精品解析：广东江门市新会华侨中学2025－2026学年九年级下学期第二次学业素质展示数学试题

侨中25—26学年九年级下第二次学业素质展示数学试题 一．选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，，，是无限不循环小数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组有理数的大小比较中，错误的是( ) A. B. ＞3.5 C. ﹣(﹣0.0001)＞0 D. ﹣(+0.3)＜0 5. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 6. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________．已知函数，那么________． 12. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 13. 不等式组的解集是________． 14. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 15. 平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 17. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（） 频数 百分比 A 4 B 12 C D E 10 合计 40 其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______； （3）等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______； （4）若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？ 18. 如图，在四边形中，，点在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形的面积是，则三角形的面积________． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 23. 如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨中25—26学年九年级下第二次学业素质展示数学试题 一．选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列各数中，，，是无限不循环小数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 是分数，属于有理数，是无限循环小数， 是整数， 是有限小数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数 3. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项符合题意； B、如果，那么，故本选项不符合题意； C、如果，，那么，故本选项不符合题意； D、如果，，那么，故本选项不符合题意； 4. 下列各组有理数的大小比较中，错误的是( ) A. B. ＞3.5 C. ﹣(﹣0.0001)＞0 D. ﹣(+0.3)＜0 【答案】B 【解析】 【分析】将数据化简，再根据有理数大小比较的法则解答. 【详解】A、﹣(﹣)＝＞﹣，正确，不符合题意； B、﹣(﹣3)＝3.5，错误，符合题意； C、﹣(﹣0.0001)＝0.0001＞0，正确，不符合题意； D、﹣(+0.3)＝﹣0.3＜0，正确，不符合题意； 故选B. 【点睛】本题考查有理数的大小比较，需要掌握：负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值较大的反而小. 5. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 7. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 8. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可． 【详解】解：如图，当⊙O与CB、CD相切于E、F时，连接AC，与⊙O交于点Q、点P，点A到⊙O上的点Q的距离最大， 连接OE、OF， ∴OE⊥BC，OF⊥CD， ∴OE＝OF＝1， ∴OC平分∠BCD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点O在AC上， ∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝， ∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1， 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质和正方形的性质，解题关键是确定点A到⊙O上的点的距离最大时，圆上点的位置． 二．填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________．已知函数，那么________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将同类项的系数相加即可得到结果；将自变量的值代入函数解析式，化简二次根式即可得到结果 【详解】解： ； 已知， 将代入解析式得 ． 12. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 14. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 15. 平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 17. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（） 频数 百分比 A 4 B 12 C D E 10 合计 40 其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______； （3）等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______； （4）若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？ 【答案】（1） 补全条形图如图： （2） （3）4.5，4.55 （4）630人 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定C，D等级的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以D等级人数所占的比例； （3）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：C等级人数为6人，D等级人数为8人； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：C等级中出现次数最多的数据为4.5，故众数为4.5； 将数据排序后，第20个数据和第21个数据分别为4.5和4.6， ∴中位数为； 【小问4详解】 解：（人） ∴估计该校九年级学生视力为“良好”的学生有630人． 18. 如图，在四边形中，，点在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形的面积是，则三角形的面积________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先由内错角相等得到，即可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （2）此时与平行四边形共高，根据平行四边形和三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于，如图： ∴． 故答案为：． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 20. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 ∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【小问1详解】 证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； 【小问3详解】 解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题是等腰直角三角形与旋转结合的几何综合题，围绕“线段关系证明”和“面积计算”展开，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $