精品解析：上海市虹口区同济大学附属澄衷中学2024-2025学年下学期九年级五月份适应性训练(数学学科)

2024学年度初三年级五月份适应性训练 数学 （满分150分，时间100分钟） 2025.5 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列分数中，能化为有限小数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 数据， ，2，2的中位数及方差分别是（ ） A. ， B. 2，2 C. 0，4 D. ，2 4. 下列函数中，随 的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，梯形中，，对角线 、 相交于点 ，已知和的面积分别为2和4，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：___． 8. 分解因式：_______． 9. 已知函数，那么________． 10. 函数中，自变量 的取值范围是_____． 11. 方程的根是_____． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______． 13. 在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机摸取一个球，摸到的是黄球的概率是____． 14. 腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图： 该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有_________人． 15. 如图，点是的重心， 过点且平行于 ，点、 分别在 、 上，设，，那么________．（用、表示） 16. 如图，已知 中， 的垂直平分线交 于点， 的垂直平分线交 于点 ，M，N为垂足，若，，，则的值是______． 17. 如图，连接正六边形 的对角线 、 、 ，若，则正六边形 外接圆的半径为_________． 18. 已知：点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离．已知点、、，若直线与 相离，则 的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E． （1）求证：ABCD； （2）已知BC＝6，AB＝10，求的值． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在 中，点 在边上，． （1）求证：； （2）当点 是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． （1）求抛物线M的表达式和点C的坐标； （2）点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； （3）将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度初三年级五月份适应性训练 数学 （满分150分，时间100分钟） 2025.5 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列分数中，能化为有限小数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分数化为有限小数的判断规则为：一个最简分数，如果分母只含有质因数2或5，就能化为有限小数，如果分母含有2或5以外的质因数，就不能化为有限小数，据此判断各选项即可． 【详解】本题四个选项均为最简分数，依次分析： 选项A，的分母，只含有质因数2， ∴ 能化为有限小数，，符合题意； 选项B，的分母，含有质因数3， ∴ 不能化为有限小数，不符合题意； 选项C，的分母，含有质因数3， ∴ 不能化为有限小数，不符合题意； 选项D，的分母，含有质因数3， ∴ 不能化为有限小数，不符合题意； 故选A． 2. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项符合题意； B、如果，那么，故本选项不符合题意； C、如果，，那么，故本选项不符合题意； D、如果，，那么，故本选项不符合题意； 3. 数据， ，2，2的中位数及方差分别是（ ） A. ， B. 2，2 C. 0，4 D. ，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数定义先求出中位数，再计算平均数，最后代入方差公式得到方差，即可选出正确选项． 【详解】解：∵原数据从小到大排列为 ， ∴中位数为中间两个数的平均数，即中位数 ， 平均数， 方差为， ∴ 这组数据的中位数为，方差为 ． 4. 下列函数中， 随 的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：选项A、，，在每个象限内， 随 的增大而增大，故不符合题意； 选项B、，，当，时，，，即，故不符合题意； 选项C、，，当时， 随 的增大而增大，故不符合题意； 选项D、，，当时， 随 的增大而减小，故符合题意． 5. 如图，梯形 中，，对角线 、相交于点，已知和的面积分别为2和4，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知  的面积等于  与  的面积之和，再根据平行线间的距离处处相等，可得与的面积相等． 【详解】解：，，  ．    梯形  中，，  点  、  到直线 的距离相等，   与  同底等高，  ． 6. 如图，正方形ABCD的边长为4， 的半径为1.若 在正方形ABCD内平移（ 可以与该正方形的边相切，则点A到 上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可． 【详解】解：如图，当⊙O与CB、CD相切于E、F时，连接AC，与⊙O交于点Q、点P，点A到⊙O上的点Q的距离最大， 连接OE、OF， ∴OE⊥BC，OF⊥CD， ∴OE＝OF＝1， ∴OC平分∠BCD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点O在AC上， ∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝， ∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1， 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质和正方形的性质，解题关键是确定点A到⊙O上的点的距离最大时，圆上点的位置． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 8. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 9. 已知函数，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案． 【详解】解：∵f（x）=， ∴f（10）==2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键． 10. 函数中，自变量 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 11. 方程的根是_____． 【答案】 10 【解析】 【分析】本题考查无理方程的解法，解题思路为通过两边平方消去根号，将无理方程转化为一元一次方程求解，求解后检验得到原方程的根． 【详解】解：， 两边平方，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 检验：当时，左边 右边， 因此是原方程的根． 故答案为． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，二次函数平移后二次项系数不变，熟练掌握平称原则是关键；注意左右与上下平移的不同，二次函数的顶点式为：，顶点坐标为．根据左加，右减，上加，下减的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标． 【详解】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：， 顶点坐标为， 故答案为：． 13. 在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机摸取一个球，摸到的是黄球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：布袋中球的总个数为（个），其中黄球的个数为 个， 根据概率公式，摸到黄球的概率为． 14. 腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图： 该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有_________人． 【答案】360 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键．首先求得此次随机调查的学生总数，再计算选择“科技”的学生人数，然后利用学生总人数 参与调查的学生中选择“科技”的学生占比，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，此次随机调查的学生总数为人， ∴选择“其他”的学生人数为人， 选择“科技”的学生人数为人， ∴估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有人． 故答案为：360． 15. 如图，点 是 的重心，过点 且平行于 ，点、 分别在 、 上，设，，那么________．（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系． 【详解】解，连接，并延长交于点 ， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量，能够熟练掌握重心的性质是解决本题的关键． 16. 如图，已知 中， 的垂直平分线交 于点， 的垂直平分线交 于点 ，M，N为垂足，若，，，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵ 的垂直平分线交 于点， 的垂直平分线交 于点 ， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，连接正六边形的对角线 、、 ，若 ，则正六边形外接圆的半径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆圆心为O，连接，与 相交于点 ， 由对称的性质得：， ， 正六边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 在中，， ， 故答案为：． 18. 已知：点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离．已知点、、，若直线与 相离，则的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据题中相离的定义，可知直线 与 没有公共点，该直线比例系数固定，可通过上下平移直线，结合三个顶点坐标判断直线与三角形的位置关系，进而得到的取值范围. 【详解】根据相离的定义，可知直线 与 没有公共点. 已知点 ，，，直线 ，比例系数为 ，仅随变化上下平移. 若整个都在直线下方，则对上任意点，满足 ，即 . 分别计算三个顶点的： 点：， 点：， 点：， 可得的最大值为，因此当 时，恒有 ，即，三角形全在直线下方，无公共点，符合要求. 若整个都在直线上方，则对上任意点，满足 ，即 . 可得的最小值为，因此当 时，恒有 ，即，三角形全在直线上方，无公共点，符合要求. 当 时，直线与 有公共点，不符合题意. 故答案为 或 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，分数指数幂，负整数指数幂的运算法则是正确解答的前提． 先计算分数指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，分母有理化，然后再算加减法． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得 或， 经检验， 不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 21. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E． （1）求证：ABCD； （2）已知BC＝6，AB＝10，求的值． 【答案】（1） 证明：∵BD平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得，．再由等腰三角形性质得．从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）先由勾股定理求出，再证△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴△CDE∽△ABE， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中， ． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润 销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 23. 如图，在 中，点 在边上，． （1）求证：； （2）当点 是边的中点时，分别延长、交于点 ，求证：． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2） 如图， 在中，， ， ，， 点 是边的中点， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质; （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． （1）求抛物线M的表达式和点C的坐标； （2）点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； （3）将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转 得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 【答案】（1），点 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解； （3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点 作交 于点 ，则， 设平移后的抛物线表达式为：， 则， 在等腰中，， 则， 则点， 将点 的坐标代入函数表达式得：， 解得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 【答案】（1）CE=；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．设CE=x，则AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出结论． （2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行线的性质得到∠ACQ=∠CAE，则∠CAE=∠P，即可证明△ACE ∽△PCA，由相似△的性质即可得到结论． ②设CP=t，则 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．再由平行线分线段成比例定理得，可求出．然后分两种情况讨论：①若两圆外切，则，②若两圆内切，则，解方程即可． 【详解】详解：（1）∵AE∥CD， ∴． ∵BC=DC， ∴BE=AE． 设CE=x，则AE=BE=x+2． ∵ ∠ACB=90°， ∴ ， 即， ∴，即． （2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P， ∴∠ACQ=∠P． 又∵AE∥CD， ∴∠ACQ=∠CAE， ∴∠CAE=∠P， ∴△ACE ∽△PCA， ∴， 即， ∴ ． ②设CP=t，则 ． ∵∠ACB=90°，∴ ． ∵AE∥CD， ∴，即， ∴． 若两圆外切，那么，此时方程无实数解． 若两圆内切，那么， ∴ ， 解得． 又∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题．考查了圆与圆的位置关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．解答（2）②注意要分两种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $