精品解析：湖南省邵阳市湘郡铭志学校2023-2024学年九年级上学期“祖冲之杯”竞赛初赛数学试题

湘郡铭志学校2023年下学期“祖冲之杯”数学竞赛 九年级预赛试卷 考试时间：90分钟；满分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得： ，， ∴ 故选D． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意， 得， 解得：（舍去） ∴有8人参加聚会 故选：C． 4. 某乐器上的一根弦，且，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是的黄金分割点，则的长为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且， ， 故选：B． 5. 若是锐角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，， 则：， ∵， ∴；故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选：A． 6. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记，估计该地区梅花鹿的数量大约有（　　）只． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】n只梅花鹿，发现其中k只有标记，说明在样本中有标记的占到，而在整体中有标记的共有m只，根据所占比例即可解答． 【详解】解：根据题意得：（只）． 即估计这个地区的梅花鹿的数量约有只． 故选：C． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，解题的关键是算出n只梅花鹿有标记的占的百分比． 7. 如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，得出角相等，即可证出三角形相似，然后即可选择答案． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共3对． 故选：B． 8. 把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（ ） A. 扩大4倍 B. 保持不变 C. 缩小4倍 D. 扩大2倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 9. 设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 10. 如图，在连长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH.下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是2-2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCF， ∴∠ABE=∠DAG， ∵∠DAG+∠BAH=90°， ∴∠BAE+∠BAH=90°， ∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE，故③正确， 同法可证：△AGB≌△CGB， ∵DF//CB， ∴△CBG∽△FDG， ∴△ABG∽△FDG，故①正确， ∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD， 又∵∠DAG=∠FCD， ∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确 取AB的中点O，连接OD、OH， ∵正方形的边长为4， ∴AO=OH=×4=2， 由勾股定理得，OD=， 由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小， DH最小=2﹣2． 无法证明DH平分∠EHG，故②错误， 故①③④⑤正确， 故选C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵长方形的面积为12，一边长为，另一边长为， ， 即． 故答案为：． 12. 设是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，先证明，再求出的值，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在锐角中，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式可知，根据特殊角度的三角函数值得到锐角和的大小，从而求出，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角度数，非负数的性质，熟记常见角度的三角函数值是解题的关键所在，利用已知等式得到和的值推出和的大小，以此进行分析求解.． 15. 已知a，b，c，d的平均数是4，则2a+1，2b+1，2c+1，2d+1的平均数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据a，b，c，d的平均数是4，求出，再用平均数定义求转化为整体代入即可． 【详解】解∵a，b，c，d的平均数是4， ∴， ∵， ， ， ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键． 16. 对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程求解以及与定义新运算的综合，分类讨论是解本题的主要思想．根据方程求得其解为：2或4，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可． 【详解】解：解方程，得或． 当，时，， 当，时，， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若， ，则k的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出点坐标，利用，求出点横坐标，过点作轴，交轴于点，再利用，求出点纵坐标，即可求出值． 详解】解：， 当时，， ∴， ∴， 过点作轴，交轴于点， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查已知图形面积求值．正确的求出一次函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积和锐角三角函数值求出点的坐标，是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______． 【答案】2或2或2 【解析】 【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题. 【详解】解：当∠APB=90°时（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BOP为等边三角形， ∵AB=BC=4， ∴； 当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴， 在直角三角形ABP中， ， 如图3，∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=2， 故答案为或或2． 【点睛】考点：勾股定理． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）原分式方程无实数解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及可化成一元二次方程的分式方程，熟练掌握用适当的方法解一元二次方程，解分式方程，是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用解分式方程的步骤解答即可．解分式方程的一般步骤是，去分母化简得到整式方程，解得到的整式方程，检验． 【小问1详解】 解：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：原方程移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得： ，； 【小问3详解】 解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， 故原分式方程无实数解． 20. 如图，中，是中线，且，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，推得，根据相似三角形的判定即可证明，相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 中，是中线， ， ， ， 线段的长为． 21. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，． （1）求直线与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）利用分割法求的面积即可； （3）图象法解不等式即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， 把，代入一次函数解析式，得： ，解得：， ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 ∵，当时，，当时，， ∴， ∵，， ∴的面积为； 【小问3详解】 由图象可知，的解集为：． 23. 已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是p，方差是q.试证明：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是ap＋b，方差是a2q. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数的定义，可知 ，根据方差的定义，可知 ，然后求得待求数据的平均数与方差，与上面的式子对比后即可发现平均数是 ，方差为. 试题解析：设数据 的平均数为M，方差为N. 由题意得，. 因为 , 所以， 因为 ， 所以 . 即数据的平均数是，方差是. 点睛：① 当一组数据都扩大（缩小） 倍时，平均数也会扩大（缩小）倍，都增加（减少） 时，平均数也会增加（减少）； ② 当一组数据都扩大（缩小）倍时，方差会扩大（缩小）到原来的 倍，都增加（减少）时，方差不变. 24. 我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排人生产乙产品． （1）求每天生产甲产品可获得的利润（元）和乙产品可获得的利润（元）与之间的函数关系式； （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多1250元，求的值； （3）设生产甲、乙两种产品的总利润为（元），求的最大值和相应的的值． 【答案】（1）， （2） （3）当或23时，最大 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的应用，问题的难点是第（1）问中，得出：每件乙商品的成本增加为：元，是解答本题的关键． （1）根据题意题意直接列式即可作答； （2）令，可得，解方程即可求解； （3）根据题意有：，即（为整数），化为顶点式：，结合二次函数的性质，即可作答． 【小问1详解】 解：∵设每天安排人生产乙产品， ∴每天安排人生产甲产品， ∵每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少）， ∴每人每天生产甲商品的利润为30元，每件乙商品的成本增加为：元， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，令， 可得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去） ∴． 【小问3详解】 解：根据题意有：， 即（为整数）， 化为顶点式：， ∴对称轴为，不为整数， ，开口向下，且离对称轴越近，越大， 当或23时，最大． 25. 在平面直角坐标系中，点、是反比例函数的图象上的两点，且点与点关于原点对称，直线：经过点，，设点、的横坐标分别为、（）． （1）若，，，且点在直线上． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）当时，求证：； （3）过点作轴的平行线交直线于点，以为边向左侧作矩形其中轴，且，试说明：直线与线段的交点始终在函数的图象上． 【答案】（1）①；②； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①先求出点，，不规则用待定系数法求出函数的表达式即可； ②设直线与轴交于点，直线交轴于，则，根据中心对称点的坐标特征求得，再用待定系数法求出直线解析式为，继而求出，然后利用求解即可； （2）先求出，，，当，则，即代入计算即可得出结论； （3）根据可得，又点的在直线：上，所以，则，所以或，再根据交直线，求得，从而求出，继而求得，然后证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①当时，则， 当时，把代入，得， ∴， 当时，把代入，得， ∴， 把，代入，得 ，解得：， ∴； ②令，则， ∴， 设直线与轴交于点，直线交轴于，则， ∵点与点关于原点对称， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 同理可得， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为，点的在反比例函数的图像上， ∴， 又点在直线：上， ∴， ∴，则或， ∵交直线：于点，， ∴， ∴ ∵， 即 ∴， ∵轴， ∴点横向坐标为，纵坐标与点纵坐标相同，为， ∴， ∵矩形，轴， ∴轴， 把代入，求得， ∴直线与线段的交点， ∴ ∴直线与线段的交点始终在反比例函数的图像上． 【点睛】本题考查用待定数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积，本题属一次函数与反比例关系函数综合、函数与几何综合题目，难度较大，属中考试常考题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘郡铭志学校2023年下学期“祖冲之杯”数学竞赛 九年级预赛试卷 考试时间：90分钟；满分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 某乐器上的一根弦，且，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是的黄金分割点，则的长为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 5. 若是锐角，下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 6. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记，估计该地区梅花鹿的数量大约有（　　）只． A. B. C. D. 7. 如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（ ） A 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 8. 把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（ ） A. 扩大4倍 B. 保持不变 C. 缩小4倍 D. 扩大2倍 9. 设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A. B. C. D. 10. 如图，在连长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH.下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是2-2 A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是______． 12. 设是方程的一个根，则______． 13. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为_____ 14. 在锐角中，若，则______． 15. 已知a，b，c，d的平均数是4，则2a+1，2b+1，2c+1，2d+1的平均数是______． 16. 对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则______． 17. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若， ，则k的值是___________． 18. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）． 20. 如图，中，是中线，且，． （1）求证：； （2）求线段的长． 21. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，． （1）求直线与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． 23. 已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是p，方差是q.试证明：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是ap＋b，方差是a2q. 24. 我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排人生产乙产品． （1）求每天生产甲产品可获得的利润（元）和乙产品可获得的利润（元）与之间的函数关系式； （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多1250元，求的值； （3）设生产甲、乙两种产品的总利润为（元），求的最大值和相应的的值． 25. 在平面直角坐标系中，点、是反比例函数的图象上的两点，且点与点关于原点对称，直线：经过点，，设点、的横坐标分别为、（）． （1）若，，，且点在直线上． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）当时，求证：； （3）过点作轴的平行线交直线于点，以为边向左侧作矩形其中轴，且，试说明：直线与线段的交点始终在函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$