精品解析：2026年河南省新乡市二十一中学中考数学考前预测试题

九年级第三次模拟考试试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 根据年五一假期旅游数据统计，河南省共接待游客万人次，位列全国第一．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用三个大小相同的正方体搭成一个立体图形，则（　　） A. 它的左视图与主视图相同 B. 它的左视图与俯视图相同 C. 它的俯视图与主视图相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废，若某轮只有小明与小华两位同学参加开盲盒游戏，则两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，，，点是边上的动点，连接，将沿折叠得到，当线段取最小值时，线段的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在菱形中，，点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动，在菱形内部沿某条直线运动到一点，再从该点沿直线运动到点，图②是点运动时的面积随路程变化的关系图象，则点从点运动到点的时间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图像不经过第一象限的一次函数的解析式____________． 12. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 13. 请写出不等式组的一个整数解____________． 14. 如图，在以为直径的半圆中，点为的中点，过点作半圆的切线，以点为圆心，长为半径画弧，得到扇形，且，与的延长线交于点，若，则图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图，，平分，是上一点，且，，分别是，上的动点，连接，，，且，当四边形是轴对称图形时，的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 17. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 18. 如图，已知直线与反比例函数相交于点和点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若将直线绕原点顺时针旋转，与反比例函数相交于点，求的值． 19. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 20. 某数学兴趣小组计划测量一个通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高，并以此为课题安排了一次名为“以数学丈量通讯塔高度”的主题活动． 实践主题 以数学丈量通讯塔高度 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案及数据 小组成员在坡底C处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为 测量示意图及说明 点B，C在同一条直线上，，所有点均在同一平面内 参考数据 ，， 请根据以上表中的测量方案及数据，求该通讯塔的高（结果保留整数）． 21. 近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，深受广大消费者的喜爱．某文创门店计划分两次购进A、B两款冰箱贴，具体数量及花费如下表： A款（个） B款（个） 总花费（元） 第一次 10 20 850 第二次 8 10 560 （1）A款冰箱贴每个进价_____________元，B款冰箱贴每个进价_____________元； （2）若A、B两款冰箱贴共购进30个，其中A款冰箱贴的数量不少于B款的一半，则需要怎样进货，才能最省钱？ （3）在实际销售过程中，该店发现当每个B款冰箱贴售价为30元时，月销售量为160个，每涨价1元，月销售量减少10个．请直接写出当B款冰箱贴售价定为多少元时，这款冰箱贴的月销售利润最大，最大利润为多少元？ 22. 如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 23. 完成以下问题 （1）操作发现 如图①，是等边三角形，是边上一点（不与端点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为___________，与的位置关系是____________； （2）类比探究 如图②，是等腰直角三角形，，是上一点（不与端点重合），将绕点顺时针旋转得到，延长至点，使，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图③，四边形是正方形，边长为1，是直线上一点（不与，重合），将绕点顺时针旋转得到，点，关于直线对称，连接，，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次模拟考试试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2. 根据年五一假期旅游数据统计，河南省共接待游客万人次，位列全国第一．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为万，将原数改写为形式时，满足，原数共位数，可得，所以万用科学记数法表示为． 【详解】解：万. 3. 如图，用三个大小相同的正方体搭成一个立体图形，则（　　） A. 它的左视图与主视图相同 B. 它的左视图与俯视图相同 C. 它的俯视图与主视图相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图；分别确定这个组合体的三视图，即可得出答案． 【详解】解：主视图、左视图相同，如图①，俯视图如图②． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算正确，符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，进而根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式． A选项：方程中，，，，∵，∴方程没有实数根，不符合题意． B选项：方程中，，，，∵，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． C选项：方程中，，，，∵，∴ 方程没有实数根，不符合题意． D选项：方程整理为，其中，，，∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意． 7. 如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 某校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废，若某轮只有小明与小华两位同学参加开盲盒游戏，则两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”卡片盲盒分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：，共2种， ∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 9. 如图，在平行四边形中，，，，点是边上的动点，连接，将沿折叠得到，当线段取最小值时，线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，由折叠的性质可知：，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点三点共线时取最小，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点三点共线时取最小，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图①，在菱形中，，点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动，在菱形内部沿某条直线运动到一点，再从该点沿直线运动到点，图②是点运动时的面积随路程变化的关系图象，则点从点运动到点的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点从点出发沿某条直线运动，由图②知，第一段函数图像随着点的运动路程增大，的面积不变，即点在过点且与平行的线段上运动，第二段函数图像随着点的运动路程增大，的面积减小，如图，过点作交于点，两段函数图像中，点的运动路程相等，点先在上运动，再在上运动，分别求出运动的时间再相加即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵点是菱形对角线的交点，， ∴点是的中点，即，， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线，， 由图②知：，， ∵四边形为菱形， ∴，， 过点作于点， ∴， ∵当点在上运动时，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵点从对角线的交点出发以每秒的速度匀速运动， ∴点从点运动到点的时间为：． 故选：B． 【点睛】本题是动点函数的图象，考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，锐角三角函数等知识点．解题的关键是确定点运动的路径． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图像不经过第一象限的一次函数的解析式____________． 【答案】-1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可得． 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第一象限， ∴，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 12. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据表格中四种车型的平均数和方差即可解答． 【详解】解：∵根据平均数可得四种车型中平均续航里程长的是A和B，根据方差可得四种车型中续航表现稳定的车型是A和C， ∴要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择A． 故答案为：A． 13. 请写出不等式组的一个整数解____________． 【答案】（答案不唯一，任意一个都正确） 【解析】 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，进而确定不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为2，3，4，5，6， ∴原不等式组的一个整数解为2． 14. 如图，在以为直径的半圆中，点为的中点，过点作半圆的切线，以点为圆心，长为半径画弧，得到扇形，且，与的延长线交于点，若，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆心角定理、切线性质和条件证明四边形是矩形，再根据扇形面积公式和圆的面积公式以及矩形面积公式，通过和差计算出阴影面积． 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 15. 如图，，平分，是上一点，且，，分别是，上的动点，连接，，，且，当四边形是轴对称图形时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1所示，过点P作于点H，于点G，可证明，得到；再分两种情况：与关于射线对称和四边形是等腰梯形，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点P作于点H，于点G， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当与关于射线对称时，则四边形是轴对称图形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 如图3所示，当四边形是等腰梯形，且时， ∴； 综上所述，当四边形是轴对称图形时，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 18. 如图，已知直线与反比例函数相交于点和点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若将直线绕原点顺时针旋转，与反比例函数相交于点，求的值． 【答案】（1）的值为，的值为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出点，再根据图像进行求解即可； （3）过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，推导出，得到，求出，设则将代入反比例函数，得到点的坐标为，继而求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得： ， 解得． 将点代入，得： ， 解得． 答：的值为，的值为． 【小问2详解】 解：由(1)知直线的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数相交于点和点， ∴点， 由图可得不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，如图 ∴，， ∴， 直线绕原点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 设则 ∴，其中， 将代入反比例函数，得 ， 解得（负值已舍去）， 点的坐标为． ， 又， ， ， 答：的值为． 19. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】（1） 如图，四边形就是所求作的正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 20. 某数学兴趣小组计划测量一个通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高，并以此为课题安排了一次名为“以数学丈量通讯塔高度”的主题活动． 实践主题 以数学丈量通讯塔高度 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案及数据 小组成员在坡底C处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为 测量示意图及说明 点B，C在同一条直线上，，所有点均在同一平面内 参考数据 ，， 请根据以上表中的测量方案及数据，求该通讯塔的高（结果保留整数）． 【答案】该5G通讯塔的高约为29米 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数在实际问题中的应用． 过点E分别作交的延长线于点F，于点G．先证明四边形为矩形，可得，．再解，求得（米），（米）．随后在中，求得，最后解，运用 ，求出的值． 【详解】解：如图，过点E分别作交的延长线于点F，于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵斜坡的坡比为，米， 设，则， 在中，， 解得 (负值已舍去)， ∴（米），（米）． 在中，， ∴， 在中，， 解得：（米）． 答：该5G通讯塔的高约为29米． 21. 近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，深受广大消费者的喜爱．某文创门店计划分两次购进A、B两款冰箱贴，具体数量及花费如下表： A款（个） B款（个） 总花费（元） 第一次 10 20 850 第二次 8 10 560 （1）A款冰箱贴每个进价_____________元，B款冰箱贴每个进价_____________元； （2）若A、B两款冰箱贴共购进30个，其中A款冰箱贴的数量不少于B款的一半，则需要怎样进货，才能最省钱？ （3）在实际销售过程中，该店发现当每个B款冰箱贴售价为30元时，月销售量为160个，每涨价1元，月销售量减少10个．请直接写出当B款冰箱贴售价定为多少元时，这款冰箱贴的月销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）， （2）购进A款冰箱贴个，B款冰箱贴个时最省钱 （3）售价定为元时，月销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元，由题意得，进而求解即可； （2）设购进A款冰箱贴的数量为个，则购进B款冰箱贴为个，由题意得，然后可设购进A、B两款冰箱贴所需元，则有，最后根据一次函数的性质进行求解即可； （3）设B款冰箱贴售价定为元，这款冰箱贴的月销售利润为元，由题意得：，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元，由题意得： ， 解得：； 答：A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元． 【小问2详解】 解：设购进A款冰箱贴的数量为个，则购进B款冰箱贴为个，由题意得： ，解得：， 设购进A、B两款冰箱贴所需元，则有：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，所需费用最低， 答：购进A款冰箱贴个，B款冰箱贴个时最省钱． 【小问3详解】 解：设B款冰箱贴售价定为元，这款冰箱贴的月销售利润为元，由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：售价定为元时，月销售利润最大，最大利润为元． 22. 如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 【答案】（1） （2）解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【解析】 【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 23. 完成以下问题 （1）操作发现 如图①，是等边三角形，是边上一点（不与端点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为___________，与的位置关系是____________； （2）类比探究 如图②，是等腰直角三角形，，是上一点（不与端点重合），将绕点顺时针旋转得到，延长至点，使，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图③，四边形是正方形，边长为1，是直线上一点（不与，重合），将绕点顺时针旋转得到，点，关于直线对称，连接，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行 （2）解：，理由如下： 过点作的垂线，交的延长线于点，连接，如图 ∵是等腰直角三角形，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，是等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，，由旋转的性质可知，，，推导出，可证明，得到，，进而求解即可； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，，由旋转的性质得，，，推导出，得到，，继而推导出即，是等腰直角三角形，得到，则，即可解答； （3）推导出，点G在直线上， 分类讨论：①当点G在点A的右侧时，此时点在线段上，②当点G在点A的左侧时，此时点在的延长线上，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，． 由旋转的性质可知，，， ∴， 即， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，边长为1， ∴，， ∴， ∵点，关于直线AD对称， ∴点G在直线上， ①当点G在点A的右侧时，此时点在线段上，如图，连接， ∵点，关于直线对称， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； ②当点G在点A的左侧时，此时点在的延长线上，如图，连接 ∵点，关于直线对称， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $