上海市杨思高级中学2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷

上海市杨思高级中学2025学年期末质量检测 高一数学试卷 满分100分 考试时间90分钟命题人：舒鑑倩审卷人：程蕾 一、填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分) 1.已知i是虚数单位，则1+i+2+i3= 2.已知向量a=(1,3),b=(m,6),若a∥i,则实数m=」 3.已知平面上两点A(2,3),B(4,-3),P为直线AB上一点，且AP=3PB,则点P的坐标 为 4.已知复数z满足(1+i)z=4i(i为虚数单位)，则川|z= 4t4 5.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(一亏兮 34 则cos2a=」 6。已知8为锐角，且cos0=则am(π+0)=二 7.已知向量a与b的夹角为60°，1a=1,1b=2,则|3a+i=_ 8.如图，矩形ABCD中，E为BC中点，AE与BD交于点F,若将 AB=a,AD=b作为平面向量的基向量，则向量AF可表示为 (用a,b表示) 第8题 9.已知正方形ABCD的边长为2，点M满足2M=AB+AC,则MB·MD= 10.己知z=1,且z∈C,则|z-2-2i(i为虚数单位)的最大值是 11设函数f付=3cos(,产x+元)，若对任意的xeR都有f)≤f因≤f(:)成 20252026 立，则|x一为的最小值为 2.点C是△OAB所在平面上一点，且满足OC=2OA+(1-2)OB(0≤1≤1)，D为线 段AB中点，且OA1OB,AB=4,若OC.OD=号，则0C1的取值范围是 2 二.选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分) 13.已知i为虚数单位，复数z=i1-)的虚部为() A.1 B.-1 it C.i D.-i 14.下列函数中是奇函数的是（) A.y=x.sinx B.y=sinx C.y=x+sinx D.y=x+cosx 15.已知z为复数，则下列命题不正确的是（.) A.若z=z,则z为实数B.若Rez>0且Imz<0,则对应的点在复平面的第四象限 C.若2=是则g=、女 D.若z2<0,则z为纯虚数 16、右图是函数f(x)=in(πx+乃)在一个周期内的图像， 6 =5 该图像分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的 直线相交于另外两点C、D,1为x轴正向的单位向量， 则(BC+BD)I=() A-1 R名 D. 3 三.解答题（本大题满分52分） 17、已知复数z=m2+2m-3+(m?-1)i（m∈R). (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)当m=2时，复数z是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，求p+g的值。 18、已知向量a=Q,2),方=(-1,3)，c=(y,3),且a⊥c. (1)求a在b方向上的投影向量的坐标： (2)求向量a+b与a-c夹角的大小.（结果用反三角表示） 19.已知aeR,复数云=a-1+i,五，=1-a+21,马=-1在复平面上对应的点分别为 a A、B、C,O为坐标原点， (1)求z+z,|的取值范围；(2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值. 20.近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀 赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向. 为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD, 矩形一-边B在OM上，点C在圆弧0w上，点D在边ON上，且∠M0N-号 OM=60米，设∠C0M=&. N (1)求扇形区域ON的面积； (2)若a=T,求OD的长： 4 D (3)若矩形ABCD的面积为S(a),当a为何值时， S()取得最大值，并求出这个最大值. 石 OA BM 21.定义：若非零向量OM=(a,b),函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx, 则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量. (1D写出函数∫)=s6x-孕+si血x的“伴随向量”O丽，并求料ON1: (2)若函数f(x)为向量OM=(N5,-1)的伴随函数，在△ABC中，BC=25, f=l,且sin Bsit血C=。,求AB+AC的值 (3)若函数f(x)为向量0M=(2,1)的伴随函数，关于x的方程 f(x)=m+2cos2-2W51cosx在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根， 2 求实数m的取值范围.