山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高二下学期数学周考试卷5月23 日

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦导数应用，通过切线方程、单调性、极值等问题设计，分层考查运算能力与逻辑推理，适配阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数几何意义（题1切线方程）、函数单调性（题4参数范围）|基础概念与基本方法结合，如题6构造函数比大小| |多选|3/18|导数计算（题9）、函数零点（题10）|多选项分层设错，如题11结合导数与不等式论证| |填空|3/15|最值求解（题12）、切线方程（题13）|简洁考查运算准确性，题14含参数不等式有解问题| |解答|7/84|单调性讨论（题15）、极值与证明（题17）|综合题递进设计，题21极值点偏移证明体现逻辑推理|

山东省莱州一中高二数学周考试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知函数在点处的切线方程为，则    A. B. C. 3 D. 5 2.已知定义在上的函数的图像如图，则不等式的解集为     A. B. C. D. 3.若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为     A. B. C. D. 4.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为     A. B. e C. D. 5.已知函数的极小值点为，则的极大值点为     A. B. C. D. 6.已知，则的大关系为     A. B. C. D. 7.若曲线有三条过点的切线，则实数a的取值范围为     A. B. C. D. 8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为     A. B. 1 C. 2 D. e 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列求导正确的有(    ) A. B. C. D. 10.设函数，则下列结论正确的有    A. 的单调递减区间为 B. 是的极小值点 C. 有3个零点 D. 当时，方程恰有三个实数根 11.对于函数，下列说法正确的是    A. 当时， B. 若是函数的导数，则 C. 若有两个解，则 D. 设至少有三个整数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数在上的最小值为4，则___. 13.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____________. 14.已知函数，，若关于x的不等式有解，则m的最小值是_________. 四、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 分已知函数在点处的切线与直线垂直． 求a； 求的单调区间和极值． 16.本小题12分 分已知函数 当时，求函数的极值； 若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； 17.本小题12分 分已知函数 讨论的单调性； 证明：当时， 18.本小题12分 分已知函数， 若函数的一个极值点是，求实数的值； 若函数在内不单调，求实数的取值范围； 当时，，求实数的取值范围． 19.本小题12分 分已知函数 若存在极值，求a的取值范围； 当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 20.本小题12分 设函数，已知是函数的极值点． 求a； 设函数证明： 21.本小题12分 已知函数 当，求的极值； 若，，求a的取值范围； 若有两个极值点，求证： 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义及应用，是基础题． 由已知结合导数的几何意义求解即可． 【解答】 解：函数在点处的切线方程为， ，且，得， 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，考查导数图象与原函数的关系，属于基础题. 根据函数的单调性得结论． 【解答】 解：由图象知在上是减函数，所以的解集是 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于中档题. 由导数的几何意义求出 在处的切线方程，设直线与曲线相切的切点为，列方程组，解方程组即可. 【解答】 解：由，得， 则， 又， 则在处的切线为，即 设该直线与曲线相切的切点为， 又， 则，解得 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 由题意，对恒成立，构造函数，利用其单调性，即可求解. 【解答】 解：由题意，对恒成立， ，由于在单调递减， ， 故答案选： 5.【答案】A  【解析】解：由题意，， 因为函数的极小值点为， 所以，即，解得或， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是极小值点，是极大值点． 故选： 根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：，， 设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减， 因为，所以， 所以， 即 故选： 根据a，b，c的特点，构造函数，判断其单调性，得到，从而求出结果． 本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义切线方程、函数单调性与极值分析，核心知识点为利用导数研究函数图像交点个数。关键条件是“过点的切线有3条”转化为方程有3个解的问题。易错点是忽略时函数的趋势分析及极值点的计算。难度评估为较难。 【解答】 设切点为，曲线的导数为，则切线斜率为。 切线方程为，因切线过点，代入得： 化简得。 问题转化为方程有3个不同实数解。研究函数的单调性： -求导，令，得临界点和。 -当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减。 -计算极值：，；当时，；当时，。 因此，当时，直线与图像有3个交点。 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用导数求函数的最值不含参，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于较难题. 根据题意，由条件可得，存在，，使得，由的单调性即可得到，构造函数，利用导数即可求得其最大值，进而可得到结果. 【解答】 解：由题意可得，存在，，使得，即， 即， 即， 又，所以在R上单调递增， 所以， 所以， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以 故选： 9.【答案】BCD  【解析】略 10.【答案】ACD  【解析】【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为，极大值为7，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确. 故选： 11.【答案】BD  【解析】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，故A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当时，有两个解， 则有两个解，得， 由于， 故若有两个解，则也成立，故C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，，， 所以，故此时满足， 所以至少有三个整数解，则，故D正确. 故选： 12.【答案】；  【解析】，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以为在上的极小值，由结论3可知也是最小值，所以，解得 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，属基础题. 根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程. 【解答】 解：，， 设切点坐标为， 因为切线斜率为2，所以，故， 此时，，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即 故答案为： 14.【答案】；  【解析】解：由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即m的最小值是 故答案为： 15.【答案】解： ，则 ，由题意可得 ，解得 ； 由 ，故 ，则 ， ，故当 时， ，当 时， ，当 时， ， 故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，故 有极大值 ，有极小值   【解析】略 16.【答案】解： 时， ，定义域为 ， ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ，故 在 处取得极小值， ，  的极小值为 ，无极大值.  在区间 上为减函数，在区间 上 ， ，令 ，只需 ， 显然 在区间 上为减函数， ，   【解析】略 17.【答案】解：因为 ，定义域为R ，所以 ，当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，所以 在R 上单调递减；当 时，令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在 上单调递增；综上：当 时， 在R 上单调递减；当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 方法一：由得， ， 要证 ，即证 ，即证 恒成立， 令 ，则 ，令 ，则 ；令 ，则 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，则 恒成立，所以当 时， 恒成立，证毕. 方法二： 令 ，则 ，由于 在R 上单调递增，所以 在R 上单调递增，又 ，所以当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，因为 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以要证 ，即证 ，即证 ，令 ，则 ，令 ，则 ；令 ，则 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，则 恒成立，所以当 时， 恒成立，证毕.   【解析】略 18.【答案】解：  ， 当  时，  ， 当  时，  ， 所以  是  的一个极小值点， 又函数  的一个极值点是  ，所以  ，所以  .  由可知，且又因为函数  在  内不单调， 所以  ， 所以  ． 因为  时，所以  等价于  ， 令  ，所以  ， 令  ，  ， 所以  在  上单调递减， 又因为  ， 所以  时，  ， 所以在 上单调递减， 所以  ， 所以  ．   【解析】略 19.【答案】 证明见解析 【难度】 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值求参数 【分析】根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案； 利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】 ， ， 当 ，即 时， ， 在 上单调递增，没有极值， 当 ，即 时，令 ，可得 ，此时函数单调递增， 令 ，可得 ，此时函数单调递减， 所以函数在 处取得极大值，没有极小值，符合题意， 故a的取值范围为 . 当 时， ， ， 设 ， 因为 ， ， 所以 在 上单调递减， 因为 ， ， 所以 在 存在唯一零点 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 故 在 上存在唯一极值点 ，且 ， 由 ，  ， 令 ， ， 由 ， ； ， ， 则 在 上单调递增，在 单调递减，即 ， 故 ，即 ，故 ， 故 在 和 上各有一个零点， 所以 时，函数 有且仅有两个零点 解由 ， ， 又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ； [方法一]：转化为有分母的函数 由Ⅰ知， ，其定义域为 ． 要证 ，即证 ，即证 ． ⅰ当 时， ， ，即证 ．令 ，因为 ，所以 在区间 内为增函数，所以 ． ⅱ当 时， ， ，即证 ，由ⅰ分析知 在区间 内为减函数，所以 ． 综合ⅰⅱ有 ． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由得 ， ， 且 ， 当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，故 ； 当 时， ， 单增，故 ； 综上所述， 在 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减函数，所以 ，即 当且仅当 时取等号故当 且 时， 且 ， ，即 ，所以 ． ⅰ当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． ⅱ当 时， ，同理可证得 ． 综合ⅰⅱ得，当 且 时， ，即 ．   【解析】略 20.【答案】解：由题意，的定义域为， 令，则，， 则， 因为是函数的极值点，则有，即，所以， 当时，，且， 令 则， 则在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以时，是函数的一个极大值点． 综上所述，； 证明：由可知，， 要证，即需证明， 因为当时，， 当时，， 所以需证明，即， 令， 则， 所以，当时，， 当时，， 所以为的极小值点， 所以时，，即， 综上所述，在恒成立.  【解析】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题． 确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值； 将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明时，即可证明． 21.【答案】解：当  ，  ，  ，  ，  ， 当  时，  单调递减， 当  时，  单调递增，   的极小值为  ，无极大值； 若  ，  ，即  ，   若  ，取  ，则  ，而  ，不满足  ， 由  得  ，即  ， 记  ， 则  ， 当  时，  单调递增，  ，  ， 当  时，  时，  单调递减，则  ，  矛盾， 当  时，  ，矛盾， 综上所述， a 的取值范围为  ； 若  有两个极值点  ，  有两个零点  ， 令  ，则方程  等价于  有两个解， 不妨令  ，  ， 记  ，则  ，令  得  ，令  得  ， 则  在  单调递减，  单调递增，  ， 要证  ， 由  在  递增，只要证  ， 令  ，则  ， 则  在  递减，   ，  ，即  ，  ， 又  在  递增，  ，  ，即  ，  .   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $