精品解析：广东广州外国语学校2025-2026学年第二学期九年级适应性数学练习

2025-2026学年第二学期九年级适应性练习 数学 本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. π C. 0 D. 2. 2026年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面中，下列命题为真命题的是 A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是正方形 4. 当时，代数式的值是（　　） A. 1 B. C. 5 D. 5. 方程 的解是（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 如图，一块飞镖游戏板由9个大小相同的正方形格子组成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随的值x增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 9. 随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在上，，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得，则旋转角度是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11. 在函数中，写出一个你认为正确的x的值______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 13. 如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 14. 若和在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是_____ 15. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为_________ 16. 如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为______． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤) 17. 解方程组：． 18. 如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 19. 先化简，再求值： ，并从2，3，5中选一个合适的数代入求值． 20. 为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图． 家访形式 数量（人） 入户家访 4 电话家访 15 短信家访 16 到校家访 10 （1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是________． （2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率． 21. 为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． （1）求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ （2）为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 22. 如图，已知，，点O是其外接圆的圆心． （1）尺规作图：作一点 D，使得四边形为菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接交于点 E，若，求半径的长． 23. 在物理实验中，光线从空气中斜射入水时，会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，O为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的A处发出一束激光，射到水槽水面上的O处，光在水中的路径为，C为水槽底部的中点，测得． （1）图1中， α， β分别为入射角、折射角，则可求出： ， ； （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点C． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点A降至点R，也能使得折射光线经过点C．求下降高度； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点C，求增加的水面高度． 24. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 25. 如图，已知等边的边长为4，点D 在线段上，连接，作点B关于的对称点M，连接，在上取一点N使得，连接交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若 ，求的长； （3）当点D在线段上运动时，求P到的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级适应性练习 数学 本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. π C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，有理数包含整数和分数，本质是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：∵和是无限不循环小数，是无限不循环小数， ∵是整数，属于有理数， ∴ 选项C符合要求． 2. 2026年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 3. 在平面中，下列命题为真命题的是 A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．因此，分别根据矩形、菱形、正方形的判定作出判断得即可 【详解】解：A、根据四边形的内角和得出，四个角相等的四边形即四个内角是直角，故此四边形是矩形，故此命题是真命题； B、只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此命题不是真命题； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此命题不是真命题； D、四边相等的四边形是菱形，故此命题不是真命题． 故选A． 【点睛】题目主要考查命题真假的判断及矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题关键． 4. 当时，代数式的值是（　　） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，把代入，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 5. 方程 的解是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先对分母因式分解，确定分母不为零的范围排除错误选项，再去分母化为整式方程求解，最后检验得到正确解． 【详解】解：原方程可变为 方程两边同乘最简公分母 ， 得 解得 检验：当时，原方程分母，， ∴原方程的解为． 6. 如图，一块飞镖游戏板由9个大小相同的正方形格子组成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是． 7. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧长计算，矩形的判定和性质，连接、，根据切线性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据弧长计算公式求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的长度为， 故选：B． 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随的值x增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先利用表中对应值求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由表格可知，二次函数过点，，， ∵当时，， ∴，将，代入解析式得方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A错误； 由解析式可知图象的对称轴为直线，选项D正确； ∵开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项B错误； ∵顶点坐标为，抛物线与轴交于和，开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，选项C错误； 9. 随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在上，，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得，则旋转角度是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数．由锐角三角函数可求，由平行线的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角为， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，先解直角三角形求得AE=DE．设DE=m，则D（1+m，m），代入反比例函数解析式，求得点Ｄ坐标为D(，)，再证△CBG≌△DAE（AAS）得CG=DE=，BG=AE=-1=，所以xC=xB+，yC=yB+，代入反比例函数解析式得，，再解直角三角形求得yB=(1-xB)=-xB，代入得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G， ∵∠BAO=60°，∠BAD=90°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=DE． 设DE=m，则D（1+m，m）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴，即， 解得；m=或m=-(不符合题意，舍去)， ∴D(，)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AD=BC， ∴∠CBG=∠DAF， ∵∠CGB＝∠DFA， ∴△CBG≌△DAF（AAS）， ∴FG=DF=，BG=AF=-1=， ∴xC=xB+，yC=yB+， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∵∠BAO=60°， ∴yB=(1-xB)=-xB， ∴， 解得：xB=-1或xB=1(不符合题意，舍去)， ∴yB=2， ∴B(-1，2)， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，用点B的坐标表示出点C坐标是解题的关键． 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11. 在函数中，写出一个你认为正确的x的值______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴写出一个正确的x的值为3（答案不唯一）． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是建立关于a的一元一次方程，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 13. 如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据垂直平分线的性质得到，则，再利用三角形内角和计算出，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，的垂直平分线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 若和在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据得出反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小，根据即可得答案．熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为： 15. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为_________ 【答案】2m+4##4+2m 【解析】 【详解】∵大正方形边长为，小正方形边长为m， ∴剩余的两个直角梯形的上底为m，下底为， ∴矩形的另一边为梯形上、下底的和：+m=. 故答案为： 16. 如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，根据已知证明，由等角对等边可得，再由三线合一得到，证明四边形为矩形，进而可得，由旋转可得，，设，再证，则，列式计算即可求解． 【详解】过作交于， ，， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ，，， 四边形为矩形， ， 将以点为中心，逆时针旋转，得到， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ，即， 整理得， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤) 17. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】利用代入消元法求出解即可． 【详解】将①代入②得：5x+2x﹣3=11， 解得：x=2， 将x=2代入①得：y=1， 则方程组的解为． 考点：解二元一次方程组． 18. 如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】证明： ，， ， 即， 又，， ， ． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值： ，并从2，3，5中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则分母不能为0，即，， ∴，， ∴当时，原式． 20. 为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图． 家访形式 数量（人） 入户家访 4 电话家访 15 短信家访 16 到校家访 10 （1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是________． （2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再利用电话家访所占的百分比乘以即可； （2）先列表得到所有的等可能的结果数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， 所以扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 由上表信息可得：所有的等可能的结果数有12种，恰好抽到A，B的有2种， 所以恰好选中A，B两人的概率为． 【点睛】本题考查的是频数分布表与扇形统计图，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握“列表法求概率”是解本题的关键． 21. 为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． （1）求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ （2）为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 【答案】（1）黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． （2）第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 【解析】 【分析】（1）设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克．该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克，第二批购买费用不低于元，据此列出不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 解：设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． 则 解得 答：黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． 【小问2详解】 解：设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克， 则 解得 答：第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 22. 如图，已知，，点O是其外接圆的圆心． （1）尺规作图：作一点 D，使得四边形为菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接交于点 E，若，求半径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，为半径画弧交于点D，连接，即可得到答案； （2）连接，利用菱形的性质得到，根据解得，由勾股定理求出，设半径的长为．则，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴， 设半径的长为．则， ∵， ∴， 解得 即半径的长为． 23. 在物理实验中，光线从空气中斜射入水时，会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，O为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的A处发出一束激光，射到水槽水面上的O处，光在水中的路径为，C为水槽底部的中点，测得． （1）图1中， α， β分别为入射角、折射角，则可求出： ， ； （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点C． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点A降至点R，也能使得折射光线经过点C．求下降高度； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点C，求增加的水面高度． 【答案】（1），； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，．结合矩形的性质可得，，再根据正切的定义求解即可； （2）①过点T作，垂足为，则四边形为矩形，，，得到，，设为，则，代入，即可求解； ②过点H作，垂足为，则则四边形为矩形，可得，，设，，，可得，，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵O为水槽水面的中点， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：①过点T作，垂足为，则四边形为矩形， ∴，， ∵C为水槽底部的中点， ∴， 由题意得，． ∴， ∴， 设为，则， ∴， 解得， ∴， 即下降高度为； ②解：过点H作，垂足为，则四边形为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 即增加的水面高度为． 24. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： 【小问3详解】 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 25. 如图，已知等边的边长为4，点D 在线段上，连接，作点B关于的对称点M，连接，在上取一点N使得，连接交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若 ，求的长； （3）当点D在线段上运动时，求P到的最大距离． 【答案】（1）证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由轴对称的性质得， ∴； （2） （3）P到的最大距离为． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，由轴对称的性质得到； （2）连接，作于点，求得，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）连接，设，求得，得到点P的轨迹是以为弦，圆周角为的一段圆弧，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于点， 由轴对称的性质得，， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，设， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质得， ∴， ∴点P的轨迹是以为弦，圆周角为的一段圆弧， 设的中点为E，过P作于G，当为圆弧的弓形高时，取得最大值， 此时，点E与点G重合，， 已知， 在中: ， ∴P到的最大距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $