精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据点P在数轴上的位置可得答案． 【详解】解：由图可知，数轴上点表示的数可能是． 2. 中国传统的窗花经过不断改良，成为传统与现代设计交融的典范.工匠将木条以随机角度拼接，形成看似碎裂却暗含规律的图案，通过分形几何的迭代分割，在不规则中实现视觉平衡.以下四幅窗花图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．据此进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3. 如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解出a和n的值，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴污损处“0”的个数为3． 4. 化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 5. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放（顶点A重合）.已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交于点，先求出，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，设交于点， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，四边形内接于，连接.若C是劣弧的中点，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点E．求出，，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，，C是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，． 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 7. 定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 8. 如图，菱形的边长为2，过顶点A作，垂足为M，交对角线于点N，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，由等边对等角得到．求出．则，．在中，，，即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，，， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，作半径为1的圆，A是上一动点，在x轴上方确定一点C，使得是以为斜边的等腰直角三角形，过点C作轴，垂足为D．当为的切线时，斜边的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】当为的切线时，求出，从而得出，再画图进行解答即可． 【详解】解：在等腰直角中，为斜边，因此直角顶点为， ∴，， 过点作轴于， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵轴，直线是的切线，圆心为原点，半径为， ∴原点到直线的距离等于半径，即直线的横坐标为， 又在轴上方，舍去不可能的（会导致的纵坐标超过半径）， ∴，即直线为，符合切线要求； ∵点坐标为， ∴， 由得的纵坐标， 又在上， ∴（在轴上方时不符合）， ∵，， ∴， ∴， 由两点间距离公式（勾股定理）得： ，​ ∴斜边的长为． 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，轴，轴，直线：交x轴于点E，交y轴于点F，该直线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移.在平移过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为y，平移的时间为x（秒），y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出点．当直线平移到的位置时，y有最大值，求出正方形的边长为5．求出．此时直线经过正方形与y轴正半轴上的交点M，得到．由为等腰直角三角形即可求出答案． 【详解】解：如图，令，则，即点． 由图2知，当直线平移到的位置时，y有最大值， ∴， ∴正方形的边长为5． 由图2知，， ∴． 当时，可得， ∴， ∴， 此时直线经过正方形与y轴正半轴上的交点M， ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出与相加和为零的实数：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵两个实数相加和为， ∴这两个数互为相反数， ∴所求实数为的相反数． ∵ ∴的相反数为． 12. 某篮球协会需要采购一批篮球，检测部门对甲、乙两厂竞标的篮球样品进行检测，所抽取篮球直径的方差分别是：则应选取______厂生产的篮球（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差用于衡量一组数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，稳定性越高，采购篮球要求直径规格稳定，只需比较两厂方差的大小，选择方差更小的一方即可． 【详解】解：∵，，，即， ∴甲厂生产的篮球直径波动更小，规格更稳定，符合采购要求． 13. 关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的一元一次不等式组的解为， ∴． 14. 如图，在扇形中，，C是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线．连接， 为等边三角形，得到．求出，．根据求出答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线． 如图，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵，C是的中点， ∴，． 由题意，得． 15. 如图，在矩形中，，E为延长线上一点，且O为对角线的中点，连接交于点F，连接．若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点O作，交于点G．分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：过点O作，交于点G． ∵四边形矩形， ∴， ∴，． ∵，O为的中点， ∴，， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴若为等腰三角形，只有两种情况： ①当时，如图1． 在中，，， ∴． 由三角形中位线定理，得； ②当时，如图2． 在中，，， ∴． 由三角形中位线定理，得． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． （1）请直接写出第六个等式______． （2）若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 【答案】（1） （2），证明如下： 左 右边． 【解析】 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）结合已知各式得到等式，计算等式左边即可． 【小问1详解】 解：观察题干各式可知； 【小问2详解】 略． 17. 某校开展了以“人工智能在学习中的应用”为主题的知识竞赛活动，现从该校随机抽取若干学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表． 抽取的学生竞赛成绩频数分布表 组别 分数段 频数 频率 A 5 0.25 B m 0.1 C 6 n D 7 0.35 备注：C组6名学生的成绩：94，94，90，92，92，94 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，______；本次调查所得数据的中位数为______． （2）若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，估计该校1300人中成绩为优秀的学生人数． （3）若本次抽测获得满分的有2男1女三名同学，若从三人中随机抽取两人作为技术辅导员，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两名同学恰为1男1女的概率． 【答案】（1）2，0.3，93 （2）该校1300人中成绩为优秀的学生人数约为845人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格可知n的值，求出总数，即可求出m的值和中位数； （2）用1300乘以优秀率即可； （3）设男生为，，女生为B，列表求概率即可． 【小问1详解】 解：； 总数为人， ∴，中位数为第10、11个人的平均数， 将C组6名学生的成绩从小到大排列得：90，92，92，94，94，94， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：（人）． 答：该校1300人中成绩为优秀的学生人数约为845人； 【小问3详解】 解：设男生为，，女生为B，依据题意列表如下： B B 共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰为1男1女的情况有4种， ∴P（抽取的两名同学恰为1男1女）． 18. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）将绕点B逆时针旋转，点C的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标． （2）若反比例函数的图象经过点A，则k的值为______． （3）连接，将向下平移，当点C平移后的对应点落在反比例函数的图象上时，求平移后点A的对应点的坐标． 【答案】（1）点A的位置如图，坐标为． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的作图即可得到答案； （2）把点A的坐标代入即可求出答案； （3）设向下平移m个单位长度后点C的对应点的坐标为．根据点落在反比例函数的图象上，得到．即向下平移了个单位长度．据此求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入得到，， 解得； 【小问3详解】 解：已知点C的坐标为，设向下平移m个单位长度后点C的对应点的坐标为． ∵点落在反比例函数的图象上， ∴，解得． 即向下平移了个单位长度． 由（1）知，点A的坐标为， ∴平移后点A的对应点的坐标为． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，，和的平分线相交于点P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作和的平分线，令其分别交，于点N和点Q，并再令两角平分线的交点为M.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） （2）证明（1）中所得四边形是矩形 【答案】（1）如图所示即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由（1）可知，分别是和的平分线， ∴． 同理可得，， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）求出，同理可得，，根据矩形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 窑洞是一种古老的传统民居形式，具有浓厚的乡土气息和地方特色，冬暖夏凉．河南最有特色的窑洞为荥阳市高山镇石洞沟村南街的窑洞．某数学小组到荥阳高山镇一窑洞（图1）研学，抽象出数学模型如图2．窑洞拱门下半部可看作一个矩形，上半部看作是一个弓形．若测得米，米，在上的点P处测得，请根据以上数据，求窑洞拱门最高点到地面的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】窑洞拱门最高点到地面的距离约为2.6米 【解析】 【分析】取的中点Q，连接，，过点Q作，垂足为F．此时垂线段的长度即为窑洞拱门最高点到地面的距离．根据矩形的性质证明，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到米，根据三角函数得到米，根据矩形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点Q，连接，，过点Q作，垂足为F．此时垂线段的长度即为窑洞拱门最高点到地面的距离． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴（米）． 在中，（米）． ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）． 答：窑洞拱门最高点到地面的距离约为2.6米． 21. 科研人员用甲、乙两种原料配制植物生长液，已知每克乙原料比每克甲原料贵8元，且用60元购买的甲原料的重量与用100元购买的乙原料的重量相等.（已知每克甲原料含0.4单位的氮，每克乙原料含0.6单位的氮） （1）求甲、乙两种原料的单价各为多少元． （2）若科研人员计划购进甲、乙两种原料共50克，在采购费用不超过880元的情况下，要使得两种原料的总含氮量最大，应如何购买两种原料？ 【答案】（1）甲、乙两种原料的单价分别为12元和20元 （2）应购买甲原料15克，乙原料35克 【解析】 【分析】（1）设甲原料的单价为x元，则乙原料的单价为元，列出分式方程即可求解； （2）设购买甲原料m克，则购买乙原料克，由采购费用不超过880元，可得m的取值范围，再由题意可得总含氮量关于m的一次函数，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲原料的单价为x元，则乙原料的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲、乙两种原料的单价分别为12元和20元． 【小问2详解】 解：设购买甲原料m克，则购买乙原料克， 根据题意，得， 解得， 设两种原料的总含氮量为w单位，则，即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：应购买甲原料15克，乙原料35克． 22. 垂柳，自古被视为优雅柔美的象征.相传隋炀帝开凿大运河时，诏令沿岸植柳，赐姓“杨”，故初称“杨柳”.其枝条细长下垂，随风摇曳，宛如少女的秀发，后渐得“垂柳”之名.唐宋诗词多咏其姿，遂成中华园林经典意象，寓意离别与思念.某数学爱好者从湖边的一株垂柳（如图1）抽象出了二次函数模型，三根柳枝，，的函数图象都经过原点，且与水面分别交于A，B，C三点（如图2），已知抛物线型柳枝的顶点坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（无需写出自变量的取值范围） （2）若三条抛物线型柳枝，和的顶点都在经过原点的同一直线上，柳枝与水面的最大高度为，求的长． （3）抛物线型柳枝的落水点B在点A，C之间（不包含点A，C），直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为．得到抛物线的顶点坐标为．利用待定系数法求出抛物线的解析式为．将代入即可求出答案； （3）求出A点坐标为．根据柳枝的落水点B在点A，C之间即可求出a的取值范围． 【小问1详解】 解：设解析式为． ∵抛物线过原点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设抛物线型柳枝的顶点在直线上， ∴， 解得． ∴直线解析式为． ∵柳枝与水面的最大高度为， ∴抛物线的顶点纵坐标为8． 当时，即， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为． 设柳枝的解析式为， 将坐标原点代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 将代入， 解得（舍去），． ∴的长为． 【小问3详解】 解：由题意知的顶点坐标为． ∵抛物线的顶点在直线上， ∴，由题可知， ∴． 对于， 当时，． 当时，，解得， ∴A点坐标为． ∵柳枝的落水点B在点A，C之间， ∴， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 23. 在中，，，为的外角平分线，在上取点，构造以为直角的直角三角形，且使得． 【初步探究】 （1）如图1，若，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【类比应用】 （2）如图2，若，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展探究】 （3）在（2）的基础上，连接，若为直角三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）部分成立，，． 理由：∵在与中， ， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，延长交于点O，交于点． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）3或12 【解析】 【分析】（1）证，由全等三角形的性质得AD=BE，，即可解决问题； （2）证，由相似三角形的性质得，，再由可得，由此得出结论； （3）分两种情况，①当时，②当时，在利用求出的长，结合即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在与中， ∴与都为等腰直角三角形， ∴． ∵，·． ∴， ∴， ∴，， 如图1，延长交于点O，交于点． ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵为的外角平分线， ∴ 当为直角三角形时，分两种情况： ①若时，如图3， ∵，，． ∴， ， 由（2）得， ∴， ②若时，如图3， ∵， ∴， 由（2）得， 综上所述：若为直角三角形，得长为3或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 中国传统的窗花经过不断改良，成为传统与现代设计交融的典范.工匠将木条以随机角度拼接，形成看似碎裂却暗含规律的图案，通过分形几何的迭代分割，在不规则中实现视觉平衡.以下四幅窗花图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 5. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放（顶点A重合）.已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接.若C是劣弧的中点，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，菱形的边长为2，过顶点A作，垂足为M，交对角线于点N，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，作半径为1的圆，A是上一动点，在x轴上方确定一点C，使得是以为斜边的等腰直角三角形，过点C作轴，垂足为D．当为的切线时，斜边的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，轴，轴，直线：交x轴于点E，交y轴于点F，该直线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移.在平移过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为y，平移的时间为x（秒），y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出与相加和为零的实数：______． 12. 某篮球协会需要采购一批篮球，检测部门对甲、乙两厂竞标的篮球样品进行检测，所抽取篮球直径的方差分别是：则应选取______厂生产的篮球（填“甲”或“乙”）． 13. 关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为______． 14. 如图，在扇形中，，C是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，E为延长线上一点，且O为对角线的中点，连接交于点F，连接．若为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． （1）请直接写出第六个等式______． （2）若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 17. 某校开展了以“人工智能在学习中的应用”为主题的知识竞赛活动，现从该校随机抽取若干学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表． 抽取的学生竞赛成绩频数分布表 组别 分数段 频数 频率 A 5 0.25 B m 0.1 C 6 n D 7 0.35 备注：C组6名学生的成绩：94，94，90，92，92，94 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，______；本次调查所得数据的中位数为______． （2）若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，估计该校1300人中成绩为优秀的学生人数． （3）若本次抽测获得满分的有2男1女三名同学，若从三人中随机抽取两人作为技术辅导员，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两名同学恰为1男1女的概率． 18. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）将绕点B逆时针旋转，点C的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标． （2）若反比例函数的图象经过点A，则k的值为______． （3）连接，将向下平移，当点C平移后的对应点落在反比例函数的图象上时，求平移后点A的对应点的坐标． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，，和的平分线相交于点P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作和的平分线，令其分别交，于点N和点Q，并再令两角平分线的交点为M.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） （2）证明（1）中所得四边形是矩形 20. 窑洞是一种古老的传统民居形式，具有浓厚的乡土气息和地方特色，冬暖夏凉．河南最有特色的窑洞为荥阳市高山镇石洞沟村南街的窑洞．某数学小组到荥阳高山镇一窑洞（图1）研学，抽象出数学模型如图2．窑洞拱门下半部可看作一个矩形，上半部看作是一个弓形．若测得米，米，在上的点P处测得，请根据以上数据，求窑洞拱门最高点到地面的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：） 21. 科研人员用甲、乙两种原料配制植物生长液，已知每克乙原料比每克甲原料贵8元，且用60元购买的甲原料的重量与用100元购买的乙原料的重量相等.（已知每克甲原料含0.4单位的氮，每克乙原料含0.6单位的氮） （1）求甲、乙两种原料的单价各为多少元． （2）若科研人员计划购进甲、乙两种原料共50克，在采购费用不超过880元的情况下，要使得两种原料的总含氮量最大，应如何购买两种原料？ 22. 垂柳，自古被视为优雅柔美的象征.相传隋炀帝开凿大运河时，诏令沿岸植柳，赐姓“杨”，故初称“杨柳”.其枝条细长下垂，随风摇曳，宛如少女的秀发，后渐得“垂柳”之名.唐宋诗词多咏其姿，遂成中华园林经典意象，寓意离别与思念.某数学爱好者从湖边的一株垂柳（如图1）抽象出了二次函数模型，三根柳枝，，的函数图象都经过原点，且与水面分别交于A，B，C三点（如图2），已知抛物线型柳枝的顶点坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（无需写出自变量的取值范围） （2）若三条抛物线型柳枝，和的顶点都在经过原点的同一直线上，柳枝与水面的最大高度为，求的长． （3）抛物线型柳枝的落水点B在点A，C之间（不包含点A，C），直接写出a的取值范围． 23. 在中，，，为的外角平分线，在上取点，构造以为直角的直角三角形，且使得． 【初步探究】 （1）如图1，若，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【类比应用】 （2）如图2，若，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展探究】 （3）在（2）的基础上，连接，若为直角三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $