4.5 垂线 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕垂线的画法、性质及点到直线的距离展开，以“弯河道改直”问题导入，引导学生从现实情境猜想数学原理，逐步过渡到垂线画法探究、性质总结及距离定义，构建连贯的知识学习支架。 其亮点在于通过生活实例激活“数学眼光”，动手画垂线培养几何直观与空间观念，水泵房选址、跳远成绩测量等例题强化应用意识。课堂小结系统梳理知识，帮助学生形成逻辑结构，既提升学生探究能力，也为教师提供清晰的教学路径。

1.你看到了什么数学原理？ 2.你想到了什么数学定义？ 1.你看到了什么数学原理？ 2.你猜想到了什么数学定义？ 垂线段与 点到直线的距离 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1. 放 2. 靠 3. 画 l O 如图，已知直线 l，作 l 的垂线. A 无数条 问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？ 可以画一条 (2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？ 可以画一条 b 问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 垂线的基本事实： 例1 过点 P 画出线段 AB 的垂线． A B P 过一点画射线或线段的垂线，是指过该点画射线或线段所在的直线的垂线. 如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足， 线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段． 经过点P 的其他直线分别交直线 l 于A，B，C，D ···，线段PA，PB， PC，PD，··· 都不是垂线段，称为 斜线段． 垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足. 比较垂线段PO和斜线段PA， PB，PC，PD五条线段的长度，那条线段最短？ 结论 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 或者简单地说成： 垂线段最短． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离． P117 做一做 1. 量出图中点P到直线AB的距离。 2．如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房 引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 答： 过C引l 的垂线， 设D为垂足， 水泵房应建在D处， 因为垂线段最短. D (3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. 例2 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： (1) 点 A 到直线 BC 的距离； (2) 点 B 到直线 AC 的距离。 A B C D P118 练习 1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ， BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离. D 2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离．. 3．如图，体育课上应该怎样 测量同学们的跳远成绩？ 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中， 怎样开渠最短？并说明根据. 拓展提升 课堂小结 1. 垂线的画法 2. 垂线的性质 (1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2) 垂线段最短. 3. 点到直线的距离 课堂练习 1. 过点 P 向线段 AB 所在直线作垂线，正确的是（ ） C A B C D 2. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD 中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 D A B C C 3. P 是直线 AB 外一点，过点 P 作 PO⊥AB，垂足为 O，若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段 PC 与线段 PO 的大小关系是（ ） A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO C 4. 下列说法正确的是（ ） A. 线段 AB 叫作点 B 到直线 AC 的距离 B. 线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 AC 的距离 C. 线段 BD 的长度叫作点 D 到直线 BC 的距离 D. 线段 BD 的长度叫作点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 5. 如图，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，BC = 3，则点 A 到直线 BC 的距离为_____，点 B 到直线 AC 的距离为______，点A、B 间的距离为______. 4 3 5 6. 如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路. (1) 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； (2) 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； (3) 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由. 火车站 码头 河流 铁路 $