精品解析：2026年黑龙江省绥化市望奎县第六中学等校中考模拟预测数学试题

2026年九年级中考数学模拟试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. |－6|的倒数是（ ） A. 6 B. －6 C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】根据互为倒数的两个数的积等于1解答． 【详解】∵|－6|=6 又∵6×=1， ∴|－6|的倒数是， 故答案为C. 【点睛】此题考查倒数、绝对值，解题关键在于互为倒数的两个数的积等于1. 2. 下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形的是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别运用单项式乘单项式法则、同类项合并规则、幂的乘方与积的乘方法则逐一计算选项，判断正误即可． 【详解】解：选项A：， A错误，不符合题意； 选项B：与不是同类项，不能合并， B错误，不符合题意； 选项C：， C错误，不符合题意； 选项D：， D正确，符合题意； 4. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后主视图不变，则移走的小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，减少一个小正方体的组合体的三视图的变化，根据三视图的定义，对比去掉小正方体前后主视图，即可得出答案．掌握简单组合体的三视图是解题关键． 【详解】解：原组合体的主视图如下， 若去掉小正方体①，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体②，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体③，主视图如下， 主视图发生变化，故此选项不符合题意； 若去掉小正方体④，主视图如下， 主视图不变化，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “清明时节雨纷纷”是随机事件 C. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 D. 某市一周内每天最高气温（单位：）分别为：20，21，20，19，22，18，19，则中位数为19 【答案】B 【解析】 【分析】逐一结合统计基础概念判断各选项即可，用到调查方式选择、随机事件定义、方差的意义、中位数计算等初中统计知识． 【详解】解：对于A选项：∵神舟飞船零件检查对精度要求极高，需检查所有零件， ∴应选择全面调查，A错误，不符合题意； 对于B选项：∵随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，清明时节不一定会降雨， ∴“清明时节雨纷纷”是随机事件，B正确，符合题意； 对于C选项：∵平均分相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定， ∴方差较大的同学成绩更不稳定，C错误，不符合题意； 对于D选项：将数据从小到大排序为，共7个数据，中位数为排序后第4个数据，即中位数为， ∴D错误，不符合题意． 8. 甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据题意得： ， 解得：，， 经检验，都是原方程的根，但不符合题意舍去， ∴甲容器原有酒精， 故选：B． 9. 如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为（当，，三点共线时，不妨设），则能够反映与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键． 先用勾股定理得出的长，分类讨论的取值范围，利用三角函数的比值关系得到各边的长表达出面积的函数式子求解即可． 【详解】解：∵以每秒1个单位长度的速度的运动，且时间为， ∴当点在上时，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴时，函数为抛物线，故A，B错误； 当点在上时，则，如图： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，函数是个抛物线，故C正确，D错误； 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和系数之间的关系，二次函数的对称性，根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知， 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故②正确； 将点代入抛物线解析式得， 又∵， ∴， ∴，∴，故③错误； ∵当时，， ∴． ∵当时，， ∴， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有②④，共2个． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 据统计，截止到2025年春季学期，我国在校初中生人数约为5243.69万人，这个数用科学记数法表示为___________人． 【答案】 【解析】 【详解】解：5243.69万． 12. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到结果． 【详解】解：∵式子有意义， ∴ ， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 13. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 猜灯谜是从古代流传至今的元宵节特色活动，茂茂从分别写有“猜成语”、“猜汉字”、“猜成语”、“猜汉字”四个外观无差异的灯笼中随机选择两个，则茂茂选择的两个灯谜均是“猜汉字”的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出两个灯笼均为“猜汉字”的结果数，根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：将四个灯笼分别标记为（猜成语），（猜汉字），（猜成语），（猜汉字） 随机选择两个，所有等可能的结果为：，，，，，，共种等可能的结果，其中所选两个灯谜均是“猜汉字”的结果有种 根据概率公式，可得所求概率为． 15. 用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得弧长为，根据弧长公式求出扇形的半径是，再根据圆锥的侧面积为扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵底面圆半径为1， ∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为， 设扇形的半径是r，则， ， ∴扇形的面积为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质． 连接，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，利用菱形的性质证出，再利用反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∵四边形为菱形，且， ∴为等边三角形，， ， 又∵， ， ∵点在反比例函数的图象上， , ， ， ∵图象位于第二象限， ， 故答案为：． 17. 如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是最短路线问题，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 等腰的底边的长为12，周长为32， ， 点D为边的中点， ， ， ， 腰的垂直平分线分别交边于E、F点， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 18. 设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 19. 中，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式滚动，则滚动2025次后，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，结合三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长，求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 此时点B的坐标为； 第1次滚动后，点B的坐标为，即； 第2次滚动后，点B的坐标不变； 第3次滚动后，点B的坐标为，即； 根据图象可得三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长， ∵， ∴滚动2025次后，点的横坐标为， 故点的坐标为． 20. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，将沿翻折，使点落在点处，若有两条边存在2倍的数量关系，则点到的距离可为________． 【答案】2或6或 【解析】 【分析】连接交于点G，作于点F，先由有两条边存在2倍的数量关系结合，求出，，最后根据，利用计算即可． 【详解】解：连接交于点G，作于点F， ∵矩形中，，， ∴， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， ∴， ∴ ∴， 当，不符合题意； 当时，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点到的距离可为2或6或， 故答案为：2或6或． 【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共7道大题，共60分） 21. 按要求解题： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：， ， 或， ∴，． 22. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”、“敬老服务”、“文明宣传”、“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，并将结果整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有___________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是___________； （4）该校共有名学生，若有的学生参加了志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 【答案】（1） （2）解：补全条形统计图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图中B组数据得对应关系求解即可； （2）计算出C组人数即可补全条形统计图； （3）由A组人数占比乘以即可； （4）由样本情况估计总体即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图及扇形统计图中B组数据对应关系可得本次调查的学生数为（人）； 【小问2详解】 解：C组人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴A组对应的圆心角的度数是； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计参加“文明宣传”项目的学生人数有360人． 23. 某商场举行促销活动，活动期间赠送优惠券，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如图所示的两种优惠券获得相应金额的减免．活动中，静怡领到了这两种优惠券若干张，准备给家人买礼物． （1）若静怡一共使用了6张优惠券，共优惠了52元，那么她使用了这两种优惠券各几张？ （2）若商场规定，使用种优惠券减免的金额不得低于使用种优惠券减免的金额的倍，且最多只能使用20张优惠券，已知静怡有两种优惠券各20张，如何搭配使用可以减免最多金额？最多减免多少元？ （3）若商场规定，本次活动减免金额最多为200元，且种优惠券最多使用10张，若静怡想实现最大优惠，则她的使用方案有哪些？ 【答案】（1）静怡使用了种优惠券4张，种优惠券2张 （2）使用14张种优惠券、6张种优惠券可减免最多金额172元 （3）共三种使用方案： 方案一：使用种优惠券15张，种优惠券8张； 方案二：使用种优惠券20张，种优惠券4张； 方案三：使用种优惠券25张，种优惠券0张 【解析】 【分析】（1）设静怡使用了种优惠券张，种优惠券张， 根据题意得，解方程组即可； （2）设静怡使用了种优惠券张，则使用种优惠券张，减免了元， ，随的减小而增大，解答即可； （3）设静怡使用种优惠券张，种优惠券张，根据题意得， 整理得，且，为整数，求解即可； 【小问1详解】 解：设静怡使用了种优惠券张，种优惠券张， 根据题意得， 解得， 答：静怡使用了种优惠券4张，种优惠券2张； 【小问2详解】 解：∵减免金额最多， ∴共使用了20张优惠券， 设静怡使用了种优惠券张，则使用种优惠券张，减免了元， ∵，随的减小而增大， ∴当取最小值时，最大， 由题意可知， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为14， ∴，且， 答：使用14张种优惠券、6张种优惠券可减免最多金额172元； 【小问3详解】 解：设静怡使用种优惠券张，种优惠券张，根据题意得， 整理得，且，为整数， ∴或或， 答：共三种使用方案： 方案一：使用种优惠券15张，种优惠券8张； 方案二：使用种优惠券20张，种优惠券4张； 方案三：使用种优惠券25张，种优惠券0张． 24. 五一假期，小丽和小明组队自驾沿同一路线去某景区游玩，全程，由于小明临时有事，比小丽晚出发，记小丽和小明所走路程分别为和，且，与小丽出发的时间之间的函数关系如图所示，请解决下列问题： （1）由于小丽的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间，求汽车故障排除后小丽所走的路程与时间之间的函数关系式； （2）求小丽和小明在第一次相遇后两车的距离超过30km持续的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求得直线的函数关系式为，易得，再用待定系数法求得直线的解析式即可解答； （2）由图像知两人第一次相遇后在时两车相距最远，第二次相遇后在时两车相距最远，当时，；当时，；即第二次相遇之后两车的距离才可能大于；然后再分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数关系式为， ∵点，点在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数关系式为； ∵点在直线上，且， 将代入中，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵点，点在直线上， ∴，解得， ∴汽车故障排除后小丽所走的路程与时间之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由图像知两人第一次相遇后在时两车相距最远，第二次相遇后在时两车相距最远， 当时，， 当时，， 则第二次相遇之后两车的距离才可能大于， 令，则，解得， 令，则，解得， ∴小丽和小明在第一次相遇后两车的距离超过30km持续时间为． 25. 陀螺（如图1）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要．如图2，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳记为，点为接头，绳杆为，与相切于点，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）实践中发现，当与相切于点，时，发动陀螺会更加稳定．若陀螺的半径cm，，求绳杆的长度． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）cm 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可证得，可得，由半径相等可证得，再证明，即可求证； （2）先证出四边形是矩形，由半径相等可得出矩形是正方形，结合得到为等边三角形，再证出∽，可得，设，则，在中列勾股定理即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点，是的半径， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴cm， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴∽， ∴， 设，则， 在中，， 解得（负值已舍去）， ∴绳杆的长度为cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 26. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【解析】 【分析】对于（1），根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），结合已知可得，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得，可得结论； 对于（3），分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；②当时，设交于点I，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】（1）； 证明：∵， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 证明：由题意，得． 在中，∵是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）的长为或． 分两种情况讨论：①当时， ∵，， 根据勾股定理，得． ∵是的中点， ∴． 在中，，由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，设交于点I，点G与点C重合， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为的中点，则 ∴，，， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 综上所述的长为或. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，准确的画出图形是解题的关键，注意多种情况讨论． 27. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过两点的抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（不与点重合），设点的横坐标为． ①已知点，当点在第一象限时，连接交于点，若，求的值； ②连接，若是直角三角形，求的值； ③连接，若是钝角三角形，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①或；②或；③或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可； （2）①过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线交于点，由相似三角形的判定与性质求出相关线段关系，再设点的坐标为，代入直线求出坐标，进而得出点，点，由列方程求解即可； ②以的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点，由直径所对的圆周角是直角，分和为题中所要求的的两种情况，由相似三角形判定与性质得到，设点的坐标为，先求出，再将代入抛物线的解析式求解即可； ③由②的求解过程分析，当是钝角三角形时，只能为钝角，由②中图可知，当点在以为直径的圆的内部的抛物线上时，满足题意，则分点在点与点之间的抛物线上或在点与点之间的抛物线上（不与点重合）两种情况，由点的坐标找出范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵直线y=与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入直线得；将代入直线得， ∴， ∴将点，点，点代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线交于点，如答图1： ∴， ∴∽， ∴， ∴， 设点的坐标为， 将点的坐标代入得， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴点，点， ∴，解得， ∴的值为或； ②以的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点，如答图2所示： 则，即和为题中所要求的的两种情况， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∴， 当点位于位置时，设点的坐标为，则，，， 由可得 ， ∵点是轴上方抛物线上的点， ∴，且， 则综合 和可得， 解得或（不符合，舍去）， 由圆的对称性及抛物线的对称性可知，点和点的纵坐标相同，为， 当点位于位置时，设点的坐标为， ∵点是轴上方抛物线上的点， ，解得， ∴的值为或； ③点是轴上方抛物线上的一个动点（不与点重合）， 当是钝角三角形时，只能为钝角，由②中图可知，当点在以为直径的圆的内部的抛物线上时，满足题意， 则分点在点与点之间的抛物线上或在点与点之间的抛物线上（不与点重合）两种情况， 由②可知，，， ，， 当点在点与点之间的抛物线上时，；当点在点与点之间的抛物线上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考数学模拟试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. |－6|的倒数是（ ） A. 6 B. －6 C. D. － 2. 下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后主视图不变，则移走的小正方体的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “清明时节雨纷纷”是随机事件 C. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 D. 某市一周内每天最高气温（单位：）分别为：20，21，20，19，22，18，19，则中位数为19 8. 甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为（当，，三点共线时，不妨设），则能够反映与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 据统计，截止到2025年春季学期，我国在校初中生人数约为5243.69万人，这个数用科学记数法表示为___________人． 12. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 13. 化简：___________． 14. 猜灯谜是从古代流传至今的元宵节特色活动，茂茂从分别写有“猜成语”、“猜汉字”、“猜成语”、“猜汉字”四个外观无差异的灯笼中随机选择两个，则茂茂选择的两个灯谜均是“猜汉字”的概率为___________． 15. 用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上若，则的值为__________． 17. 如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为______. 18. 设是方程的两个根，则的值为___________． 19. 中，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式滚动，则滚动2025次后，点的坐标为___________． 20. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，将沿翻折，使点落在点处，若有两条边存在2倍的数量关系，则点到的距离可为________． 三、解答题（本题共7道大题，共60分） 21. 按要求解题： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）解方程：． 22. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”、“敬老服务”、“文明宣传”、“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，并将结果整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有___________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是___________； （4）该校共有名学生，若有的学生参加了志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 23. 某商场举行促销活动，活动期间赠送优惠券，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如图所示的两种优惠券获得相应金额的减免．活动中，静怡领到了这两种优惠券若干张，准备给家人买礼物． （1）若静怡一共使用了6张优惠券，共优惠了52元，那么她使用了这两种优惠券各几张？ （2）若商场规定，使用种优惠券减免的金额不得低于使用种优惠券减免的金额的倍，且最多只能使用20张优惠券，已知静怡有两种优惠券各20张，如何搭配使用可以减免最多金额？最多减免多少元？ （3）若商场规定，本次活动减免金额最多为200元，且种优惠券最多使用10张，若静怡想实现最大优惠，则她的使用方案有哪些？ 24. 五一假期，小丽和小明组队自驾沿同一路线去某景区游玩，全程，由于小明临时有事，比小丽晚出发，记小丽和小明所走路程分别为和，且，与小丽出发的时间之间的函数关系如图所示，请解决下列问题： （1）由于小丽的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间，求汽车故障排除后小丽所走的路程与时间之间的函数关系式； （2）求小丽和小明在第一次相遇后两车的距离超过30km持续的时间． 25. 陀螺（如图1）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要．如图2，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳记为，点为接头，绳杆为，与相切于点，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）实践中发现，当与相切于点，时，发动陀螺会更加稳定．若陀螺的半径cm，，求绳杆的长度． 26. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 27. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过两点的抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（不与点重合），设点的横坐标为． ①已知点，当点在第一象限时，连接交于点，若，求的值； ②连接，若是直角三角形，求的值； ③连接，若是钝角三角形，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $