精品解析：四川自贡市荣县2025-2026学年度下学期半期教学质量监测 九年级 数学

2025－2026学年度下学期半期教学质量监测 九年级 数学 一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 如图， 沿射线 方向平移到 （点 在线段 上），若，，则平移距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移．根据平移的性质有： ，则有，即有，根据，问题得解． 【详解】解：根据平移的性质有： ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴则平移距离为， 故选：B． 3. 下列各数为有理数的是（ ） A. B. C. 0.3030030003… D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是无理数，∴是无理数，排除A． ∵， 是整数，属于有理数，故B符合题意． ∵是无限不循环小数，∴是无理数，排除C． ∵，是无理数，排除D． 4. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 5. 下列语句所描述的事件中，哪一个是不可能事件（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 春草明年绿 D. 白发三千丈 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，即一定条件下必然不会发生的事件，需结合生活常识判断各选项的事件类型． 【详解】解：∵不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件． A选项“黄河入海流”符合自然规律，是必然发生的事件，属于必然事件． B选项“大漠孤烟直”在特定环境下可能发生，属于随机事件． C选项“春草明年绿”符合自然生长规律，是必然发生的事件，属于必然事件． D选项“白发三千丈”违背现实常识，必然不会发生，属于不可能事件． 故选：D． 6. 如图所示的几何体是一个被切去一角的正方体，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的左视图的判断，左视图是从物体的左面进行正投影得到的平面图形．关键是结合正方体的结构，确定切去一角后在左视图中呈现的线条位置． 【详解】解：从该几何体的左面观察，正方体的左视图为正方形，由于切去的是正方体的前上右角，在左视图中会呈现出一条从正方形右上角到左下角的对角线，且为虚线； 故选：B． 7. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 8. 如图，在 中， ，，若将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，连接 和 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形两底角相等求出 的顶角 ，再根据旋转的性质得到且，判定为等边三角形，得到，接着由推出为等腰三角形，计算出的度数，最后通过与的差得到的度数． 【详解】解：，， ， ； 绕点 逆时针旋转 后得到 ， ，， 是等边三角形， ，； 又， ， 是等腰三角形， ∵， ， ． 9. 如图，在 中，， ，以 为直径的 交 于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接 ， ，根据 是 的直径，可得 ，再根据 ， ，可得 的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接 ， ，如图所示： ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图1，在 中，，点 为 边的中点，作，射线 交边 于点N，设， ，若 与 的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键． 设，则，由勾股定理得，，，证明，则，即，可得，将代入，可求，则，可求顶点坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得，， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴顶点坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 二､填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 的小数部分为_________． 【答案】﹣4 【解析】 【详解】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，∴的小数部分是﹣4． 故答案为﹣4． 12. 如图， 与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则 的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据 与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， 与位似， ， ． 的面积为4， ． 13. 因式分解：=______． 【答案】x（x﹣y）（x+y）． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 【详解】x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）， 故答案为x（x﹣y）（x+y）. 14. 如图所示，在 中，点D为 的中点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长 到 ，使，连接．证明，得到，，设，则，根据三角函数求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：延长 到 ，使，连接． ∵ 是 中点， ∴ ． 又∵， ∴， ∴，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在扇形中，，点A是 中点，，点P是弧 上一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，延长OA到E，使得CE=3，连接PE，OP，可以推出，即可证明△AOP∽△POE，得到，从而推出当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE． 【详解】解：如图所示，延长OA到E，使得CE=3，连接PE，OP， ∴OE=OC+CE=6， ∵A是OC的中点， ∴， ∴， 又∵∠AOP=∠POE， ∴△AOP∽△POE， ∴， ∴， ∴PB+2PA=PB+PE， ∴当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解． 三、解答题（共9个题，共90分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形ABCD中，E为BC边上一点，，求证： 【答案】证明：，， ， ∵在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】证明，即可证明 ． 【详解】略． 18. 先化简：，再从 ，1，3三个数中选取一个合适的数值作为 的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ ， ∴原式． 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）： （2）54 （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）用“3部”人数除以对应的百分比即可求得本次调查的总人数，利用本次调查的总人数减去其余各部人数，即可得到“2部”人数，补全条形统计图即可； （2）根据条形统计图得到“4部”人数所占比例，用 乘以“4部”人数所占比例即可； （3）根据调查人数中没有读过四大名著的学生所占比乘以总人数1560即可解题； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，（人）， （人）， 补全的条形统计图，略； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校没有读过四大名著的学生有人； 【小问4详解】 解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示： 由图知，一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， ∴他们恰好选中同一名著的概率． 20. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 【答案】（1） （2）4元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件列方程求解即可； （2）设降价y元，利润为w元．求出w的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍）， 答：月平均增长率为 ； 【小问2详解】 解：设降价y元，利润为w元． ∴当 时，w有最大值． 答：为使销售利润最大，每件应降价4元． 21. 如图， 是 的切线， 为切点， 是 的直径， 是 上的一点，，连接交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当时，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 是 的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点 在 上， 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接 ，先证出，得出，进而即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用证出得出，再由勾股定理即可得出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又，， ，， ， ， 是 的直径， 是 上的一点， ， 又， ． ∴ ∴在 中，． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求 ， ， 的值； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点 在 轴上，的面积为5，求点 的坐标． 【答案】（1），， （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，正确求出系数是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）根据一次函数和反比例函数图象的交点坐标和图象的位置关系进行解答即可； （3）求出．根据，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． 得 点在一次函数的图象上， ， ，，； 【小问2详解】 由图可知： 或； 【小问3详解】 由（1）得到一次函数， 设一次函数与 轴交于点C， 当时，，解得 ， 则． 即 或-3 知点 在 轴上， D或 23. 交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪 和测速仪 到路面之间的距离，测速仪 和 之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 处测得小汽车在隧道入口 点的俯角为25°，在测速仪 处测得小汽车在 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点 行驶到点 所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）． （1）求 ， 两点之间的距离（结果精确到1m）； （2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点 行驶到点 是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）760米 （2）未超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别解，求得，根据即可求解； （2）根据路程除以速度，进而比较即可求解． 【小问1详解】 四边形是平行四边形 四边形是矩形， 在中， 在中， 答： ， 两点之间的距离为760米； 【小问2详解】 ， 小汽车从点 行驶到点 未超速． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， （1）写出A、B、C三点的坐标． （2）若点P为内一点，求的最小值． （3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 【答案】（1），，； （2）； （3）或或或16． 【解析】 【分析】对于（1），令y=0，求出点A，点B的坐标，令x=0，可得出点C的坐标； 对于（2），将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△，连接，，当O，P，，四点共线，OP+BP+CP的值最小，在直角三角形中，求出此时的最小值； 对于（3），需要分类讨论，当CE=CF，CE=EF，CF=EF时，分别求解． 【小问1详解】 ∵与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 当y=0时，x=-3或；当x=0时，y=4， ∴，，． 【小问2详解】 将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到，连接，， ∴，，，，， ∴和为等边三角形， ∴． 当O，P，，四点共线，OP+BP+CP的值最小，OC=4，， 在Rt△BOC中，， ∴∠OBC=30°， ∴BC=2OC=8， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 分类讨论：①如图，当CE=CF，点F在点C的左侧时，过点F作FG⊥CE于点E，则． ∵OA=3，OC=4， ∴AC=5， ∴， 设FG=3m，则CG=4m，FC=5m， ∴CE=FC=5m， ∴GE=m，OE=4-5m． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G，则， ∴， 设FG=3m，则CG=4m，FC=5m， ∴CE=FC=5m， ∴GE=9m，OE=5m-4． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． ②如图，当CE=EF时，过点A作交y轴于点G，由EF=CE，得AG=CG， 设OG=m，则AG=CG=4-m， ∵OA2+OG2=AG2， ∴32+m2=(4-m)2， 解得． 由和，可得直线AG的关系式为， 设直线DF的关系式为，将点D（4，0）代入，得， ∴， ∴． ③如图，当CF=EF时，过点C作交x轴于点G，则∠GCO=∠OED=∠ECF=∠ACO， ∵∠AOC=∠COG，CO=CO， ∴△AOC≌△GOC， ∴OG=OA=3， ∴G（3，0）， 由点G（3，0），C（0，4）可得直线CG的关系式为， 设直线DE的关系式为，将点D（4，0）代入得， ∴， ∴． 故CE的长为：或或或16． 【点睛】这是一道关于等腰三角形和二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，应用分类讨论思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期半期教学质量监测 九年级 数学 一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图， 沿射线 方向平移到（点 在线段 上），若，，则平移距离为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各数为有理数的是（ ） A. B. C. 0.3030030003… D. 4. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列语句所描述的事件中，哪一个是不可能事件（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 春草明年绿 D. 白发三千丈 6. 如图所示的几何体是一个被切去一角的正方体，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 8. 如图，在 中， ，，若将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，连接和 ，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，，以 为直径的 交 于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在 中，，点 为 边的中点，作，射线 交边 于点N，设， ，若 与 的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二､填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 的小数部分为_________． 12. 如图， 与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则 的面积为________． 13. 因式分解：=______． 14. 如图所示，在 中，点D为 的中点，且，则________． 15. 如图，在扇形中，，点A是 中点，，点P是弧 上一点，则的最小值为___________． 三、解答题（共9个题，共90分） 16. 计算： 17. 如图，在四边形ABCD中，E为BC边上一点，，求证： 18. 先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为 的值代入求值． 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 20. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 21. 如图， 是 的切线， 为切点， 是 的直径， 是 上的一点，，连接交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当时，求 的长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求 ， ， 的值； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点 在 轴上， 的面积为5，求点 的坐标． 23. 交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪 和测速仪 到路面之间的距离，测速仪 和 之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 处测得小汽车在隧道入口 点的俯角为25°，在测速仪 处测得小汽车在 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点 行驶到点 所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）． （1）求 ， 两点之间的距离（结果精确到1m）； （2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点 行驶到点 是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，） 24. 如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， （1）写出A、B、C三点的坐标． （2）若点P为内一点，求的最小值． （3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $