精品解析：2024年上海市虹口区四校联考中考数学三模试卷

2024年上海市虹口区四校联考中考数学三模试卷 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C D. 4. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下②抛物线对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限 上述结论中正确的是（　　） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 5. 已知D、E分别在的的延长线上，下列给出的条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. ． 6. 在一次“科普知识测试”中，参加选手成绩的方差计算公式为，若用折线统计图描述参赛选手的成绩，则正确的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 最小合数的倒数是________． 8. 将数510000000用科学记数法表示为_____________． 9. 在中，的取值范围为______． 10. 已知，则的值为____． 11. 若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是________． 12. 从一副象棋中随机抽取一个子，抽到将或帅的概率为________． 13. 如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量________ 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接，若，则的长为 _______________． 15. 如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 16. 如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 17. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为______． 三.解答题（满分78分） 19. 解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． 20. 解分式方程：． 21. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8． 求：（1）的值； （2）线段GH的长. 22. 某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 23. 如图，已知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结. (1)求证：. (2)若，求的长. 24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 25. 如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． （1）求的值 （2）如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上海市虹口区四校联考中考数学三模试卷 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】解：根据绝对值的意义可知：的绝对值是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0． 2. 如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【详解】解：、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项正确． 故选． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 3. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 4. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限 上述结论中正确的是（　　） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案． 【详解】由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1， ①抛物线的开口向上，故错误； ②抛物线的对称轴是x=1，故错误； ③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确； ④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确， 正确的有③④ ， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等． 5. 已知D、E分别在的的延长线上，下列给出的条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键是注意数形结合思想的应用，首先根据题意作图，然后由相似三角形的判定与性质即可判断得出答案． 【详解】解：如图所示作出图形， ∵， ； 又， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选B． 6. 在一次“科普知识测试”中，参加选手成绩的方差计算公式为，若用折线统计图描述参赛选手的成绩，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差公式进行求解即可． 【详解】解：由方差公式可得，成绩为85分的有2人，成绩为80分的有1人，成绩为95分的有2人，成绩为90分的有5人， ∴四个选项中只有A选项的统计图符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折线统计图，方差计算公式，熟知方差计算公式的意义是解题的关键． 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 最小合数的倒数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了合数和倒数的性质，根据合数和倒数的性质求解即可． 【详解】∵最小合数是4， ∴最小合数的倒数是． 故答案为：． 8. 将数510000000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值不小于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示形式表示即可． 【解答】解：， 故答案为：． 9. 在中，的取值范围为______． 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 10. 已知，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值以及偶次方非负性的应用，有理数乘方运算，根据题意求出的值是解本题的关键．根据绝对值以及偶次方的非负性得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11. 若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据中，，每个象限y随x的增大而增大；，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为：． 12. 从一副象棋中随机抽取一个子，抽到将或帅的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握利用概率公式求解简单随机事件的概率是解题的关键． 【详解】解：一副象棋共有32个子， 则抽到将或帅的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． 根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可求得，再根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接，若，则的长为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，以及勾股定理，根据矩形的性质可得出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出，利用勾股定理求出，再根据等边三角形的性质，即可求出，最后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 16. 如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案：． 17. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为______． 【答案】π 【解析】 【详解】试题分析：整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积． 解：连接BH、BH1 ∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2 ∴AB=4 ∴AC= =2 ∵H为AC的中点 ∴ 在Rt△BHC中，BC=2 根据勾股定理可得：BH= ∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π 点睛：本题主要考查旋转的性质. 将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在. 三.解答题（满分78分） 19. 解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解不等式组，分别解两个不等式，再取公共集，最后把解集表示在数轴上即可；掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示， 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 21. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8． 求：（1）的值； （2）线段GH的长. 【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据EF∥BD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值； （2）利用DF∥AB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可． 试题解析：（1）∵EF∥BD， ∴CF:CD=EF:BD， ∵BD=12，EF=8， ∴CF:CD=2:3， ∴DF:CD=1:3， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， ∴DF:AB=1:3； （2）∵DF∥AB， ∴FH:AH=DF:AB=1:3， ∴AH:AF=3:4， ∵EF∥BD， ∴GH:EF=AH:AF=3:4， ∴GH:8=3:4， ∴GH=6． 考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质． 22. 某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 【答案】（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低． 【解析】 【详解】（1）根据方案即可列出函数关系式； （2）根据题意建立w与m之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案. 解：（1） 得：； 得：； （2） , 因为w是m的一次函数，k=-4<0, 所以w随的增加而减小，m当m=20时，w取得最小值. 即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品. 23. 如图，已知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结. (1)求证：. (2)若，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意推出再结合，可得△BHE～△BCO. （2）结合△BHE～△BCO，推出带入数值即可 【详解】（1）证明：∵为圆的半径，是的中点， ∴,, ∵, ∴， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 又∵, ∴∽． （2）∵∽， ∴, ∵，, ∴得， 解得， ∴. 【点睛】本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形. 24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）且． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可； （2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可； （3）分别求出B、P坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可． 【详解】（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点， ， ， C点在D点的左侧，C(m-2，0)， 又点P与点C重合，， m-2=1，m=3， ，A(3，4)，P(1，0)， ； （2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入， 得， 顶点A在第一象限，m=2， =，当x=1时，y=3，P(1，3)， 如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点， ，， ， 设PQ延长线与x轴交于点G（x，0）， 又OG=PG，，解得x=5， 检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解， G（5,0）， 设直线PG的解析式为：y=kx+b， 将P，G两点坐标代入得，求得 ， PG所在直线的解析式为， 联立直线PG和抛物线解析式可得 ， 解得或，Q； （3）如图3，点在该抛物线上，代入中， ，， 又抛物线与y轴交于点B，B（0，）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b， 代入B、P两点，， 则，直线BP的解析式为：， 令y=0，， 直线与x轴的负半轴相交， ， 或， 解得m<-2或<m<2， 又顶点A在第一象限，m>0, 点A与点P不重合，， 综上所述，且． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键． 25. 如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． （1）求的值 （2）如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】（1） （2）①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$