精品解析：河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷

河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷 注意事项： 1.答题前﹐考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为．若，，，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 9 4. 若向量，，且，则（ ） A. B. 7 C. 3 D. 5. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 26 B. 13 C. 2 D. 29 7. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 10. 在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，，则______． 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 14. 某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是两个不共线的向量，，，若，是共线向量，求的值． （2）已知向量，，．若三点共线，求的值． 16. 在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，． （1）用，表示、； （2）求与的夹角． 17. 已知向量，，． （1）若，求． （2）记． ①求的值域； ②求的单调递增区间． 18. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求的面积； （3）若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 19. 在四边形中，，E为的中点，G为线段上一点，的延长线交于点F． （1）若，求的值． （2）若，证明：D，E，F三点共线． （3）若，且，，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷 注意事项： 1.答题前﹐考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 若，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数，则，其虚部为. 3. 在中，角的对边分别为．若，，，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理可得， 故，解得或（舍）. 故. 4. 若向量，，且，则（ ） A. B. 7 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据平面向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由，，则， 因为，所以，所以. 故选：A 5. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，则， 所以，可得，则. 6. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 26 B. 13 C. 2 D. 29 【答案】C 【解析】 【详解】，故对该物体所做的功为. 7. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 8. 已知的外心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，故为的中点，而又为的外心， 故，故.设，则， 故， 故在向量上的投影向量为 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D. 【详解】由图知，则，A对， 由题意，，则为纯虚数，B对， ，对应点坐标为不在第一象限，C错， 令，，则，即圆心为原点且半径为， 而表示点到圆上的点的距离， 由点到圆心的距离为， 所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对. 10. 在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】设，由条件证明，，由此判断B，由条件若可得，结合数量积定义及数量积运算律求，判断A，由条件若可得，求，，结合向量共线定理判断C，结合向量模的性质数量积运算律求判断D. 【详解】设，，为边长为的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形， ，，故，B正确； 若，则，故为以为斜边的直角三角形， 又，，所以， 故，即， 所以，，， 又， 所以，A错误； 若，则，所以，即， 所以，，所以，C错误； ， ，D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得判断A，再由已知，三角形面积公式及正弦定理求面积判断B，根据，应用三角恒等变换和正弦函数的性质求范围判断C，由等面积法得，结合、基本不等式求最大值判断D. 【详解】由，则，故， 由正弦边角关系得，即， 而，则， 所以，则， 所以，而，可得， 由，可得，A对， 由，B对， 由题设 ，而，且且， 所以，显然，故无最大值，C错， 由题意 所以，可得， 由，可得，则， 即，当且仅当时取等号， 所以，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和三角形面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得结果. 【详解】，，， ，解得：， ，. 14. 某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求的坐标，设，根据求出，利用向量的夹角公式可求，从而可求. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则, 因为，故， 故，故，故. 设，故， 故，而， 所以， 整理得，故或. 若，则，， 故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 而为三角形内角，故, 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是两个不共线的向量，，，若，是共线向量，求的值． （2）已知向量，，．若三点共线，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理可求； （2）根据向量共线的坐标形式可求. 【详解】（1）因为是两个不共线的向量，故为非零向量， 因为，是共线向量，故存在实数，使得， 所以，而，是两个不共线的向量， 故，故. （2）， 因为三点共线，故为共线向量，故，故. 16. 在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，． （1）用，表示、； （2）求与的夹角． 【答案】（1）,. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求、的表示形式； （2）利用向量的夹角公式可求与的夹角． 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， ， ， 故，而， 故. 17. 已知向量，，． （1）若，求． （2）记． ①求的值域； ②求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示列方程，结合三角恒等变换化简求得，再应用二倍角正切公式求值； （2）①由向量数量积的坐标表示及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质求值域；②由正弦函数的性质求单调增区间. 【小问1详解】 由题设，可得，则， 又，则， 由； 【小问2详解】 由， ①由，得， 所以，则； ②令，，则，， 而，则，所以的递增区间为. 18. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求的面积； （3）若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 【答案】（1）米. （2）（平方米）. （3）米. 【解析】 【小问1详解】 设， 在直角三角形中，因为，故， 同理， 在中，，由余弦定理有， 所以，故（负解舍去）. 所以古塔的高度为米. 【小问2详解】 由（1）的分析可得，同理，而， 故，而为三角形内角， 故，故（平方米）. 【小问3详解】 由题设有，由（1）可得， 故，故后退距离为米. 19. 在四边形中，，E为的中点，G为线段上一点，的延长线交于点F． （1）若，求的值． （2）若，证明：D，E，F三点共线． （3）若，且，，求周长的最小值． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的推论得到，，结合已知得到与关系，即可得； （2）令，，应用向量加减、数乘的几何意义及向量共线得，进而得到，即可证； （3）根据已知及向量数量积的运算律得，建立平面直角坐标系，并标注相关点的坐标，最后应用两点距离公式和将军饮马模型求三角形的最小周长. 【小问1详解】 由题意及向量共线的推论知 ，且， 又，则，故； 【小问2详解】 令，，则， 由共线，则与共线， 所以，则， 由， ， 所以，且为两个向量的公共点，故D，E，F三点共线. 【小问3详解】 由，则， 所以，可得， 所以，则以为原点，分别为轴，建平面直角坐标系， 由，，则， 由，即，故， 若与关于轴对称，则，且，而， 由周长为， 要使三角形周长最小，只需最小，即共线时取得， 所以周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $