期末备考06——复数基础知识与基本方法梳理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高一数学必修二期末备考06 复数基础知识与基本方法梳理 知识梳理： 一．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的 问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. （5）复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 二、复数的四则运算 设 1. 加减： 2. 乘法： 3. 除法：（分母实数化）； 的周期性： 5. 复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤． 6. 常用公式 ； ； ． 三．复数的几何意义 (1)复平面：根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系 中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点 Z的横坐标是a，纵坐标 是b，复数z=a+bi可用点 Z(a,b)表示，这个建立了 直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，x轴 叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个 点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯 一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面 内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复 平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 四.复数的模及模的几何意义 1.复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2.共轭复数 (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①；②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3.复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 方法梳理： 1、复数的基本概念 例、对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【解题方法】 1.识别形式：将复数化为标准形式 2.区分实部与虚部：为实部（含符号），为虚部（仅系数，不含） 3.判断类型：根据是否为0判断实数/虚数/纯虚数 2、复数相等求参数 例、若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 【解题方法】 1.化简：将等式两边复数化为标准形式 2.列方程：令实部相等、虚部相等，得方程组 3.解方程组：求参数等 3、由复数的类型求参数 例、当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式 2.列条件：实数：令虚部；虚数：令虚部 纯虚数：令实部且虚部 3.解方程/不等式，求参数 4、复数的坐标表示 例、在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是_____． 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式 2.对应：实部为横坐标，虚部为纵坐标 3.写出点坐标或向量坐标 5、由复数的模长求参数 例、设复数，若且，则满足条件的________．（写一个即可） 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列方程：，平方得 3.解方程，求参数 4.验证：参数需使复数有意义（如分母不为0） 6、复数的轨迹与最值问题 例、已知复数，则复数的模的最大值为________，最小值为_____． 【解题方法】 1.设，将复数条件转化为关于的方程 2.识别轨迹：判断是圆、直线、线段等 3.求最值： 几何法：利用图形性质（如圆上点到定点的距离最值）；代数法：转化为函数求最值 4.验证：结果是否符合复数定义 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修二期末备考06 复数基础知识与基本方法梳理 知识梳理： 一．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的 问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. （5）复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 二、复数的四则运算 设 1. 加减： 2. 乘法： 3. 除法：（分母实数化）； 的周期性： 5. 复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤． 6. 常用公式 ； ； ． 三．复数的几何意义 (1)复平面：根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系 中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点 Z的横坐标是a，纵坐标 是b，复数z=a+bi可用点 Z(a,b)表示，这个建立了 直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，x轴 叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个 点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯 一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面 内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复 平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 四.复数的模及模的几何意义 1.复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2.共轭复数 (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①；②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3.复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 方法梳理： 1、复数的基本概念 例、对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.选C. 【解题方法】 1.识别形式：将复数化为标准形式 2.区分实部与虚部：为实部（含符号），为虚部（仅系数，不含） 3.判断类型：根据是否为0判断实数/虚数/纯虚数 2、复数相等求参数 例、若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算. 【解析】若， 即，得， 解得，所以． 【解题方法】 1.化简：将等式两边复数化为标准形式 2.列方程：令实部相等、虚部相等，得方程组 3.解方程组：求参数等 3、由复数的类型求参数 例、当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)；(2)且；(3) 【解析】（1）当即时，复数是实数． （2）当，且，即且时，复数是虚数． （3）当即时，复数是纯虚数． 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式 2.列条件：实数：令虚部；虚数：令虚部 纯虚数：令实部且虚部 3.解方程/不等式，求参数 4、复数的坐标表示 例、在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是_____． 【答案】 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得，所以点D表示的复数为. 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式 2.对应：实部为横坐标，虚部为纵坐标 3.写出点坐标或向量坐标 5、由复数的模长求参数 例、设复数，若且，则满足条件的________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据模长公式计算求解. 【详解】复数，取，满足且，符合题意． 【解题方法】 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列方程：，平方得 3.解方程，求参数 4.验证：参数需使复数有意义（如分母不为0） 6、复数的轨迹与最值问题 例、已知复数，则复数的模的最大值为________，最小值为_____． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图，易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为，所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 【解题方法】 1.设，将复数条件转化为关于的方程 2.识别轨迹：判断是圆、直线、线段等 3.求最值： 几何法：利用图形性质（如圆上点到定点的距离最值）；代数法：转化为函数求最值 4.验证：结果是否符合复数定义 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $