25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程及解法灵活选用，通过复习配方法、公式法解同一方程，结合物理上抛问题引入新知，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以跨学科情境（物理上抛问题）培养数学眼光，通过解法比较表和步骤总结（如因式分解四步法）发展数学思维，结构化课堂总结提升数学语言表达能力。学生能掌握方法本质，教师可高效引导学生理解降次思想与解法选择策略。

25.2.3 因式分解法 第1课时 用因式分解法解一元二次方程 1．了解因式分解法． 2．掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法（重点、难点）． 学 习 目 标 ①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2． 两边都加上2，得x2－3x＋2＝－2＋2． 即2＝． 两边开平方，得x－＝±． 即x－＝，或x－＝－． ∴x1＝2，x2＝1． 问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程： 　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0． 复 习 导 入 问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程： 　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0． ②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2． ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝2，x2＝1． 还有其他解法吗？ 复 习 导 入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2． 问题 设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程． 10x－4.9x2＝0． 合 作 探 究 你能用配方法或公式法解方程10x－4.9x2＝0吗？ 是否还有更简单的方法呢？ 分解因式：左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0， 求解：解这两个一次方程，得x1＝0，x2＝ ． 合 作 探 究 7 思考 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x－4.9x2＝0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 合 作 探 究 理论依据： ab＝0 a＝0或b＝0． 降次 结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0． 合 作 探 究 例1 (教材p13例4)解方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0． 整体思想：公因式x－2 解法一用到了整体思想， 解法二用到了十字相乘法． 解：（1）解法一：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 解法二：整理，得x2－x－2＝0， 因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． （2） 典 例 精 析 平方差公式 解：（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0． 因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)＝0． 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， ∴＝－，＝． 例1 (教材p13例4)解方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0． （2） 典 例 精 析 方法总结 用因式分解法解一元二次方程的步骤 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根． 1．移项：将方程的右边化为0； 2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 典 例 精 析 解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0. ∴2x＋11＝0或2x－11＝0， x1＝－，x2＝. 针对训练 用因式分解法解下列方程： (1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2. 典 例 精 析 (2)移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0. 因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0. ∴2x＋1＝0或3x－2＝0， ∴x1＝，x2＝－. 针对训练 用因式分解法解下列方程： (1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2. 典 例 精 析 （3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0. 因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0. 即(1－x)(3x－9)＝0. ∴1－x＝0或3x－9＝0， ∴x1＝1，x2＝3. 针对训练 用因式分解法解下列方程： (1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2. 典 例 精 析 1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（　　） A．(x－1)(x－2)＝3 　 　 　　 B．2(x－1)2＝x2－1 C．x2＋2x－1＝0 　　　　　 D．x2＋4x＝2 B 解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合． 随 堂 练 习 2．方程2x2＝3x的解为（　　） A．x＝0　　　　B．x＝　　　　C．x＝－　　　　D．x1＝0，x2＝ 解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0， ∴x＝0或2x－3＝0， ∴x1＝0，x2＝． D 随 堂 练 习 3．解下列方程： （1） （2） 解：（1）化为一般式 x2－2x＋1＝0． 因式分解，得 (x－1)(x－1)＝0． ∴x－1＝0， ∴x1＝x2＝1． （2）因式分解，得 (2x＋11)(2x－11)＝0． ∴2x＋11＝0，或2x－11＝0， ∴ 随 堂 练 习 4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． （1）尝试． 分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ )(x＋ )； 2 4 随 堂 练 习 （2）应用． 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0． 解：（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0， ∴x－4＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝4，x2＝－1． 随 堂 练 习 因式分解法 概念 步骤 如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0 原理 将方程左边因式分解，右边＝0 1．移项；2．分解； 3．转化；4．求解 课 堂 总 结 第2课时 一元二次方程解法的灵活选用 1．能根据方程的特征，体会方程的不同解法． 2．能用配方法、公式法、因式分解法解对应形式的一元二次方程（重点）． 学 习 目 标 解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 基本思路： 将二次方程化为一次方程，即降次． 复 习 导 入 配方法： 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0． －x＝0， －x＋＝0＋， ＝， x－＝±，x＝±＋， ∴＝，＝0． 合 作 探 究 10x－4.9x2＝0化为一般式为4.9x2－10x＝0． 公式法： ∵a＝4.9，b＝－10，c＝0． ∴b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100． x＝＝， ∴ ＝，＝0． 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0． 合 作 探 究 因式分解法： ∴＝0，＝． 10x－4.9x2＝0， x(10－4.9x)＝0， x＝0或10－4.9x＝0， 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0． 合 作 探 究 27 一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的定义 (ax＋b)2＝n(a≠0，n≥0)型方程 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程 因式分解法 若ab＝0，则a＝0或 b＝0 能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围小 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法繁琐，当二次项系数为1时用此法比较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大，易出现符号错误 合 作 探 究 配方法要先配方，再降次； 通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程； 因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 合 作 探 究 例 用适当的方法解方程： （1）3x(x＋5)＝5(x＋5)； （2）(5x＋1)2＝1； 分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快． 解：变形得(3x－5)(x＋5)＝0． 即3x－5＝0，或x＋5＝0． 解得 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法． 解：开平方，得 5x＋1＝±1． 解得x1＝0，x2＝ 典 例 精 析 开平方，得 例 用适当的方法解方程： （3）x2－12x＝4； （4）3x2＝4x＋1． 分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法． 解：整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0． ∵Δ＝b2－4ac＝28＞0， 分析：二次项系数为1，可用配方法． 解：配方，得x2－12x＋62＝4＋62， 即(x－6)2＝40． 解得x1＝ ，x2＝ 典 例 精 析 方法总结 一元二次方程的解法选择基本思路 1．一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法； 2．若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法； 3．化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法． 典 例 精 析 针对训练 若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc ＝0，试判断△ABC的形状． 解：∵a2－ac－ab＋bc＝0， ∴(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0， ∴a＝c或a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 典 例 精 析 1．将下列序号填到对应的横线上． ①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2； ⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0； ⑨(x－2)2＝2(x－2)． 适合运用直接开平方法：___________________； 适合运用因式分解法：___________________ ； 适合运用公式法：___________________ ； 适合运用配方法：___________________ ． ② ⑥ ③ ⑤ ⑨ ① ⑦ ⑧ ④ 随 堂 练 习 2．按题目要求的方法解下列方程： （1）＜m＞＜/m＞；（直接开平方法） 解：＜m＞， ∴x＜/m＞， ∴＜m＞，＜m＞＜/m＞． 随 堂 练 习 35 （2）＜m＞＜/m＞；（因式分解法） 解：＜m＞＜/m＞， ∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞． （3）＜m＞＜/m＞．（配方法） 解：＜m＞＜/m＞， ∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞， ∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞． 随 堂 练 习 36 3．用适当方法解下列方程： （1）(2x＋3)2－25＝0； （2）x2＋5x＋7＝3x＋11； 解：化简，得 4x2＋12x＋9－25＝0， 整理，得x2＋3x－4＝0， 分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0， 解得x1＝1，x2＝－4． 解：化简，得x2＋2x＝4， 配方法，得x2＋2x＋1＝5， 即(x＋1)2＝5， 解得 可得x＋1=± ， 随 堂 练 习 4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0． 解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0． ∵a＝5，b＝－1，c＝－4， b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴x＝ ，∴x1＝ ，x2＝1． 因式分解法：方程左边提公因式，得 (5x＋4)(x－1)＝0，则x1＝　　，x2＝1． 随 堂 练 习 解一元二次方程 解法 根的判别式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 求根公式 前提：Δ≥0 课 堂 总 结 $