广东省中山市坦洲中学2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟卷

**基本信息** 2025-2026年广东中山坦洲中学初三上数学期末模拟卷，覆盖图形变换、函数、圆等核心知识，解答题融入消防演练等现实情境，通过综合探究题考查推理能力与创新意识，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|中心对称与轴对称、抛物线顶点、圆的性质等|基础概念辨析，结合图形考查空间观念| |填空题|5/15|原点对称、圆的弦长计算、切线性质等|聚焦核心技能，如垂径定理应用| |解答题|8/75|二次函数应用（消防水流）、旋转综合探究、二次函数存在性问题等|情境化设计（消防水流抛物线），多问探究（旋转问题三问），考查模型意识与推理能力|

2025-2026年广东省中山市坦洲中学初三上数学期末模拟卷 一、单选题(3分一题) 1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( A B 2.抛物线y=(x+3)2-4的顶点坐标是（ A.(-3-4)B.(-34) C.(3-4) D.(34) 3.将一元二次方程x2-2x-2=0通过配方后所得的方程是() A.(x-2)2=2B.(x-1)2=3 C.(x-1)2=2D.(x-2)2=3 4.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，∠ACD=40°，则∠BAD为() A.30°B.45° C.50°D.60° 5.将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为( ) A.y=(x-2)2+4B.y=(x+2)2+4C.y=(x-2)2-4D.y=(x+2)2-4 6.如图，把ABC绕点C顺时针旋转35°，得到ABC,AB交AC边于点D.若LADC=90°，则∠A=( A.75°B.55°C.65°D.35 第1页（共18页） 7.若关于x的一元二次方程x2+4x-a=0有两个相等的实数根，则a的值为( A.-4B.-1C.1D.4 8.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.若随机摸出 一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( ) A.B.号C.D.G 9.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为 40m2的矩形场地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程( x m A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40 10.如图.将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线1与AB交于点C,连接 AC.若0A=2,则劣弧AC的长和图中阴影部分的面积分别是( ) D A.和B.音和C.和 32 D.和-3 二、填空题 11.点(-23)关于原点的对称点的坐标为 12.关于x的一元二次方程x2-2025x+m=0有一个根是x=1,则m的值是 13.如图(1)，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭 ,半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意图，弦AB长2m,拱门 的半径为m,则该拱门的高cD为 m. 第2页（共18页） D ACB 图(1) 图(2) 14.如图，AB,BC,CD分别与⊙0相切于E,F,G三点，且AB II CD,B0=6cm,C0=8cm,则 BC= cm. A 15.如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是ABC的内切圆，连接AD,BD,则LADB的度数为 B 三、解答题 16.(7分)解方程：x2-10x+16=0. 第3页（共18页） 17.(7分)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=55°，求LABP和 ∠P的度数. 18.(7分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系x0y内，ABC三个 顶点坐标分别为A(24)B(11)C(43). 4 32 012345x (1)画出ABC关于原点对称的A1B1C1: (2)画出ABC绕点B顺时针旋转90°后的A2B2C2; 19.(9分)根据材料，解决下列问题： 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价 信息一 廉深受民众的喜爱： 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关， 信息二 其中一档风是800转/分，三档风为1152转/分，后一档转速与前一档转速相 比增长率均相同. 家网上电器商店，进货这种商品，进购价为250元/件，售价290元/件， 信息三 每天可以售80件，当每降价5元时，多售40件. 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率. (2)要使该电器每天的利润达到5000元，应降价多少元？ 第4页（共18页） 20.(9分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线，与 AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. B (1)求证：EF与⊙O相切； (2)若AB=45,AD=8,求AE的长. 21.(9分)综合与实践 消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y(单位：)与离高楼的水平 距离x(单位：m)之间具有二次函数关系.从地面离高楼水平距离9m的点A处，水枪喷出的水 流在与高楼的水平距离为3m处达到最高，高度为18m,水流落到高楼的点B处. B 高楼 A 地面 (1)求水流抛物线的解析式； (2)已知高楼的点C处，离地面的高度是16m. 若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直 升高的高度； 第5页（共18页） 22.(13分)综合探究 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为 等边ABC的边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE. 图1 图2 图3 (1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点D为等边ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, 连接CE,若B、D、E三点共线，求证：EB平分LAEC; (3)【拓展提升】如图3，若ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与B、C 重合)，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连接CE.点D在运动过程中，DEC的周 长最小值= (直接写出答案). 23.(14分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-4的图象与x轴于A(-10),B(40)两点 ,与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点 图1 图2 (1)求这个二次函数的解析式， (2)当动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积. (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使BCQ为直角三角形？若存在，请求出所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由 第6页（共18页） 参考答案与试题解析 1.D 【解析】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意： D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D. 2.A 【解析】抛物线y=(x+3)2-4的顶点坐标是(-3)-4)， 故选：A 3.B 【解析】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 .(x-1)2=3, 故选B. 4.C 【解析】解：AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， ∠ACD=40°， ∠ABD=∠ACD=40°， ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=50°， 故选：C. 5.A 第7页（共18页） 【解析】解：由题意，得到的新抛物线的解析式为：y=(x-2)2+4; 故选A. 6.B 【解析】，ABC绕点C顺时针旋转35得到ABC, .DCA=∠BCB=35°，∠A=∠A, .∠ADC=90°， ∴.DCA+∠A=90°， ∴.∠A=55°， .∠A=55°. 故选：B. 7.A 【解析】解：.'关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个相等的实数根， ∴.4=42-4×1·(-m)=0, ∴.m=-4, 故选：A. 8.C 【解析】解：画树状图得： 开始 3 ,共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况， :“两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：= 故选C. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列 表列举.解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比 9.A 【解析】【详解】解：设矩形的宽为xm,则矩形的宽为(24-2)m, 第8页（共18页） ∴.x(24-2x)=40 故选：A. 10.D 【解析】连接CO,且直线1与AO交于点D,如图所示， 1: B D 扇形A0B中，OA=2, ∴.0C=0A=2, 点A与圆心O重合， .'.AD=OD=1,CD LAO, ∴c0s2c0D=80- .∴.LC0D=60°， 由勾股定理得：CD=V0C2-0D2=3, 则lac=品xπ×2=京 2 :5a0c=需×π×2=，5oc=40-CD=x2x3=3, 60° 2 S=SA0c-SA0c=π-3， 故选：D 【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键. 11.(2-3) 【解析】点(-23)关于原点对称的点的坐标是(2-3) 故答案为：(2-3) 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标 符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P'(-x,y)· 第9页（共18页） 12.2024 【解析】解：把x=1代入x2-2025x+m=0,得：1-2025+m=0, 解得：m=2024: 故答案为：2024 13.3 【解析】解：如图，连接OA, D 由垂径定理得AC=1m,半径0A=m, 在RtAC0中，由勾股定理得：C0=0A2-AC2=,（)2-12=(m), :60=0c+0D=+8=30m 故答案为：3. 14.10 【解析】解：AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G三点 BO平分LABC,CO平分LBCD LOBG-3ABC L0CB-3BCD 1 .∠OBC+∠OCB==(LABC+∠BCD) AB II CD ∠ABC+∠BCD=180°， 1 ∠0BC+∠0CB=-×180°=90° .∠B0C=90° 在RtOBC中，B0=6cm,C0=8cm BC=V62+82=10cm 第10页（共18页） 故答案为：10 15.135 【解析】AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∠CAB+LCBA=90°， ⊙D是ABC的内切圆， ∠DAB=∠CAB,∠DBA=3CBA, LDAB+∠DBA=(LCAB+∠CBA)=45, 在ADB中，∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA), ∠ADB=180°-45°=135°. 故答案为：135°. 16.x1=2,x2=8 【解析】解：x2-10x+16=0 十字相乘法，(x-2)(x-8)=0, ∴.原方程的解为x1=2,x2=8. 17.∠ABP=55°，∠P=70°. 【解析】解：连接0B, 0C=0B,∠ACB=55°， ∠0BC=∠0CB=55°， 又AC是直径， LABC=90°， ∠0BA=∠ABC-∠0BC=90°-55°=35°， 0A=OB, 第11页（共18页） ∠0AB=∠0BA=35°， PA,PB是⊙O的切线， OA⊥PA,OB⊥PB,即∠0AP=∠OBP=90°， ∠PAB=∠0AP-∠0AB=90°-35°=55°，∠ABP=∠0BP-∠0BA=90°-35°=55° ∠P=180°-∠PAB-∠ABP=180°-55°-55°=70°， 故∠ABP=55°，∠P=70°. 18. 5 32 B 2345 (1) 【解析】解：所作A1B1C1如图所示： 5 4 3 2 5-4-3-2-1 012345x 3 4 5 3 B B -5-4-3-2-1 O1345x B (2) 第12页（共18页） 【解析】解：所作A2B2C2如图所示： 4 3 2 -4-3-2-1 45x 19. (1)一档至三档转速的平均增长率为20% 【解析】解：设一档至三档转速的平均增长率为x, 根据题意得：800(1+x)2=1152, 解得：x1=0.2=20%,x1=-2.2（舍去)， 答：一档至三档转速的平均增长率为20%； (2)使该电器每天的利润达到5000元，应降价15元 【解析】解：设应降价y元， 根据题意得，(290-y-250(80+g)=5000, 整理得：y2-30y+225=0, 解得：y1=y2=15, 答：使该电器每天的利润达到5000元，应降价15元. 20. (1)EF与⊙0相切 【解析】证明：连接0D, .0A=0D, .∴.∠0AD=∠0DA, 第13页（共18页） .·AD平分∠CAB, ∴.∠CAD=∠0AD, ∴.∠CAD=∠ODA, .'OD IIAE, ,AE⊥EF, ∴.OD⊥EF, 又OD是⊙0的半径， ∴.EF与⊙0相切. 2 【解析】解：连接DB,过D作DG⊥AB于G, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， 在RtADB中，BD=AB2-AD2=N(45)2-82=4, E B .·AD平分∠CAB,DE⊥AE, ∴.DE=DG, 由S.ADB=2×ADX BD=×ABX DG, 1 得DG= 8×4_85 45= 5 ，即DE=85, 5 在AD中，AB=82-( 2=165 5 故答案为： 165 5 21. (1)y=-2(x-3)2+18 【解析】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(318)，A(90), 第14页（共18页） ∴.设抛物线的解析式为：y=a(x-3)2+18, ,抛物线经过点A(90), 0=a(9-3)2+18, 解得：a=之 “水流抛物线的解析式为：y=-x-3)2+18: (2)2.5m 【解析】解：设水枪竖直升高的高度为hm, ∴向上平移后抛物线的解析式为：y=-c-3)2+18+h, 过点C(016), 16=-2(0-3)2+18+h, 解得：h=2.5, 答：水枪竖直升高的高度为2.5m: 22. (1)BD=CE 【解析】解：BD=CE, 证明：，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, .AD=AE,∠DAE=60°， ,'ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.·ABD≌△ACE(SAS), ∴.BD=CE; (2)EB平分∠AEC 【解析】证明：将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, .AD=AE,∠DAE=60°， .ADE是等边三角形， ,∴.∠ADE=∠AED=60°， 第15页（共18页） .∠ADB=120°， ,ABC是等边三角形， .∴.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE, ,∴.∠BAD=∠CAE, .∴.△ABD≌△ACE(SAS, .∠ADB=∠AEC=120°， .∠BEC=600, ∴.∠AEB=∠BEC, ∴.EB平分LAEC. (3)4+23 【解析】解：连接AE,如图， 由旋转可得AD=DE,∠ADE=60°， ∴，ADE是等边三角形， ∴.DE=AD 由(1)知BD=CE ∴.DCE的周长=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=4+AD, ∴.当AD最小时，DCE的周长最小，最小值=4+AD, ∴.当AD⊥BC时，AD最小，此时DCE的周长最小， ,'AD⊥BC,等边ABC, ∴.BD=2BC=2, 由勾股定理，得AD=VAB2-BD2=V42-22=23 .DCE的周长最小值=4+AD=4+23. 故答案为：4+23. 第16页（共18页） 23. (1)y=x2-3x-4 【解析】解：设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4), 则-4a=-4,则a=1, 则抛物线的表达式为：y=x2-3x-4; (2)PBC的最大面积为8，此时点P(2-6) 【解析】解：由抛物线的表达式y=x2-3x-4,当x=0时，y=-4,则C(0-4), 过点P作PHy轴交BC于点H, H P 设直线BC的解析式为y=mx+n, .B(40),C(0l-4), {m±n40 ，解得：{m=4 .直线BC的表达式为：y=x-4, 设点H(xx-④)，则点P(xx2-3x-4), 则PBC的面积=2×PH.0B=2×4×(-4-x2+3x+4)=-2(x-2)2+8≥8， 即PBC的最大面积为8，此时点P(2)-6): (6)点Q的坐标为：(2+)或-2-)或(1.52.5或(1.5-5.5)： 【解析】解：存在，理由： 由抛物线的表达式y=x2-3x-4知，其对称轴为x=多故设点Q(m): 第17页（共18页） 由点C、B、Q的坐标得，BC2=32,BQ2=(4-)+m3,cQ2=+(m+4, 当Bc为斜边时，则32=(4-)+m2+:+m+, 解得：m=-2或 ·点(2±)： 当B0为斜边时，则(4-》°+m2-+(om+42+32, 解得：m=-5.5, 即点Q(1.5-5.5)； 当c0为斜边时，则32+(4-)+m2=+m+, 解得：m=2.5, 即点Q(1.52.5), 综上，点Q的坐标为：(-2+或(2-)或(1.52.5)或(1.-5.5). 第18页（共18页）