河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题

高一数学测评参考答案 1.D由m⊥a,n⊥a,得m∥m. 2.A由题意可得x=一i(7一4i)=一7i十4i2=一4-7i,则之=一4十7i, 3.C将这组数据按从小到大的顺序排列为5,6,7,7,8,8,9,9,9,11,11,12.因为12×75%=9， 所以这组数据的第7石百分位数是=10， 4.B由题意可得该圆锥的底面半径为4=22，则所求的表面积是π×22×4+x×(22) v② =(8+8√2)πdm2. 5.D由题意可得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=4-a·b-2×3=-4,则a·b=2,故 向量口在向量6上的技影向量为：)=号6 6.C由线面平行的定义可知当m二β，aB时，m/a,C正确. 7.A连接AB1(图略)，易证A1B⊥平面AB1D.因为E,F分别是棱CD,DD1的中点，所以 EF∥A1B,所以EF⊥平面AB1D.因为B1DC平面AB1D,所以B1D⊥EF,B正确.假设 B1D⊥BF,连接BD(图略).因为BFC平面A1BEF,A1BC平面A1BEF,且BF∩A1B= B,所以B1D⊥平面A1BEF.因为BEC平面A1BEF,所以B1D⊥BE.由正方体的性质可知 BB1⊥BE,则BE⊥平面B1BD.因为BDC平面B1BD,所以BE⊥BD,这与∠DBE<90°矛 盾，所以假设不成立，即B,D,BF不垂直，A错误.由正方体的性质易证EF∥A1B,C正确. 因为A1FC平面ADFA1,BEC平面ABED,且平面ADFA1∩平面ABED=AD,所以直线 BE,A1F的交点在直线AD上，D正确. 8.C如图，取棱PD的中点H,连接BH,HF,BD,记BD∩AC= O,连接OE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是线段BD 的中点.因为H是线段PD的中点，所以DH=2PD.因为PE= 3ED,所以DE=PD,所以DE=2DH,即E是线段DH的中 点，所以OEBH.因为BH￠平面ACE,OEC平面ACE,所以BH平面ACE.由BF平 面ACE,得H/CE,则既-跟-号 9.ABD由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是24一16=8℃，这6天日平均气温最高 的是第5天，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高，第3天的日平均气温比第2天 的日平均气温低，故选ABD. 10.ACD因为cos2A十cosA=0,所以2cos2A十cosA-1=0,所以cosA=2(c0sA=-1 舍去)，A正确因为B心=3BD,所以A市=A+BD=A+BC=A+}(AC-A 【高一数学·参考答案8第1页（共6页）】 -号a应+号aC,B错说 因为AD=号A+号AC,所以9A市=4A2+AC2+4A.AC,即4c2+b+2c=36,C 正确， 因为4c2+b2+2bc=36,所以4c2+b2=36-2bc≥4bc,所以bc≤6，则△ABC的面积S= x血A-号x<2.当且仅当6=女=2,5时，等号成立，D正确 11.BC如图，设点S在底面ABC内的射影为点H,连接CH,则CH= 2xx 2-2,SH-/SCF-CHF=2,SMAI- 3 4 X(2√3)2= 35,则Var=}SAA·SH=2w/5. 正三棱锥SABC的侧面积为35Ax=3X2X2w3X√(22)-(2)}-3V5. 设正三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,外接球的半径为R,则O在直线SH上， 由|2一R|2+22=R,得R=2.设正三棱锥S-ABC内切球的半径为R',则R′= 3Vs-ABC 3×235-1 S△ABC+3S△sC3(W3+√15) 21 圆柱0,0：的体积为x×2)×22=4w2,23-5 4V2x4元，A错误 圆柱0,0，的侧面积为2πX,2×22=8m,33y15=3<1 8π 、8元2<2，B正确。 圆柱O1O2外接球的半径R1=√(W2)2+(√2)=2=R,C正确. 5-1 2-5-1、5-1 圆柱0，O2内切球的半径R2=2,R二②字 22 >3,D错误 12.39因为这组数据中39出现3次，其他数据都只出现1次，所以这组数据的众数是39. 1 如图，取棱AC的中点F,连接EF,DF.因为E,F分别是棱AA1, AC的中点，所以EF∥A1C,则∠DEF是异面直线DE与A1C所成的角 B 或其补角.设AB=2,则EF=DE=√2，DF=1,则cos∠DEF= 2AFDF=,名=&即异面直线DE与A1C所成角的 2DE·EF 【高一数学·参考答案8第2页（共6页）】 余弦值是 14.2√3如图，取棱PD的中点G,连接G,EG.因为F,G分别 是棱AD,PD的中点，所以GF∥PA.因为PA⊥平面ABCD, 所以GF⊥平面ABCD.因为BDC平面ABCD,所以BD⊥ GF.由正方形的性质易证BD⊥EF.因为GFC平面EFG,EF C平面EFG,EF∩GF=F,所以BD⊥平面EFG,则M∈平面 EFG.因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹 为线段EG.因为PA=AB=BC=4,所以PC=43.因为E, G分别是棱CD,PD的中点，所以BG=2PC=25,即动点M的轨迹长度是2. 15.解：(1)由图可得(0.0025十a十0.0075+0.0060十0.0040)×40=1，…2分 解得a=0.005.… …4分 (2)因为(0.0025+0.005)×40=0.3<0.5,0.3+0.0075×40=0.6>0.5， 所以这批驿站上周日均派件量的中位数在[180,220)内.…6分 设这批驿站上周日均派件量的中位数的估计值为m,则(m一180)×0.0075+0.3=0.5， …8分 解得m=207(件)，故这批驿站上周日均派件量的中位数约为207件.…9分 (3)由频率分布直方图可知上周日均派件量在[220,260)内和[260,300]内的频率分别为 0.24和0.16，…11分 0.16 则上周日均派件量在[260,300]内的驿站被抽取的数量为15×0.24+0.16=6（家）.… …13分 16.解：(1)设抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数为x1,方差为s, 则工1=45+47+4.8+4.8叶4.8+4.9+4.9+5.0=4.8kg,…3分 6 (4.5-4.8)2+(4.7-4.8)2+(4.8-4.8)2×3+(4.9-4.8)2×2+(5.0-4.8)2 0.02. …7分 (2)设这20株葡萄单株产量的总体平均数为x,方差为s2, 则2-8z1十12z_8X48+2X475=4.7kg,… 20 20 10分 5-8s好+(z1-)]+12[s3+(z2-x)2] 20 …11分 _8×[0.02+(4.8-4.7)2]+12×[0.024+(4.75-4.7)2]=0.023. 20 …15分 【高一数学·参考答案8第3页（共6页）】 17.(1)证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面 ABC=AC,且AC⊥BC,所以BC⊥平面AA1C1C.…1分 因为AC1C平面AA1C1C,所以BC⊥AC1.…2分 因为四边形AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C.…3分 因为BCC平面A1BC,A1CC平面A1BC,且BC∩A1C=C,所 以AC1⊥平面A1BC.…4分 (2)证明：取棱A1B1的中点F,连接DF,EF. 因为E,F分别为棱A1C1,A1B1的中点，所以EFB1C1. 由三棱柱的定义可知BCBC1,则EFBC.…5分 因为EF中平面A1BC,BCC平面A1BC,所以EF/∥平面A1BC.…6分 因为D,F分别为棱BB1,A1B1的中点，所以DF∥A1B.…7分 因为DF平面A1BC,A1BC平面A1BC,所以DF平面A1BC.…8分 因为EFC平面DEF,DFC平面DEF,且EF∩DF=F,所以平面DEF平面A1BC.… 9分 因为DEC平面DEF,所以DE/平面ABC.…10分 (3)解：过点E作EH∥AC1,交AC于点H. 因为四边形AA1C1C是边长为4的菱形，且∠A1AC=60°，所以AC1=4√3.·11分 因为E是棱A,C的中点，所以EH=寻AC=5.…12分 由(1)可知AC1⊥平面A1BC,则EH⊥平面A1BC,即点E到平面A1BC的距离为√3.… 14分 由(2)可知DE平面A1BC,则点D到平面A1BC的距离为√3.…15分 18.(1)证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥BC,∠BAD= 60°，所以ABCD,BC⊥CD.…2分 因为BC⊥PD,CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD.·3分 因为BCC平面ABCD,所以平面PCD⊥平面ABCD.·4分 (2)解：在平面PCD内，作PH⊥CD,垂足为H,连接AH,BH,记 F BH∩AD=E,连接PE. 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以 PH⊥平面ABCD,…5分 因为∠PDH=180°-120°=60°，PD=12,所以DH=6.…6分 因为AB=2CD=6,∠BAD=60°，所以可证得△ABD是边长为6的正三角形.又DHL AB,所以四边形ABDH是菱形，所以AD⊥BH.… …7分 因为PH⊥平面ABCD,且ADC平面ABCD,所以PH⊥AD 【高一数学·参考答案8第4页（共6页）】 因为PH∩BH=H,所以AD⊥平面PHB. 8分 因为PEC平面PHB,所以AD⊥PE,则∠PEB是二面角P-AD-B的平面角.·9分 数据可得PH=63,EH=33,则tan/PEH-=2,中 又tan∠PEB=一tan∠PEH=一2，故二面角P-AD-B的正切值为一2.…ll分 (3)解：设△ABD外接圆的圆心为O,连接OA,则O'A=O'B=2OE=2√3，OH=4√3. …13分 设三棱锥P-ABD外接球的球心为O,连接OO',OA,OP,过点O作OF⊥PH,垂足为F, 设三棱锥P-ABD外接球的半径为R,则R2=OA2+OO2=OF2+(PH一OO)2,… ……15分 则12+O02=48+(6√5-O0)2,解得O0=4√5，从而R2=60, 故三棱锥P-ABD外接球的表面积为4πR2=240π.…17分 19.解：(1)如图，连接B0并延长交AC于点E,连接CO并延 长交AB于点D.因为O是△ABC的重心，所以D,E分 别为AB,AC的中点.…1分 又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2,所以 A-20m-号E-2500-cD- 3,∠BAO B =450.… …2分 由图可知，当点P与点B重合时，0取得最大值， 812 此时c0S0=OA十OB-AB9+ 一A4 √10 2OA·OB 10 …3分 2x2号×20 3 当点P与点D重合时，0取得最小值， 815 此时coS0=OA2+0D2-AD2 99 一1 10 2OA·OD …4分 2x225 10 3 3 因为函数y=c0s日在(0，π)上单调递减，…5分 所以cm9的取值截固为-，] 6分 s=号××2X2= 4 (2)(i)当0=90时，PQ/BC,则S= 9 8分 (i)在△APO中，由∠PAO=45°，∠AOP=0,可得∠APO=135°-0，…9分 由正弦定理可得 OA AP sin∠APO sin∠AOp' …10分 【高一数学·参考答案8第5页（共6页）】 则AP 2√2sin0 4sin 0 3sin(135°-0)3(cos0+sin0)' 11分 2√2sin0 4sin 0 同理可得AQ=3sin(0-45-3(sin0-cos6)' 12分 则S=7AP·AQ=gsn0-cos09-18cos0 8sin20 8-8c0s20 13分 由c1可知os9[-ee],则m9∈[0，l ……14分 gc品-1-1-o司） 15分 由os9e[0],可得1-2s0∈[告]，期g1+12os司e[g,…15分 即S的最大值为1，最小值为) ……17分 【高一数学·参考答案8第6页（共6页）】 高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列结论正确的是 A．过空间中的三点有且仅有一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是 A．7 B．9 C．10 D．11 4．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，母线长为，则该圆锥的表面积是 A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 6．已知，是两条直线，，是两个平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在正方体中，，分别是棱，的中点，则下列结论错误的是 A． B． C． D．直线，的交点在直线上 8．在四棱锥中，四边形是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则 A．这6天日平均气温的极差是 B．这6天日平均气温最高的是第5天 C．前5天的日平均气温持续升高 D．第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则 A． B． C．为定值 D．面积的最大值为 11．已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则 A．正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B．正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C．正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D．正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38，39，40，39，41，39，42，则这组数据的众数是 ▲ ． 13．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ▲ ． 14．如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； （3）现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 16．（15分） 某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． （1）求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； （2）已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求点到平面的距离． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，四边形是直角梯形，，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正切值． （3）求三棱锥外接球的表面积． 19．（17分） 如图，在等腰直角三角形中，，，是的重心，过的直线与线段，分别交于，两点，记． （1）求的取值范围． （2）记的面积为． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求关于的函数解析式，并求的最值． 学科网（北京）股份有限公司 $