河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡」 之回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写任 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章第2节。 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台 题目要求的 1.下列结论正确的是 A.过空间中的三点有且仅有一个平面 B.垂直于同一直线的两条直线平行 C,若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.垂直于同一个平面的两条直线平行 2.若复数z满足zi=7一4i,则z= A.-4+7i B-4-7i C.4+7i D.4-7i 3.某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人）， 其数据为5,7,9,8,12,8,6,9,11,7,9,11，则这组数据的第75百分位数是 A.7 B.9 C.10 D.11 4.已知某圆锥的母线与底面所成的角为45°，母线长为4dm,则该圆锥的表面积是 A.82 dm B.(8+82)xdm2 C.16x dm2 D.(4+16√2)πdm3 5.已知向量a,b满足引al=2,lb1=3,且(a十b)~(a-2b)=一4，则向量a在向量b上的投 影向量为 A-号b B-20 监： 之写酒2 Cz6 D 之发 6.已知m,n是两条直线，a,β是两个平面，则下列结论正确的是 A.若ma,aB,则mB B.若mCa,a⊥B,则m⊥B C.若mCβ，aB,则ma D.若m⊥n,nCa,则m⊥a 7.在正方体ABCD-A,B1C,D,中，E,F分别是棱CD,DD1的中点，则下列结论错误的是 AB1D⊥BF B.B,D⊥EF C,EF∥A1B D.直线BE,A1F的交点在直线AD上 【高一数学8第1页（共4页）】 8.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点E在棱PD上，且PE=3ED,点F PF 在棱PC上，若BF/伻面ACE,则 A告 6 c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单 某地连续6天的日平均气温 位：℃)，绘制了如图所示的折线统计图，则 24 A.这6天日平均气温的极差是8℃ 20 B.这6天日平均气温最高的是第5天 C.前5天的日平均气温持续升高 D.第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 1 2 345.6 cos2A十cosA=0,BC=3BD,且AD=2,则 AA=号 BA市-+号AC D△ABC面积的最大值为2 平级 C.b2+2bc十4c2为定值的城站花我 11.已知圆柱O,O2的轴截面是边长为2√2的正方形，正三棱锥S-ABC的底面边长为2W3,侧 棱长为2瓦，则 A正三棱锥S-ABC与圆柱0，O,的体积的比值为 R.正三棱锥S-ABC与圆柱O,0,的侧面积的比值小于号 C.正三棱锥S-ABC外接球的体积与圆柱O,O,外接球的体积相等 D.正三棱锥S-ABC的内切球与圆柱O,O:的内切球的半径的比值小于5，一] 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38,39,40,39,41,39,42，则这组数据的众数 是▲ 13.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D,E分别为棱AB,AA1的中点，则异面 直线DE与A1C所成角的余弦值是△ 【高一数学必第2页（共4页）】 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形，PA= 4,E,F分别是棱CD,AD的中点，M是侧面PD内的一个动点，若BD⊥平面MEF,则动 点M的轨迹长度是▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计 数据按[100,140)，[140,180)，[180,220)，[220,260)，[260,300]分成5组，得到如图所示的 频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； (3)现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在[220,300]内的驿站中抽取15家驿站进行 调研，求上周日均派件量在[260,300]内的驿站被抽取的数量. ↑颜率/组距 0.0075 0.0060 0.0040 0.0025 100140180220260300上周日均派件量/件 16.(15分) 某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得 单株产量（单位：千克）分别为4.5,4.7,4.8,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0. (1)求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； (2)已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数x2=4.75kg,方差s=0.024,求 抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差。 【高一数学8第3页（共4页）】 17.(15分) 动 如图，在三搜柱ABCA,B,C中，平而AA,C,CL平面ABC,四边形AA,C,C是边长为4 的菱形，∠AAC=60°，AC⊥BC,D,E分别是棱BB1,A,C,的中点. (1)证明，AC⊥平面A,BC (2)证明：DE/平面A,BC. (3)求点D到平面A,BC的距离. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥PD,四边形ABCD是直角梯形，AB⊥BC,∠BAD= 60°，∠PDC=120°，AB=2CD=6,PD=12. (1)证明：平面PCD⊥平面ABCD. (2)求二面角P-AD-B的正切值 (3)求三棱锥P-ABD外接球的表面积. ,人人言：动)的空装类的w花项” g面的那河，民1的迎 19.(17分) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=2,O是△ABC的重心，过O的直线 与线段AB,AC分别交于P,Q两点，记∠AOP=8. (1)求cos0的取值范围. (2)记△APQ的面积为S. (1)当0=90时，求S的值； (1)求S关于0的函数解析式，并求S的最值. 【高一数学8第4页（共4页）】高一数学测评参考答案 1.D由m⊥a,n⊥a,得m∥m. 2.A由题意可得x=一i(7一4i)=一7i十4i2=一4-7i,则之=一4十7i, 3.C将这组数据按从小到大的顺序排列为5,6,7,7,8,8,9,9,9,11,11,12.因为12×75%=9， 所以这组数据的第7石百分位数是=10， 4.B由题意可得该圆锥的底面半径为4=22，则所求的表面积是π×22×4+x×(22) v② =(8+8√2)πdm2. 5.D由题意可得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=4-a·b-2×3=-4,则a·b=2,故 向量口在向量6上的技影向量为：)=号6 6.C由线面平行的定义可知当m二β，aB时，m/a,C正确. 7.A连接AB1(图略)，易证A1B⊥平面AB1D.因为E,F分别是棱CD,DD1的中点，所以 EF∥A1B,所以EF⊥平面AB1D.因为B1DC平面AB1D,所以B1D⊥EF,B正确.假设 B1D⊥BF,连接BD(图略).因为BFC平面A1BEF,A1BC平面A1BEF,且BF∩A1B= B,所以B1D⊥平面A1BEF.因为BEC平面A1BEF,所以B1D⊥BE.由正方体的性质可知 BB1⊥BE,则BE⊥平面B1BD.因为BDC平面B1BD,所以BE⊥BD,这与∠DBE<90°矛 盾，所以假设不成立，即B,D,BF不垂直，A错误.由正方体的性质易证EF∥A1B,C正确. 因为A1FC平面ADFA1,BEC平面ABED,且平面ADFA1∩平面ABED=AD,所以直线 BE,A1F的交点在直线AD上，D正确. 8.C如图，取棱PD的中点H,连接BH,HF,BD,记BD∩AC= O,连接OE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是线段BD 的中点.因为H是线段PD的中点，所以DH=2PD.因为PE= 3ED,所以DE=PD,所以DE=2DH,即E是线段DH的中 点，所以OEBH.因为BH￠平面ACE,OEC平面ACE,所以BH平面ACE.由BF平 面ACE,得H/CE,则既-跟-号 9.ABD由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是24一16=8℃，这6天日平均气温最高 的是第5天，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高，第3天的日平均气温比第2天 的日平均气温低，故选ABD. 10.ACD因为cos2A十cosA=0,所以2cos2A十cosA-1=0,所以cosA=2(c0sA=-1 舍去)，A正确因为B心=3BD,所以A市=A+BD=A+BC=A+}(AC-A 【高一数学·参考答案8第1页（共6页）】 -号a应+号aC,B错说 因为AD=号A+号AC,所以9A市=4A2+AC2+4A.AC,即4c2+b+2c=36,C 正确， 因为4c2+b2+2bc=36,所以4c2+b2=36-2bc≥4bc,所以bc≤6，则△ABC的面积S= x血A-号x<2.当且仅当6=女=2,5时，等号成立，D正确 11.BC如图，设点S在底面ABC内的射影为点H,连接CH,则CH= 2xx 2-2,SH-/SCF-CHF=2,SMAI- 3 4 X(2√3)2= 35,则Var=}SAA·SH=2w/5. 正三棱锥SABC的侧面积为35Ax=3X2X2w3X√(22)-(2)}-3V5. 设正三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,外接球的半径为R,则O在直线SH上， 由|2一R|2+22=R,得R=2.设正三棱锥S-ABC内切球的半径为R',则R′= 3Vs-ABC 3×235-1 S△ABC+3S△sC3(W3+√15) 21 圆柱0,0：的体积为x×2)×22=4w2,23-5 4V2x4元，A错误 圆柱0,0，的侧面积为2πX,2×22=8m,33y15=3<1 8π 、8元2<2，B正确。 圆柱O1O2外接球的半径R1=√(W2)2+(√2)=2=R,C正确. 5-1 2-5-1、5-1 圆柱0，O2内切球的半径R2=2,R二②字 22 >3,D错误 12.39因为这组数据中39出现3次，其他数据都只出现1次，所以这组数据的众数是39. 1 如图，取棱AC的中点F,连接EF,DF.因为E,F分别是棱AA1, AC的中点，所以EF∥A1C,则∠DEF是异面直线DE与A1C所成的角 B 或其补角.设AB=2,则EF=DE=√2，DF=1,则cos∠DEF= 2AFDF=,名=&即异面直线DE与A1C所成角的 2DE·EF 【高一数学·参考答案8第2页（共6页）】 余弦值是 14.2√3如图，取棱PD的中点G,连接G,EG.因为F,G分别 是棱AD,PD的中点，所以GF∥PA.因为PA⊥平面ABCD, 所以GF⊥平面ABCD.因为BDC平面ABCD,所以BD⊥ GF.由正方形的性质易证BD⊥EF.因为GFC平面EFG,EF C平面EFG,EF∩GF=F,所以BD⊥平面EFG,则M∈平面 EFG.因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹 为线段EG.因为PA=AB=BC=4,所以PC=43.因为E, G分别是棱CD,PD的中点，所以BG=2PC=25,即动点M的轨迹长度是2. 15.解：(1)由图可得(0.0025十a十0.0075+0.0060十0.0040)×40=1，…2分 解得a=0.005.… …4分 (2)因为(0.0025+0.005)×40=0.3<0.5,0.3+0.0075×40=0.6>0.5， 所以这批驿站上周日均派件量的中位数在[180,220)内.…6分 设这批驿站上周日均派件量的中位数的估计值为m,则(m一180)×0.0075+0.3=0.5， …8分 解得m=207(件)，故这批驿站上周日均派件量的中位数约为207件.…9分 (3)由频率分布直方图可知上周日均派件量在[220,260)内和[260,300]内的频率分别为 0.24和0.16，…11分 0.16 则上周日均派件量在[260,300]内的驿站被抽取的数量为15×0.24+0.16=6（家）.… …13分 16.解：(1)设抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数为x1,方差为s, 则工1=45+47+4.8+4.8叶4.8+4.9+4.9+5.0=4.8kg,…3分 6 (4.5-4.8)2+(4.7-4.8)2+(4.8-4.8)2×3+(4.9-4.8)2×2+(5.0-4.8)2 0.02. …7分 (2)设这20株葡萄单株产量的总体平均数为x,方差为s2, 则2-8z1十12z_8X48+2X475=4.7kg,… 20 20 10分 5-8s好+(z1-)]+12[s3+(z2-x)2] 20 …11分 _8×[0.02+(4.8-4.7)2]+12×[0.024+(4.75-4.7)2]=0.023. 20 …15分 【高一数学·参考答案8第3页（共6页）】 17.(1)证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面 ABC=AC,且AC⊥BC,所以BC⊥平面AA1C1C.…1分 因为AC1C平面AA1C1C,所以BC⊥AC1.…2分 因为四边形AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C.…3分 因为BCC平面A1BC,A1CC平面A1BC,且BC∩A1C=C,所 以AC1⊥平面A1BC.…4分 (2)证明：取棱A1B1的中点F,连接DF,EF. 因为E,F分别为棱A1C1,A1B1的中点，所以EFB1C1. 由三棱柱的定义可知BCBC1,则EFBC.…5分 因为EF中平面A1BC,BCC平面A1BC,所以EF/∥平面A1BC.…6分 因为D,F分别为棱BB1,A1B1的中点，所以DF∥A1B.…7分 因为DF平面A1BC,A1BC平面A1BC,所以DF平面A1BC.…8分 因为EFC平面DEF,DFC平面DEF,且EF∩DF=F,所以平面DEF平面A1BC.… 9分 因为DEC平面DEF,所以DE/平面ABC.…10分 (3)解：过点E作EH∥AC1,交AC于点H. 因为四边形AA1C1C是边长为4的菱形，且∠A1AC=60°，所以AC1=4√3.·11分 因为E是棱A,C的中点，所以EH=寻AC=5.…12分 由(1)可知AC1⊥平面A1BC,则EH⊥平面A1BC,即点E到平面A1BC的距离为√3.… 14分 由(2)可知DE平面A1BC,则点D到平面A1BC的距离为√3.…15分 18.(1)证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥BC,∠BAD= 60°，所以ABCD,BC⊥CD.…2分 因为BC⊥PD,CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD.·3分 因为BCC平面ABCD,所以平面PCD⊥平面ABCD.·4分 (2)解：在平面PCD内，作PH⊥CD,垂足为H,连接AH,BH,记 F BH∩AD=E,连接PE. 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以 PH⊥平面ABCD,…5分 因为∠PDH=180°-120°=60°，PD=12,所以DH=6.…6分 因为AB=2CD=6,∠BAD=60°，所以可证得△ABD是边长为6的正三角形.又DHL AB,所以四边形ABDH是菱形，所以AD⊥BH.… …7分 因为PH⊥平面ABCD,且ADC平面ABCD,所以PH⊥AD 【高一数学·参考答案8第4页（共6页）】 因为PH∩BH=H,所以AD⊥平面PHB. 8分 因为PEC平面PHB,所以AD⊥PE,则∠PEB是二面角P-AD-B的平面角.·9分 数据可得PH=63,EH=33,则tan/PEH-=2,中 又tan∠PEB=一tan∠PEH=一2，故二面角P-AD-B的正切值为一2.…ll分 (3)解：设△ABD外接圆的圆心为O,连接OA,则O'A=O'B=2OE=2√3，OH=4√3. …13分 设三棱锥P-ABD外接球的球心为O,连接OO',OA,OP,过点O作OF⊥PH,垂足为F, 设三棱锥P-ABD外接球的半径为R,则R2=OA2+OO2=OF2+(PH一OO)2,… ……15分 则12+O02=48+(6√5-O0)2,解得O0=4√5，从而R2=60, 故三棱锥P-ABD外接球的表面积为4πR2=240π.…17分 19.解：(1)如图，连接B0并延长交AC于点E,连接CO并延 长交AB于点D.因为O是△ABC的重心，所以D,E分 别为AB,AC的中点.…1分 又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2,所以 A-20m-号E-2500-cD- 3,∠BAO B =450.… …2分 由图可知，当点P与点B重合时，0取得最大值， 812 此时c0S0=OA十OB-AB9+ 一A4 √10 2OA·OB 10 …3分 2x2号×20 3 当点P与点D重合时，0取得最小值， 815 此时coS0=OA2+0D2-AD2 99 一1 10 2OA·OD …4分 2x225 10 3 3 因为函数y=c0s日在(0，π)上单调递减，…5分 所以cm9的取值截固为-，] 6分 s=号××2X2= 4 (2)(i)当0=90时，PQ/BC,则S= 9 8分 (i)在△APO中，由∠PAO=45°，∠AOP=0,可得∠APO=135°-0，…9分 由正弦定理可得 OA AP sin∠APO sin∠AOp' …10分 【高一数学·参考答案8第5页（共6页）】 则AP 2√2sin0 4sin 0 3sin(135°-0)3(cos0+sin0)' 11分 2√2sin0 4sin 0 同理可得AQ=3sin(0-45-3(sin0-cos6)' 12分 则S=7AP·AQ=gsn0-cos09-18cos0 8sin20 8-8c0s20 13分 由c1可知os9[-ee],则m9∈[0，l ……14分 gc品-1-1-o司） 15分 由os9e[0],可得1-2s0∈[告]，期g1+12os司e[g,…15分 即S的最大值为1，最小值为) ……17分 【高一数学·参考答案8第6页（共6页）】