2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习模拟练 （4）

**基本信息** 涵盖二次根式、一次函数、几何图形等核心知识，融合“赵爽弦图”文化传承与科技馆恐龙模型等真实情境，梯度设计适配八年级下册期末复习，注重抽象能力与推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次根式意义、一次函数性质、统计量|第6题以赵爽弦图考查勾股定理应用，体现文化渗透| |填空题|6题|勾股定理、函数程序计算、规律探究|第16题坐标规律探究，培养空间观念与创新意识| |解答题|11题|几何证明、函数应用、新定义问题|第26题“折中线”新定义，综合菱形性质与推理能力；第20题恐龙支架问题，结合勾股定理逆定理解决实际问题|

期末复习模拟练 （4） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．使代数式有意义的x的取值范围（　　） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 3．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） 尺码 平均每天销售的数量件 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．加权平均数 4．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（    ）． A． B． C． D． 5．下列计算错误的是（  ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题 11．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 12．比较大小：________4（选填“”、“”、“”）． 13．郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 14．根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x的值为，则输出的函数值为________． 15．如图所示，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点按此规律进行下去，则点的坐标为_______ 三、解答题 17．（1）如图，和的顶点，，，在同一直线上．求证：． （2）计算：． 18．在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 19．如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 20．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 21．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体（所挂物体质量不能超过），下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧长度 18 20 22 24 26 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式； (3)当物体的质量为8.5kg时，根据（2）的关系式，求弹簧的长度． 22．如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 23．随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 24．某学校调查九年级学生对在2023年3月5日在北京召开的“第十四届全国人民代表大会第一次会议”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，两个班学生的成绩（百分制．测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班10名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 45 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值： ______，______，______； (2)这次测试中，哪班成绩更平衡，更稳定，根据表格中数据，说明理由？ (3)我校九年级（2）班共50人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是多少？ 25．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 26．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 27．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A A D C A B B 1．C 利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ∴要使有意义，需满足 ， 解不等式得：， 即． 2．B 本题考查了一次函数的图象，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据题意在坐标系中作出点，其中，再根据图象即可求解． 解：在坐标系中作出点，且 ∴从点到，随着的增大而减小， ∴ ∵，在第二象限，在第三象限， ∴直线与轴负半轴相交， ∴， 故选：B． 3．B 本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 解：由店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计表可知，码的衬衫平均每天销售件数最多， 该店主决定本周进货时，增加一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是众数， 故选：B． 4．A 此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长． 解：在上截取，连接，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵由勾股定理得：， 在中，，是边上的高线，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∵由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：A． 5．A 本题考查二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方，运用二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方进行计算并判断即可． A：，而，∴A错误． B：根据指数运算法则，，∴B正确． C：根据根式运算法则，，∴C正确． D：根据积的乘方法则，，∴D正确． 故选：A． 6．D 本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，熟练掌握公式变形以及弦图的几何意义是解题的关键． 根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 解：根据题意，得，， ∴， ∴． ∴大正方形的边长为． 故选D． 7．C 由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．A 本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项． 解：将点，代入一次函数表达式， 得，解得， 即，且， 观察各选项图象，选项、满足， ∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡， 选项A中满足，选项B满足， 故判断出选项满足题意要求， 故选：A． 9．B 设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟，根据路程相同分别列出关于a，b的二元一次方程组求解得出a，b的值，最后再计算路程即可． 解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 10．B 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 11． 根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 12． 两个正数比较大小，可通过比较平方的结果判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 解：由题意得，， ∴，， ∵， ∴． 13．15 根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，观察图中的数据，确定答案． 解：由图可知，表示这周每天最低气温的七个数据中，13，14，16，17，18各出现了一次，15出现了两次，显然15出现的次数最多，所以表示这周每天最低气温的七个数据的众数是15． 14． 解：若输入的x的值为，则输出的函数值为． 15．4 先求出矩形的对角线的长，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值． 解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ， ∴AB=DE，OE=OD， ∴AB=DE=2OD=4， ∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边， ∴AC=AB=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功． 16． 根据题意可以求得点的坐标、点的坐标、点的坐标，然后归纳坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… 点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 17．（1）见解析；（2） 本题考查平行四边形的性质，二次根式的混合运算． （1）连接交于点，根据平行四边形对角线互相平分即可证明结论； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （1）证明：连接交于点， ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ，即； （2）解：原式 ． 18．(1) (2)，，三点在同一条直线上，详见解析 （1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． （1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 19．(1)见解析 (2)见解析 本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． （1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所作． 20．(1)垂直，理由见解析 (2) （1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． （1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 21．(1)反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量 (2) (3) （1）根据题意结合“自变量”和“因变量”的定义进行分析解答即可； （2）根据表格中所给数据进行分析表示出与之间的关系式； （3）把代入（2）中的关系式计算即可． （1）解：由题意和表中数据可知：上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系； 其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； （2）解：由表中的数据可知：当所挂物体质量每增加1千克时，弹簧长度增加2厘米，当不挂重物时，弹簧长18厘米， ∴与之间的关系式为：； （3）解：当时，， ∴当所挂物体质量为时，弹簧长度为． 22．(1)证明见解析 (2) （1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． （1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 23．(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 （1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． （1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 24．(1)40，94，96 (2)九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由见解析 (3)35人 （1）将九年级（1）班10名学生的成绩按从小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义，即可求出和的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，进一步求出组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中九年级（2）班成绩大于或等于90分的人数，再利用样本的百分比估计总体即可得到答案． （1）解：将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为： ，，，，，，，，，， ，． 九年级（2）班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， 即． （2）解：九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由如下： ∵九年级（1）班的方差为45，九年级（2）班的方差为，且， ∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定． （3）解：九年级（2）班D组的人数为（人）， ∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有（人）， （人）． 答：估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是35人． 25．(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． （1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 26．(1) (2)折中线的长为 (3)或 （1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． （1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 27．(1) (2)或或； (3)， （1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． （1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 学科网（北京）股份有限公司 $