精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期九年级半期检测试题 数学 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年12月13日国家统计局发布数据：2024年全国粮食总产量7065亿千克．数据7065亿千克用科学记数法表示为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 4. 若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 5. 如图所示，该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某射击比赛，甲、乙两名运动员成绩如图所示，根据此统计图，下列结论错误的是（ ） A. 甲队员成绩的中位数是环 B. 乙队员成绩的众数是环 C. 乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定 D. 乙队员成绩的平均数是环 8. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，下列说法中错误的是（ ) A. △ABC与△DEF是相似形 B. △ABC与△AEF是位似图形  C. EF与AD互相平分 D. AD平分∠BAC 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，，双曲线上一点P，以点P为圆心的过两点且与y轴相切，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 11. 已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 5 12. 如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：=__________． 14. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则________． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 在如图所示网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为______． 17. 如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为__________． 三、解答题（共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．请在如图所示的网格中，仅用无刻度的直尺，作出的角平分线． 19. 计算 （1）计算： （2）化简求值：其中 20. 某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球的单价2倍少30元，用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍．求足球和篮球的单价各是多少元？ 21. 如图，一次函数的（、b为常数，）图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 22. 如图1是座古塔，某数学小组用如图2的方式测量古塔的高度，在处用测角仪测得古塔顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得古塔顶端的仰角为．已知测角仪的高度，测量点，与古塔的底部在同一水平线上，延长交于点．求古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 23. 某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动．现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为36°，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查_______名学生，扇形统计图中“C”的圆心角为_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若学校主办者在A、C、B、D四个活动小组中抽出2个小组对外展评，请用树状图或列表法求出恰好抽中A、D两个小组的概率． 24. 如图，在中，，点O在上，于D，以O为圆心，为半径作，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径长． 25. 数学活动课上，某小组将一个含三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． （1）和的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出旋转角α从从变化到时，点G经过路线的长度． 26. 如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期九年级半期检测试题 数学 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其概念，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据概念，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3. 2024年12月13日国家统计局发布数据：2024年全国粮食总产量为7065亿千克．数据7065亿千克用科学记数法表示为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可． 【详解】解：7065亿千克千克． 故选：D． 4. 若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案． 【详解】． 故这个正多边形的边数为12． 故选B． 【点睛】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 5. 如图所示，该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】从正面看两个矩形，中间的线为虚线， 故选B． 【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、分式的加法、单项式乘单项式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减、分式的加法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. ，计算错误，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 7. 某射击比赛，甲、乙两名运动员成绩如图所示，根据此统计图，下列结论错误的是（ ） A. 甲队员成绩的中位数是环 B. 乙队员成绩的众数是环 C. 乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定 D. 乙队员成绩的平均数是环 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、中位数、众数、平均数，解决本题的关键是根据中位数、众数、平均数的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：从折线统计图中可以看出甲的成绩分别是、、、、、、、、、，把这一组数据按照从小到大的顺序排列，可得：、、、、、、、、、，中位数为，故A选项错误； B选项：乙队员成绩中环出现了次，所以乙队员成绩的众数是环，所以B选项正确； C选项：从折线统计图中可以看出乙队员的成绩比甲队员的成绩更加稳定，所以C选项正确； D选项：乙队员成绩的平均数是，故D选项正确． 故选：A ． 8. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，下列说法中错误的是（ ) A. △ABC与△DEF是相似形 B. △ABC与△AEF是位似图形  C. EF与AD互相平分 D. AD平分∠BAC 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理和位似图形的判定求解． 【详解】A、∵D，E，F分别是△ABC各边的中点， ∴EF：BC=ED：AC=FD：AB=1：2， ∴△DEF∽△ABC，即△ABC与△DEF是相似形． 故本选项正确； B、因为△DFE和△ABC的各边对应成比例，相似比为1：2，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，是位似图形．故本选项正确； C、根据中位线定理，AF∥ED，AE∥FD，四边形AEDF为平行四边形，对角线EF与AD互相平分．故本选项正确； D、根据图形知AB＞AC，所以中线AD不平分∠BAC．故本选项错误； 故选D． 【点睛】本题综合考查了三角形中位线定理，位似变换，相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质等知识点．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据y=-ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y=ax2+bx+2b的图象即可作出判断． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则-a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y=ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b=-ax+b整理得ax2+（a+b）x+b=0，由于△=（a+b）2-4ab=（a-b）2≥0，则两图象有交点，故A不符合； B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则-a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y=ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B不符合； C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则-a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y=ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C不符合； D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则-a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y=ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D符合； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型． 10. 在平面直角坐标系中，，双曲线上一点P，以点P为圆心的过两点且与y轴相切，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、垂径定理及切线的性质，根据题意画出示意图，结合垂径定理及勾股定理求出圆心的坐标即可解决问题． 【详解】解：设与y轴相切于点，过作于，连接，，， 当在轴上方时，如图， ∵， ∴，，， ∵以点P为圆心的过两点且与y轴相切，， ∴，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴半径， ∴， ∴， ∵是双曲线上一点， ∴， 同理，当在轴下方时，，此时， 故选：D． 11. 已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 12. 如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°， 即在中，， ∵E是斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者； 即， ∴CM最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：=__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，然后再运用完全平方公式解答即可． 【详解】解： = = = 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键． 14. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 根据比例系数k的几何意义得到，然后即可计算出． 【详解】解：根据题意得 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 16. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理的逆定理证明，设圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：连接，如图， 设该圆锥底面圆的半径为r， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ，解得：， 故答案为：． 17. 如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间， ∵，， ∴， ∵，C（1，0），，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ， ∴， ∴， ∵，设，则， 则有： ∴或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．请在如图所示的网格中，仅用无刻度的直尺，作出的角平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长到点，由勾股定理可得，则，再连接与，由矩形的性质可得，由等腰三角形三线合一性质可得，射线即为所作． 【详解】解：如图，射线即为所作， 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理、矩形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 计算 （1）计算： （2）化简求值：其中 【答案】（1）-1 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂和负整指数幂计算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． （2）先根据分式混合运算法则化简分式，再把x值代入化简式计算即可． 【小问1详解】 解：原式= =+1-2 =-1； 【小问2详解】 解：原式= = = =， 当x=+3时，原式== 【点睛】本题考查实数的混合运算，零指数幂与负整指数幂，特殊角三角函数值，分式化简求值，熟练掌握实数运算法则、分式运算法则是解题的关键． 20. 某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球的单价2倍少30元，用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍．求足球和篮球的单价各是多少元？ 【答案】足球单价为60元，篮球单价为90元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程成为解题的关键． 设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，然后根据“用1200元购买的足球数量是用900元购买篮球数量的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元 ，解得：， 经检验：是原方程的解，符合题意． 所以． 答：足球单价为60元，篮球单价为90元． 21. 如图，一次函数的（、b为常数，）图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式等知识点，熟练运用待定系数法以及数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入可得即可确定反比例函数解析式，再确定；然后运用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由可得，则不等式的解集为：反比例 的图象在一次函数上方部分所对的自变量的取值范围，再根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：将代入可得，解得：； ∴反比例函数的解析式为； 把代入可得：，解得：， ∴， 将A、B代入得 ，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴不等式的解集为：反比例 的图象在一次函数上方部分所对的自变量的取值范围，即或． 22. 如图1是座古塔，某数学小组用如图2的方式测量古塔的高度，在处用测角仪测得古塔顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得古塔顶端的仰角为．已知测角仪的高度，测量点，与古塔的底部在同一水平线上，延长交于点．求古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】古塔的高度约为． 【解析】 【分析】延长交于点，则，设．在中得到，在中，得到，解得的值，即可得到答案． 【详解】如图，延长交于点，则， 设． 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴． 答：古塔的高度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动．现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为36°，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查_______名学生，扇形统计图中“C”的圆心角为_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若学校主办者在A、C、B、D四个活动小组中抽出2个小组对外展评，请用树状图或列表法求出恰好抽中A、D两个小组的概率． 【答案】（1）50，108° （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“A”活动小组的人数及其百分比可得总人数；扇形统计图中用360°乘以C所占的百分比可得“C”的圆心角度数； （2）总人数乘以“B”、“C”活动小组所占百分比求出“B”、“C”活动小组的人数，据此补全统计图可得； （3）先画树状图分析所有可能抽到的结果数与恰好抽中A、D两个小组数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数为10÷20%=50（名）， 扇形统计图中“B”所占的百分比为：36°÷360°×100%=10%， 扇形统计图中“C”所占的百分比为：1-20%-10%-40%=30%， 扇形统计图中“C”的圆心角度数为：360°×30%=108°， 故答案为：50，108°； 【小问2详解】 解：B项活动的人数为：50×10%=5（名）， C项活动的人数为：50×30%=15（名）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，所有可能抽到的结果共有12种，恰好抽中A、D两个小组共有2种， 所以恰好抽中A、D两个小组的概率为=， 答：恰好抽中A、D两个小组的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，在中，，点O在上，于D，以O为圆心，为半径作，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、全等三角形的判定和性质等知识， 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，则，由为半径即可证明结论； （2）先求出，得到，证明，得到，求出，则，证明，则，得到，即可得到的半径长． 【小问1详解】 证明：过点O作于点H， ∵，于D， ∴， ∵, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即的半径长为． 25. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． （1）和的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出旋转角α从从变化到时，点G经过路线的长度． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． （1）求抛物线表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，P点坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）分三种情况：利用勾股定理建立方程即可完成； （3）在上取，使，连接，构造相似三角形把的最小值转化为即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 解得， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， ①当时，， ∴，解得， ∴； ②当时，， ∴，解得， ∴； ③当时，， ∴，整理得， ∵， ∴方程无解， 综上，存在点P使为直角三角形，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：在上取，使，连接， ∵， ∴， ∵以点B为圆心，以1为半径画圆， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴的最小值是最小， ∴当C、Q、M共线时，最小值为的长度， 此时，而， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数，圆，直角三角形，线段和最小值等综合问题，难度较大，解题关键是构造相似三角形把的最小值转化为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$