ，那么 等于　 　． 【答案】10cm 【解析】【解答】解：∵ 平分 ， ， ∴DE=CE ∴AE+DE=AE+CE=AC=10cm 故答案为：10cm 【分析】根据角平分线的性质可得DE=EC，因此AE+DE=AE+CE=AC。 15．如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A=　 　°． 【答案】60 【解析】【解答】解：∵E在线段BC的垂直平分线上， ∴BE=CE， ∴∠ECB=∠B=40°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACD=2∠ECB=80°， 又∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A=180°−∠B−∠ACB=60°， 故答案为：60. 【分析】根据垂直平分线性质可得BE=CE，根据角平分线判定定理可得CE平分∠ACB，则∠ACD=2∠ECB=80°，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝　 　. 【答案】105° 【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD=30°， ∴∠ADB=180°-30°-45°=105°. 故答案为：105°. 【分析】由角平分线的概念可得∠BAD=30°，然后在△ABD中，利用内角和定理进行求解. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得． （1）求的度数 （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 【答案】（1）解：∵，， ∴． ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴这两个电线塔之间的距离是． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）∵，， ∴． （2）∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴这两个电线塔之间的距离是． 18．如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ，， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ＝ ． 【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）连接，根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （1）解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ，， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ＝ ． 19．如图，在五边形中，平分，且，交于点． （1）五边形的内角和为______度； （2）若，求的度数． 【答案】（1）540 （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【解析】【解答】（1）解：五边形的内角和为 故答案为：540 【分析】（1）利用多边形内角和公式（为边数 ），代入计算. （2）先由和的度数，利用平行线同旁内角互补求；再由角平分线得；最后根据五边形内角和，结合已知、度数，求出 . （1）解：五边形的内角和为； 故答案为：540； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 20．如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若 求 的度数； （2）若的周长为， 求的周长． 【答案】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，的周长为，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。 （2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。 （1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，的周长为，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 21． 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点． （1）求证：； （2）． 【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴CD=BE； （2）解：∵△DAC≌△BAE， ∴∠BEA=∠ACD， ∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC =∠BEA+∠ACE+∠PEC =∠ACE+∠AEC =60°+60° =120°． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论； （2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。 22．如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点． （1）若，，是边上的高线． ①求线段的长； ②当，求线段的长； （2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）解：①如图，过点作， 在中，，， ， 是边上的高线， ， 即， 解得：； ②根据题意，如图所示： 点关于对称点为， ， 由①知， 则， （2）或 【解析】【解答】（3）①如图所示，当时，是等腰三角形， 点关于对称点为， ， ， ， ②如图所示，当时，是等腰三角形， 点关于对称点为， ， ， ③当时，是等腰三角形， 点关于对称点为， ， 是的一个外角， ， 即（舍弃）， 综上所述，在的情况下，或． 【分析】（1）①先由勾股定理求出斜边AB，再利用等面积法求出CE即可； ②当时点Q、E重合，则由对称的性质知，此时，又，则； （2）由等腰三角形的概念可分三种情况进行讨论，即：①、②、③，再根据条件分别利用等腰三角形的性质、内角和定理及三角形的外角性质进行计算即可． （1）解：①如图，过点作， 在中，，， ， 是边上的高线， ， 即， 解得：； ②根据题意，如图所示： 点关于对称点为， ， 由①知， 则， ； （2）如图所示： 由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③； ①当时， 点关于对称点为， ， 在中，， '是的一个外角， ， 即； ②当时， 点关于对称点为， ， 在中，， 是的一个外角， ， 即； ③当时， 点关于对称点为， ， 是的一个外角， ， 即（舍弃）， 综上所述，在的情况下，或． 23．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E． （1）求证：∠BAD=∠CDE； （2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ； （3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数． 【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∠BAD+∠B=∠ADC，∠CDE+∠ADE=∠ADC， ∴∠BAD=∠CDE ； （2）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE (SAS)； （3）解：当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形． 【解析】【解答】解：（3）∵∠B=∠C=50，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°， 分三种情况讨论： 当DA=DE时，∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=∠B=50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°， ∴∠DAE=(180°-50°)÷2=65°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-65°=15°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°- 50°-15°=115° ； 当AD=AE时，∠AED=∠ADE = 50° ， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°， ∴∠DAE =180°-∠AED-∠ADE=180°-50°-50°=80°， ∵∠BAC= 80°， ∴∠DAE=∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意． 当EA=ED时，∠DAE=∠ADE= 50°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-50°=30°， ∵∠B+∠BAD+∠BD4= 180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100° ， 综上所述，当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形外角性质及角的和差可求证； （2）根据SAS求证； （3） △ADE是等腰三角形 ，需分三种情况，DA=DE，AD=AE，EA=ED，分情况讨论得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的证明 单元综合复习提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，∠B=90°，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点D，已知BD=3，AC=8，则的面积为（　　） A．12 B．24 C．16 D．8 4．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝（　　） A．100° B．130° C．150° D．160° 6．如图，△ABC≌△DBE，点E在AC边上，AB和DE相交于点O．若∠ABD=42°，则∠BED的度数是（　　） A．42° B．58° C．69° D．79° 7． 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB =AC，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC 的面积是 ( ) A．12 B．9 C．6 D．3 8．如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．160° 9．如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（　　） A． B． C． D． 10．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则　 　． 12．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=　 　； 13．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC=AD，连接BD，若∠DBC=41°，∠CAD=　 　°. 14．如图，在 中， ， 平分 ， 于D．如果 ，那么 等于　 　． 15．如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A=　 　°． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得． （1）求的度数 （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 18．如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 19．如图，在五边形中，平分，且，交于点． （1）五边形的内角和为______度； （2）若，求的度数． 20．如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若 求 的度数； （2）若的周长为， 求的周长． 21． 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点． （1）求证：； （2）． 22．如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点． （1）若，，是边上的高线． ①求线段的长； ②当，求线段的长； （2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 23．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E． （1）求证：∠BAD=∠CDE； （2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ； （3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $