精品解析：黑龙江绥化市海伦市第四中学2025-2026学年九年级下学期第四次阶段测试数学试卷

九年级第四次模拟测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、填空题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克，用科学记数法表示0.0000000035正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 一项比赛共有8位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余6位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（ ） A. 同一个选手的“初始评分”的中位数小于“有效评分”的中位数 B. 同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数 C. 同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数 D. 同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差 5. 如图，，点E， F分别在直线，上，，，点M在的角平分线上，且 则的度数是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 8. 如图，小明从平凉大明塔A出发，以15千米/时的速度向正北方向骑行，2小时后到达同学小刚家B处．小明家C在平凉大明塔A的北偏西方向上，在小刚家B的北偏西方向上．则小刚家B到小明家C的距离是（ ） A. 15千米 B. 20千米 C. 30千米 D. 35千米 9. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 12. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，满30分） 13. 计算：___________． 14. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，则其主视图、左视图、俯视图三种视图的面积之和为______． 15. 分解因式：________． 16. 圆内接正三角形的中心角的度数为______． 17. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______． 18. 计算：___________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为_____． 20. 如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为________． 21. 如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为________． 22. 的半径为，直线切于点，点在直线上，且，，则___________． 三、解答题（满分54分） 23. 如图，中，． （1）在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） （2）若，，求的内切圆半径． 24. 针对新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99．班长根据情况画出的扇形图如下： 类别 分数段 频数（人数） 16 24 （1）补全频数分布直方图； （2）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？ （3）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率． 25. 解答： （1）随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面，某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： ①甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ ②为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． ③如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． （2）为了适应人工智能的发展，某AI服务器制造工厂安排甲、乙两组工人加工一批AI服务器，甲组工人加工1小时后，乙组工人才参与加工这批服务器．甲组工人加工中因机器故障停产一段时间，修复生产后甲组工人以原来的工作效率的2倍继续加工；由于时间紧任务重，乙组工人加工若干小时后也开始提速，速度变为200个/小时．其中甲、乙两组工人加工AI服务器的数量（个）与甲组加工时间（小时）之间的关系如图所示，请根据图象解答下列问题： ①甲组停产_________小时，乙组共加工了_________服务器． ②直接写出甲、乙两组工人加工的AI服务器数量相等时的值_________． 26. 如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 27. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； （3）如图（3），在中，，当点从点运动至点在左侧作，，，当点从点运动至点的过程中，求点的运动路径长． 28. 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式和对称轴； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第四次模拟测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、填空题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． C、轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克，用科学记数法表示0.0000000035正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题，当原数绝对值小于时，为负整数，的绝对值与原数小数点移动的位数相等． 【详解】解：用科学记数法表示为． 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且． 4. 一项比赛共有8位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余6位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（ ） A. 同一个选手的“初始评分”的中位数小于“有效评分”的中位数 B. 同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数 C. 同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数 D. 同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数，下四分位数，平均数，方差的定义，将初始评分排序后，结合定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】将8位评委的初始评分从小到大排序，记为， 去掉最低分和最高分后，有效评分从小到大排序为， 对选项A：初始评分共8个数据，中位数为，有效评分共6个数据，中位数仍为，两者相等，因此A错误； 对选项B：初始评分的下四分位数为，有效评分的下四分位数为，两者不一定相等，因此B错误； 对选项C：举反例，取，，，初始评分的平均数为，有效评分的平均数为，此时初始评分的平均数小于有效评分的平均数，因此C错误； 对选项D：方差衡量数据的波动程度，去掉波动最大的最高分和最低分，数据波动不会增大，若所有评分相等，初始和有效方差都为0，相等，若评分不全相等，去掉最高分和最低分后方差减小，因此初始评分的方差一定不低于有效评分的方差，D正确． 5. 如图，，点E， F分别在直线，上，，，点M在的角平分线上，且 则的度数是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质进行求解，并根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 分类讨论：①当在平行线之间时，过作，过作，由平行线的性质得，，，，结合角的和差，即可求解；②当在直线上方时，同理可求． 【详解】解：①当在平行线之间时， 过作，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； ②当在直线上方时， 由①同理可求：，， ； 的度数是或， 故选：D． 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，特殊的平行四边形的性质和判定，熟悉掌握平行四边形的判定是解题的关键． 对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； 故选：A． 7. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用 ，，解答即可. 【详解】解：.∵是方程的两根， ∴，=7， ∴ ∴ =2+7- + = =2+7 =9. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键. 8. 如图，小明从平凉大明塔A出发，以15千米/时的速度向正北方向骑行，2小时后到达同学小刚家B处．小明家C在平凉大明塔A的北偏西方向上，在小刚家B的北偏西方向上．则小刚家B到小明家C的距离是（ ） A. 15千米 B. 20千米 C. 30千米 D. 35千米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，根据题意，结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：千米，， ∵， ∴， ∴千米；即：小刚家B到小明家C的距离为30千米； 故选C． 9. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据菱形的性质，推出为等边三角形，证明，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选C． 10. 甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据题意得： ， 解得：，， 经检验，都是原方程的根，但不符合题意舍去， ∴甲容器原有酒精， 故选：B． 11. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：     由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 12. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 二、填空题（每小题3分，满30分） 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 14. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，则其主视图、左视图、俯视图三种视图的面积之和为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，根据主视图是从正面、上面、左面看到的图形求解即可． 【详解】从正面看，可以看到4个正方形，面积为4， 从上面看，可以看到4个正方形，面积为4， 从左面看，可以看到3个正方形，面积为3， 则其主视图、左视图、俯视图三种视图的面积之和为， 故答案为：． 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键． 先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为： 16. 圆内接正三角形中心角的度数为______． 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆．根据圆内接正边形的中心角的度数等于，求解即可． 【详解】解：圆内接正三角形的中心角的度数为； 故答案为：120°． 17. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，求出，再证明，得到，即可求出，得到答案． 【详解】∵四边形为矩形，点B的坐标为， ∴， ∵点E的横坐标为， ∴ ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键． 18. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为_____． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据反比例函数与正比例函数交点关于原点对称得到，由勾股定理和中点的定义得到，再证明，得到，即，解得，，根据三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与直线均关于原点对称，， ∴， ∴， ∵在中，，点是的中点， ∴， 如图所示，设与轴交于点，由轴垂直轴，轴得到， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 20. 如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时， 在中，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 21. 如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为奇数时，第个图的方块数为，代入求解即可． 【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， 当时，第个图的方块数为， 当（为正整数）时，第个图的方块数为， 第个图中共有方块 故答案为：． 22. 的半径为，直线切于点，点在直线上，且，，则___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，构造直角三角形，利用三角函数求出对应角的度数，再分点A、C在点B同侧和异侧两种情况计算的度数． 【详解】解：连接， 直线切于点， 由切线的性质得，， 当点，在点的两侧时，如图： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ； 当点，在点的同侧时，如图： 同理可得，， ； 综上，或 ． 三、解答题（满分54分） 23. 如图，中，． （1）在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） （2）若，，求的内切圆半径． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【小问1详解】 解：如图所示即为的外接圆， 【小问2详解】 解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 24. 针对新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99．班长根据情况画出的扇形图如下： 类别 分数段 频数（人数） 16 24 （1）补全频数分布直方图； （2）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？ （3）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）90人 （3） 【解析】 【分析】（1）由类人数和所占的百分比求出总人数，由题意可得，从而即可求出的值，再补全频数分布直方图即可； （2）先求出类所占百分比，再乘以900即可得到答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 调查的总人数为：（人），， ， 补全频数分布直方图为： ； 【小问2详解】 解：根据题意得： 类所占百分比， （人）， 即估计该校成绩范围内的学生有90人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果数为2， 恰好选中甲，乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查了补全频数分布直方图、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 25. 解答： （1）随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面，某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： ①甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ ②为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． ③如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． （2）为了适应人工智能的发展，某AI服务器制造工厂安排甲、乙两组工人加工一批AI服务器，甲组工人加工1小时后，乙组工人才参与加工这批服务器．甲组工人加工中因机器故障停产一段时间，修复生产后甲组工人以原来的工作效率的2倍继续加工；由于时间紧任务重，乙组工人加工若干小时后也开始提速，速度变为200个/小时．其中甲、乙两组工人加工AI服务器的数量（个）与甲组加工时间（小时）之间的关系如图所示，请根据图象解答下列问题： ①甲组停产_________小时，乙组共加工了_________服务器． ②直接写出甲、乙两组工人加工的AI服务器数量相等时的值_________． 【答案】（1）①甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元；②该公司有3种合理的采购方案：购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台；购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台；购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台；③购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． （2）①，；②或6 【解析】 【分析】（1）①设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元，根据具体采购数据表，列出二元一次方程组，解方程组即可；②设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台，根据投入总资金不超过220万元，且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组取正整数值即可；③设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台，根据投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器，结合①的结论，列出二元一次方程，求出正整数解即可，然后代入收益表达式，通过比较求出最大收益及对应的购买方案； （2）①由工作时间工作总量工作效率可得出甲组再次开始的时间，进而可得甲停产时间；由工作总量工作时间工作效率可得出加速后的工作总量，再加上提速前工作总量，进而可得出结论；②由图象可知，存在两个时间服务器数量数量相等，分别求解即可． 【小问1详解】 ①解：设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元； ②解：设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或9或10， ∴有3种采购方案： 购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台； 购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台； 购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； 答：该公司有3种合理的采购方案：购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台；购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台；购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； ③解：设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台， 由题意得：， ∴， ∵a、b都为正整数， ∴或或， 当购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器15台、乙型号的服务器4台时， 月收益为：（万元）， ∵， ∴可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． 【小问2详解】 ①解：根据题意可知，甲原来的工作效率为（个/小时）， 则甲修复生产后的工作效率为（个/小时）， 甲组再次开始加工的时间为：（小时）， （小时）， 甲组停产2小时； 乙组共加工服务器：（个）， 乙组共加工了服务器1300个． ②解：乙组提速前的加工速度为（个/小时）， 甲组停工时，解得． 甲组再次加工过程中，，解得． 甲、乙两组工人加工的AI服务器数量相等时的值或6． 26. 如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接并延长交于点， ∵， ∴，即点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，由可知，点为的中点，根据垂径定理的推论可知，结合可得，，因此命题得证； （2）证明，则．设，则，由勾股定理可得，从而求出，，在中，使用勾股定理构造方程，求出，进而得到，，，．证明，则，结合，得到，计算出，再使用勾股定理计算出，最后作差求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 27. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； （3）如图（3），在中，，当点从点运动至点在左侧作，，，当点从点运动至点的过程中，求点的运动路径长． 【答案】（1）证明：根据旋转有：，， ∴， ∴， ∴平分； （2）连接，，延长交于点M， 根据旋转有：，，，， ∴、是等腰三角形， ∵点为的中点，点为的中点，， ∴，， ∴，，， ∴A、E、F、G四点共圆，设圆心为O， ∴四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴结合，有， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的对角互补，圆周角定理，解直角三角形等知识． （1）根据旋转有：，，结合等边对等角有，即可证明； （2）连接，，延长交于点M，先证明A、E、F、G四点共圆，设圆心为O，结合圆内接四边形的对角互补，证明，再根据旋转的性质证明，问题随之得证； （3）根据点的运动轨迹判断出点的运动轨迹，即点运动的轨迹若为线段，则点的也为线段；找到临界点，画出图形，结合，分别表示出两个临界点时、的长度，问题即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， ∵ ∴点A、E、B、D四点共圆， ∴，定值， ∴点运动的距离也为线段，即点在直线上运动， 当点与点重合时，如图， 此时点与点重合， ∴，， ∴； 当点与点重合时，如图， 此时点与点重合 ∴，， ∴； 结合两个临界点的图形可知：当点从点运动至点的过程中，点从点运动至点， ∴点运动的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 28. 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式和对称轴； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；对称轴为直线； （2）或 （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，进而求出的解析式，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，列出方程进行求解即可； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入，得 ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， ∵，，， ∴， 由题意，，解得或， ∴当时，；当时，； ∴或； 【小问3详解】 解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $