精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第二教研区中考考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：负数， 最小的数在负数，，中， 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，且， ， 四个数中，最小的数是． 2. “石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于的数用科学记数法可表示为，其中需满足，是原数左起第一个非零数字前所有零的个数，据此解答即可． 【详解】解：． 3. 把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 4. 随着仿生机器人技术的快速发展，其已广泛应用于野外勘探、物流运输等场景．某野外勘探队携带一台如图所示的仿生机器人进行勘探，该机器人在某斜坡上平稳站立时，可抽象出如图所示的图形，其中，，，则此时的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，根据平行公理的推论推出，再根据平行线的性质分别求出，即可求解． 【详解】如图，过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5. 口中的数是2的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算．根据分式的混合运算可判断A、B选项；利用二次根式的混合运算可判断C、D选项． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 6. 唐朝文化深厚，涌现了众多诗人．正面分别印有唐朝诗人及对应出生地的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面所印诗人出生地均为河南的概率为（ ） 李白（四川江油） 杜甫（河南巩义） 王维（山西运城） 白居易（河南新郑） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由树状图得出所有等可能的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将题中四张卡片从左到右依次记为A，B，C，D． 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面所印诗人出生地均为河南的结果有2种， 故所求概率为． 7. 如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，由平行四边形的性质得，，由平行线等分线段定理得，即得是的中位线，得到，又由直角三角形的性质得，再根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 8. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】B 【解析】 【分析】根据写错的方程的根得到a与b的关系，再分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质，进行验证说法的正确性． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为． ∵该方程其中一个根为， ∴; 将代入原方程代入原方程左边：， ∴方程左边等于右边， ∴原方程必定有一个根是．故①正确． 对于，． 由，得， ∴． 当时，，即， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根．故②正确． 综上所述，①②都正确． 9. 如图，在等腰三角形中，，点D和点E分别在和上，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好落在上，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点M，过点作于点N，则．根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出．证明，求出，，则．设，则，．在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点作于点N，则． ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴． 设，则，． 在中，，即， 解得，即的长为． 10. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数F（单位：N）反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，，其中G为重力）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数F为 【答案】D 【解析】 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设，将，分别代入， 得， 解得， ∴． 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，得，解得；根据分式有意义的条件是分母不为，得；故的取值范围为且． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：且． 12. 某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可． 【详解】解：根据表格数据， ∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙， 但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好， ∴应选择的通信公司是丙. 13. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，连接，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据四边形的内角和求出的度数，再利用圆周角定理‌即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵点，分别是边，与的切点， ∴，， ∴． ∵在正五边形中，， ∴． ∵是边与的切点，即点在上， ∴． 14. “长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒……按此规律，则第100个图形用了______根火柴棒． 【答案】602 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，第1个图形用了8根火柴棒：， 第2个图形用了14根火柴棒：， 第3个图形用了20根火柴棒：， …… ∴第n个图形用了根火柴棒． 当时，，即第100个图形用了602根火柴棒． 15. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出，再由题意分两种情况讨论，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：， ∴在中，由勾股定理得，． 根据题意，分两种情况讨论： ①当时， 如图1，过点D作于点E， 设，则， ∴． ，即， ∴， ∴， ∴，即平分． 又，， ∴． ∵， ∴， ， ∴； ②当时， 如图2， 设，且， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简 （1）； （2），其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据负整数指数幂、绝对值的代数意义、特殊角的三角函数值、零指数幂的法则计算各项，再合并同类二次根式与常数项； （2）先利用完全平方公式、平方差公式展开括号内的项，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式的法则进行计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 我国在“量子计算”“脑机接口”“技术”三大前沿科技领域已进入全球第一梯队，整体呈现创新活力强劲、应用导向明确的发展态势．某校为了解学生对这些高新科技的关注情况，从全校随机抽取部分学生，调查了他们一周关注高新科技的时间，并对调查数据进行了整理，绘制成如下条形统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）该校抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是多少？ （3）若该校共有名学生，估计该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先计算本次抽取的总人数，再根据中位数的定义，确定所有数据从小到大排序后最中间的两个数据，计算二者的平均数得到中位数；再找出出现次数最多（对应人数最多）的关注时间，即为众数； （）根据加权平均数的计算规则，用每个关注时间乘以对应人数得到总关注时长，再除以抽取的总人数，即可得到平均关注时间； （）利用样本估计总体的思想，先计算出样本中关注时间不少于的人数占样本总人数的比例，再将该比例乘以全校总人数，即可得到估计的人数． 【小问1详解】 解：∵本次抽取的总人数：（人） ∴将所有数据从小到大排列后，中位数为第和第个数据的平均数， 累计人数可得：前两组（）累计人， 前三组累计人， ∴第个数据均为， ∴中位数为； ∵关注时间为的人数最多（人）， ∴众数为； 【小问2详解】 ， 答：该校此次抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是． 【小问3详解】 ． 答：估记该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数为． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到，过点作于点，结合，通过特殊角的三角函数值求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值； （2）根据图形关系，用菱形的面积减去扇形的面积，计算得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 四边形是菱形， ， 在中，， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题图可得，． 19. 在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对竖立在校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为，在影子的右端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球，其中心记为O；灯杆视为圆柱，其粗细忽略不计）的高度为，影长为． 请根据以上信息，解答下列各题： （1）求学校旗杆的高度（结果精确到）； （2）如图2，设太阳光线与相切于点M，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的定义求解即可． （2）连接，利用正切和余弦的定义得出，，即可求出，设景观灯灯罩的半径为，则．证明∽，由相似三角形的性质得出，代入即可求出半径长． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴． ． 答：学校旗杆的高度约为． 【小问2详解】 解：如图，连接． 由题意，得． 在中，， ∴，， ∴． 设景观灯灯罩的半径为，则． ∵太阳光线与相切于点M， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：景观灯灯罩的半径约为． 20. 某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： （1）求喷出的水柱所在抛物线的表达式； （2）已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． （3）在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】（1） （2）答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； （3）解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【小问1详解】 解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 年月日，快舟十一号遥七运载火箭成功将颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种火箭模型进行销售．经计算，销售个种火箭模型和个种火箭模型的利润为元；销售个种火箭模型和个种火箭模型的利润为元． （1）求每个种火箭模型与每个种火箭模型的利润； （2）因预售火爆，该网店决定购进，两种火箭模型共个用于销售，设购进种火箭模型个，销售总利润为元． ①求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②若购进的种火箭模型的数量不超过种火箭模型数量的倍，请你帮该网店设计出销售完这个模型后所获总利润最大的进货方案，并求出最大总利润． 【答案】（1）每个种火箭模型的利润为元，每个种火箭模型的利润为元． （2）①；②当购进种火箭模型个、种火箭模型个时，销售完这个模型后所获总利润最大，最大总利润为元． 【解析】 【分析】（1）先设每个种火箭模型的利润为元，每个种火箭模型的利润为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）①根据题意可知，设购进种火箭模型个，则购进种火箭模型个，再根据总利润种单件利润种数量种单件利润种数量即可求解；②根据购进的种火箭模型的数量不超过种火箭模型数量的倍，列出不等式求出自变量的取值范围，再根据由①求得的解析式，运用一次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 设每个种火箭模型的利润为元，每个种火箭模型的利润为元， 根据题意，得，解得． 答：每个种火箭模型的利润为元，每个种火箭模型的利润为元． 【小问2详解】 ①由题意，得， 即与之间的函数关系式为． ②∵购进的种火箭模型的数量不超过种火箭模型数量的倍， ∴，解得． 由①知． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进种火箭模型个、种火箭模型个时，销售完这个模型后所获总利润最大，最大总利润为元． 22. 窑洞是中国黄土高原传统民居，承载着深厚的历史记忆和地域文化，为了研究窑洞相关构造，数学实践小组的同学们进行了以下探究． 材料收集 材料 材料 材料 如图，该窑洞横截面由一段圆弧与矩形三边组成，经测量，，． 如图，为了确定圆弧所在圆的圆心与半径长，实践小组找到一根长的笔直木杆，调整木杆的位置，直至点在上，点在上，此时，． 如图，数学实践小组的同学给窑洞设计了一个装饰方案：在窑洞上方距地面的处安装吊顶，从点到点，点到点处各拉一条彩带并在点，处悬挂灯带，．（点，在彩带上，点，在上，，，） 问题解决： （1）确定圆心位置：请用无刻度的直尺与图规确定所在圆的圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） （2）确定所在圆的半径长． （3）确定灯带的总长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用圆的弦的垂直平分线必过圆心这一性质，通过作两条不同弦的垂直平分线，它们的交点即为圆心； （）先构造辅助线，利用矩形性质得到线段等量关系，设未知线段长度，再结合圆的半径相等，通过勾股定理建立方程求解未知线段，最终算出圆的半径； （）先通过延长线段构造矩形，结合已知条件算出相关线段长度，再利用垂径定理和勾股定理求出弦的长度；接着根据平行线得到相似三角形，利用相似比求出单段灯带长度，最后由圆的对称性得到灯带总长度． 【小问1详解】 解：作法：①作弦的垂直平分线； ②再任意作弦（或）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，保留作图痕迹即可； 如图所示（作法不唯一）． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形， ∴，． 设，则，， 由题意，得， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， 即所在圆的半径为． 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点，延长交于点， 易得，，，，． 过点作于点，连接，则． 结合（）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 由圆的对称性知，， ∴灯带的总长度为． 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； （2）【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）， （2） 成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）或． 【解析】 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. “石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着仿生机器人技术的快速发展，其已广泛应用于野外勘探、物流运输等场景．某野外勘探队携带一台如图所示的仿生机器人进行勘探，该机器人在某斜坡上平稳站立时，可抽象出如图所示的图形，其中，，，则此时的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 口中的数是2的为（ ） A. B. C. D. 6. 唐朝文化深厚，涌现了众多诗人．正面分别印有唐朝诗人及对应出生地的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面所印诗人出生地均为河南的概率为（ ） 李白（四川江油） 杜甫（河南巩义） 王维（山西运城） 白居易（河南新郑） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 9. 如图，在等腰三角形中，，点D和点E分别在和上，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好落在上，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数F（单位：N）反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，，其中G为重力）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数F为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是______． 12. 某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 13. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，连接，，，则的度数为______． 14. “长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒……按此规律，则第100个图形用了______根火柴棒． 15. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简 （1）； （2），其中． 17. 我国在“量子计算”“脑机接口”“技术”三大前沿科技领域已进入全球第一梯队，整体呈现创新活力强劲、应用导向明确的发展态势．某校为了解学生对这些高新科技的关注情况，从全校随机抽取部分学生，调查了他们一周关注高新科技的时间，并对调查数据进行了整理，绘制成如下条形统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）该校抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是多少？ （3）若该校共有名学生，估计该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 19. 在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对竖立在校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为，在影子的右端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球，其中心记为O；灯杆视为圆柱，其粗细忽略不计）的高度为，影长为． 请根据以上信息，解答下列各题： （1）求学校旗杆的高度（结果精确到）； （2）如图2，设太阳光线与相切于点M，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长）．（参考数据：，，） 20. 某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： （1）求喷出的水柱所在抛物线的表达式； （2）已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． （3）在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 21. 年月日，快舟十一号遥七运载火箭成功将颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种火箭模型进行销售．经计算，销售个种火箭模型和个种火箭模型的利润为元；销售个种火箭模型和个种火箭模型的利润为元． （1）求每个种火箭模型与每个种火箭模型的利润； （2）因预售火爆，该网店决定购进，两种火箭模型共个用于销售，设购进种火箭模型个，销售总利润为元． ①求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②若购进的种火箭模型的数量不超过种火箭模型数量的倍，请你帮该网店设计出销售完这个模型后所获总利润最大的进货方案，并求出最大总利润． 22. 窑洞是中国黄土高原传统民居，承载着深厚的历史记忆和地域文化，为了研究窑洞相关构造，数学实践小组的同学们进行了以下探究． 材料收集 材料 材料 材料 如图，该窑洞横截面由一段圆弧与矩形三边组成，经测量，，． 如图，为了确定圆弧所在圆的圆心与半径长，实践小组找到一根长的笔直木杆，调整木杆的位置，直至点在上，点在上，此时，． 如图，数学实践小组的同学给窑洞设计了一个装饰方案：在窑洞上方距地面的处安装吊顶，从点到点，点到点处各拉一条彩带并在点，处悬挂灯带，．（点，在彩带上，点，在上，，，） 问题解决： （1）确定圆心位置：请用无刻度的直尺与图规确定所在圆的圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） （2）确定所在圆的半径长． （3）确定灯带的总长度． 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； （2）【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $