期中模拟试卷•培优提升卷（北师大版，范围：第1章 三角形的证明及其应用～第4章 因式分解）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷（培优提升卷） 苏科版 考试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，，，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．10 2．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 4．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 6．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则（   ） A． B． C． D． 9．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 12．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 13．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 14．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 15．如图，在等腰三角形ABC中，，点在等腰三角形ABC的内部，连接，使，且平分．若，则______． 16．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 18．我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． (1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ (2)今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 19．如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)若平分，求证：； (2)在（1）的条件下，已知，求的长度． 20．如图，在中，为的角平分线，边的垂直平分线分别交于点D，O，E，连接． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若，求的度数．（可直接利用（1）的结论） 21．在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 22．如图，是等腰直角三角形，，在线段上一个动点，连接．是线段上的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足、、三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 24．如图，在中，，，为直线上一点． (1)如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； (2)如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； (3)如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷（培优提升卷） 苏科版 考试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，，，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】首先作于，作交的延长线于．根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于，作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 的高即为， ． 2．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质对每个选项的变形逐一判断即可． 【详解】解：A、，根据等式性质，两边同时加3，可得，变形正确； B、，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确； C、，不等式两边同时除以时，若，不等号方向要改变，得到，题目未说明的符号，无法直接推出，故变形不正确； D、由得，根据不等式性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，变形正确； 3．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 【答案】B 【分析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意； B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； C .当时，，可以分解，本选项不符合题意； D .当时，，可以分解，本选项不符合题意． 4．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 5．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． 6．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 7．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 8．如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 9．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共2个． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 12．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 13．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为，判断的符号，得到与的数量关系和的符号，再求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 根据不等式的性质，不等式两边同除以得， ， 整理得， ，即， ， 对于不等式， 根据不等式的性质，不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 将代入得． 14．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在等腰三角形ABC中，，点在等腰三角形ABC的内部，连接，使，且平分．若，则______． 【答案】 【分析】延长交于，延长交于，设，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等腰三角形的性质得，，由直角三角形的特征得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于，延长交于，设， ， ， 是等边三角形， ， ， ，平分 ，， ， ， ，即， 解得， ． 16．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 【答案】1，1，1，1，1，1，1，2，2 【分析】本题主要考查了数的整除，熟练掌握整除的意义是解题的关键．通过构造以1为主的特殊正整数组合，结合整除的定义验证是否满足条件． 【详解】解：设7个正整数为1，2个正整数为2， ∴， ∴， 因为，即15能整除120，满足题设中“正整数的平方和整除和的平方减1”的条件， 故答案为：1，1，1，1，1，1，1，2，2． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)、 (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴； （2）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴， ∵， ∴， （3）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴，， ∴ 18．我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． (1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ (2)今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 【答案】(1)种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元； (2)种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 【分析】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元根据题意列方程即可解答； （2）设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，根据题意得到y关于x的一次函数，再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元， 根据题意，得， 解得：， 答：种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元； （2）解：设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，总费用为y元 根据题意得：， ∵A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 19．如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)若平分，求证：； (2)在（1）的条件下，已知，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点F作于点G，求出，得出，即可证明； （2）根据，得出，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴； 在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，为的角平分线，边的垂直平分线分别交于点D，O，E，连接． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若，求的度数．（可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)为等腰三角形，； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，再由等腰三角形的定义及全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求得，，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：等腰三角形有； ∵为的角平分线， ∴垂直平分边， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点D，O，E， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴． ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 21．在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可； （2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线， 得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入直线， 得： 解得：； （2）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 线段的长为 ， 当时，线段的长恒大于1， 在时恒成立， ∴当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最小值在， 则当时， 解得， ∴； 当时，，恒成立， 当时，随n的增大而减小，最小值在， 则当时， 解得， ∴， ∴k的取值范围为； 当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最大值在， 则当时， 解得，无解； 当时，，不成立，无解； 当时，随n的增大而减小，最大值在， 则当时， 解得，无解； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析． 22．如图，是等腰直角三角形，，在线段上一个动点，连接．是线段上的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足、、三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，通过证明，从而得到． （2）由全等得，结合、、共线及等腰直角三角形的角度，证明，再在中用勾股定理列方程求解的长． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：设， ， ， 由（1）知， ，， 是等腰直角三角形， ， 、、三点共线， ， ， ， 在中，由勾股定理：， ，， ， 解得， ． 23．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 24．如图，在中，，，为直线上一点． (1)如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； (2)如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； (3)如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点D作于点H，证明出，是等腰直角三角形，求出，然后利用勾股定理求解； （2）如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G，证明出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）如图，连接，利用勾股定理求出，由折叠得，，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接，，证明出是等边三角形，求出，如图，在右边作，且使，连接，证明，得到，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G， ∵为中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， 由三角形三边关系得， ∴如图，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ 由轴对称得， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 如图，在右边作，且使，连接， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴如图，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $