4.5 垂线 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心内容，涵盖概念、性质、垂线段及点到直线的距离，通过观察宣传栏边框、转动木条等生活实例与动手操作导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接相交线等前置知识。 其亮点在于以情境化问题链驱动学习，如用跳远成绩测量引出垂线段，结合简易屋架、三角形等实例培养数学眼光与推理思维，通过“议一议”“做一做”强化应用意识。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

4.5 垂线 第4章 平面内的两条直线 22051 4.5 垂线 课时1 垂线 第4章 平面内的两条直线 22051 1.理解垂线的概念； 2.理解并掌握垂线的性质，能够运用其性质解决一些简单的几何问题. 学习目标 22051 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们相交成什么特殊的角？ 直角 思考：当两条直线相交成直角时，它们的位置关系在数学中如何定义？这样的关系会使得图形具有哪些性质呢？ 情境导入 22051 A B C D 将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？ 垂线的概念 新知讲解 22051 如图，取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 是如何变化的？ 其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a 与 b 是什么位置关系？ a b b b b 新知讲解 22051 如图，当∠AOD=90°时，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度?为什么? 解：当∠AOD=90°时， 由对顶角和邻补角的性质，得 ∠AOC =∠BOC =∠BOD=90°. A B C D O 新知讲解 22051 垂直符号：⊥ 它们的交点叫做垂足． 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)， 记作“AB⊥CD”. A B C D O 读作“AB 垂直于 CD”. 新知讲解 22051 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为点O. 几何语言： 因为∠AOD=90° （已知） 所以 AB⊥CD. (垂直的定义) 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为点O，那么∠AOD=90°. A B C D O 新知讲解 22051 议一议 两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见，举出教室内一些互相垂直的实例，并与同学交流. 新知讲解 22051 若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 如图，直线 CD 是 直线AB 的斜线， 同样，直线 AB 也是直线 CD 的斜线. 总结：两直线相交，则其中一条直线是另一条直线的垂线或斜线. 新知讲解 22051 (1) 如图，在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么 a // b 吗？请说明理由. 解：a∥b .理由如下： 因为 a⊥l， b⊥l， 所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ， 所以 a∥b (同位角相等，两直线平行)． 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 垂线的性质 新知讲解 22051 (2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 吗？请说明理由. 解：l ⊥ b．理由如下： 因为 l⊥a，所以∠1 ＝ 90°． 因为 a∥b， 所以∠2＝∠1＝90°(两直线平行，同位角相等)， 因此 l ⊥ b． 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条. 新知讲解 22051 例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数． 解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG， 所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)， 从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)． 例题讲解 22051 例2 如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度数． 解: 因为 CD⊥AB， 所以∠BDC = 90° (垂直的定义). 又因为∠1 =∠2， 所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行)， 所以∠BEF =∠BDC = 90° (两直线平行，同位角相等). 例题讲解 22051 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线. 垂 线 定义 性质 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，则称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线. → 课堂小结 22051 1.如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 随堂小练 基础 22051 解：因为 EO⊥CD， 所以∠DOE=90°(垂直的定义)， 因为∠BOE = 60°， 所以∠BOD = 30° (余角的定义)， 所以 ∠1 = ∠BOD = 30° (对顶角的性质). 2. 直线 AB，CD 相交于点 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠1 的度数． 60° 1 随堂小练 基础 22051 3. 如图， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数． 解：因为 DA⊥AB， CD⊥DA， 所以 CD∥AB (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). 所以∠B +∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补)， 所以∠C = 180°－ 56°=124°. 随堂小练 基础 22051 4. 如图，直线 AB、CD相交于点 O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点 O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF 的度数. 解：因为 OE⊥CD， 所以∠DOE = 90°，∠COE = 90°. 因为∠1 = 50°，所以∠AOD = 40°. 所以∠COB = 40°(对顶角相等). 所以∠EOB = 130°. 因为 OD平分∠AOF， 所以∠DOF = ∠AOD = 40°. 所以∠BOF = 180°-∠COB-∠DOF = 100°. 随堂小练 提升 22051 4.5 垂线 课时2 垂线段与点到直线的距离 第4章 平面内的两条直线 22051 1.通过画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实； 2.理解垂线段的概念； 3.知道垂线段最短是定义点到直线的距离的依据，会求点到直线的距离. 学习目标 22051 如图，体育课上老师应该怎样测量同学们的跳远成绩呢？ 情境导入 22051 任意画一条直线 l ，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. 问题1：若直线 l 经过点 P,这样的垂线能画几条？ 一“靠” 二“过” 三“画” P a 用三角板画： 1条 垂线的基本事实 新知讲解 22051 问题2：若直线 l 不经过点 P,这样的垂线能画几条？ b 1条 P 由问题1和问题2你有什么猜想？ 猜想：无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画出直线 l 的一条垂线. 新知讲解 22051 P b P a 假如过点 P 还有一直线 c 能使 c⊥l， c c 则根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可知，c∥a(或c∥b). 又直线c与直线a (直线b)有公共点P， 因此这是不可能的. 证明理由如下： 猜想：无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画出直线 l 的一条垂线. 新知讲解 22051 垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 新知讲解 22051 如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段． 经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D， ···，线段 PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段． 注意：垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是已知点，另一端是垂足. A B C D P O l 垂线段 新知讲解 22051 ① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短. 用刻度尺或者圆规比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？ ② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度可知，垂线段 PO 最短. A B C D P O l 说一说 问题：如何用一句话来表示这个结论呢？同学们互相交流一下. 新知讲解 22051 垂线段的性质： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短． 新知讲解 22051 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. P l O 点到直线的距离 新知讲解 22051 (1) 量出点 P 到直线 AB 的距离. (2) 如图，某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处,建在哪个位置才最节省水管？为什么？ (3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. P A B 垂线段最短 做一做 新知讲解 22051 例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. (1) 求点 A 到直线 BC 的距离； 解：因为∠ABC = 90°， 所以 AB⊥BC， 点 B为垂足， 所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段. 因为AB = 5， 所以点 A 到直线 BC 的距离为 5. 例题讲解 22051 例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. (2) 求点 B 到直线 AC 的距离. 解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D， 所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离. 因为S△ABC = ·BC·AB= ·AC·BD , 所以 BD = ， 所以点B到直线AC的距离为 . 等面积法 例题讲解 22051 如图，在△ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离. 解: 过点 A作 AD ⊥ BC，垂足为点 D, D 所以线段 AD 的长度即为点 A 到 BC 的距离. 因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD , 所以 AD = ，即点 A 到 BC 的距离为 . A B C 巩固练习 22051 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短. 垂 线 垂线的画法 垂线的性质 点到直线的距离 课堂小结 22051 1. 下列过点 P 向线段 AB 所在直线作垂线正确的是（ ） C A B C D 随堂小练 基础 22051 2. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC，BC，CD 中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 D A B C C 随堂小练 基础 22051 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B. 线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 AC 的距离 C. 线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D. 线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 随堂小练 基础 22051 4.如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点 的位置，使它到四个村庄距离之和最小； 解：因为两点之间线段最短， 所以连接 AD，BC 交于点 H ， 则 点 H 为蓄水池的位置， 它到四个村庄的距离之和最小. H 随堂小练 提升 22051 （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？并说明根据. 解：过点 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . “过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. G H 随堂小练 提升 22051 $