山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高二下学期数学周考试卷2026-03-27

高二数学周考试卷2026-03-27 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为(    )A 6                                                                                                    A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 2.如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，A是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的M处出发，途经A处到达N处，则小明可以选择的最短路径条数为    A 6                                                                                                      A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 3.已知随机变量X的分布列如下，若，则     X 0 1 2 P m n A. B. 7 C. 21 D. 22 4.若能被8整除，则a的值可能为    A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 5.1800的正约数的个数为(    ) A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 6.的展开式中xy的系数为    A. B. C. 20 D. 40 7.若事件A，B满足：，，，则    A. B. C. D. 8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域1和区域3颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.关于离散型随机变量X，下列说法正确的有    A. X的期望一定等于其可能取值之一 B. 是X可能取值关于取值概率的加权平均数 C. X的方差一定是个非负常数 D. 越小，X取值越集中在附近 10.从含有3个红球，2个白球口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则    A. B. C. D. 11.若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有    A. A与B相互独立 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知展开式中的系数为21，则实数a的值为______. 13.甲、乙、丙、丁四名同学参加三个课外兴趣小组，每名同学只参加1个小组，每个小组至少1名同学参加，则甲、乙不去同一小组的方法种数为______. 14.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”如137，359等在所有的“三位递增数”中，百位数字是5的“三位递增数”有___________个；若在所有的“三位递增数”中，随机抽取一个数，则三个数字之积能被5整除，但不能被10整除的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 将标有1，2，3，4，5号的小球依次放入标号为1，2，3，4，5的五个方格，每个方格一个小球，若3号小球不放在3号方格，则共有多少种不同的放法？ 用数字组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一排，求第85个数. 16.本小题12分 有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表，求分别符合下列条件的安排方法数．写出必要的数学式，结果用数字作答 有女生但人数必须少于男生； 女生甲一定担任语文科代表； 男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表 17.本小题12分 已知展开式二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题： 二项式系数最大的项； 系数的绝对值最大的项． 18.本小题12分 某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为 求X的分布列和数学期望； 现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动． ①求两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率 19.本小题12分 甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为求： 在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； 在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】略 2.【答案】B  【解析】略 3.【答案】C  【解析】解：由题意可得：，解得， 则，所以，故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． ，利用二项式定理，结合能被8整除，即可求a的值． 【解答】 解： 能被8整除， 也能被8整除， 的值可能为 故选： 5.【答案】C  【解析】解：由题意得， 假设为1800的一个正约数，则在a中因数2有4种选择， 因数5有3种选择， 因数3有3种选择， 由分步计数原理知共有种不同选择， 则1800的正约数的个数为36个． 故选： 根据，再结合分步乘法计数原理可解． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 6.【答案】A  【解析】解：由题意，的通项公式为：，， 令，则， 所以的展开式中xy的系数为 故选： 7.【答案】D  【解析】略 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查条件概率，分步计数原理，属于中档题. 先考虑1和3颜色不同的涂色方法，再计算所有区域颜色均不相同的涂色方法，最后利用条件概率计算公式求出结果即可. 【解答】 解：区域1和区域3颜色不同的涂色方法有： ①2和4颜色不同：种； ②2和4颜色相同：种，共240种不同的涂色方法. 所有区域颜色均不相同的涂色方法有种方法. 而由于，故， 从而 故选 9.【答案】BCD  【解析】解：期望是加权平均，不一定等于某个具体取值， 例如，若X取0和1的概率均为，则，但不是X的可能取值，A错误； 期望的定义即为各取值关于概率的加权平均：，B正确； 方差是平方的期望，非负且为常数，C正确； 方差越小，数据越集中在期望附近，D正确． 故选： 根据期望，方差的意义判断即可． 本题考查离散型随机变量的均值数学期望，属于中档题． 10.【答案】ACD  【解析】略 11.【答案】BC  【解析】解：因为，所以，因为， ，，所以，，得， 则， 对于A，因为，所以A与B不相互独立，所以A错误， 对于B，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D错误. 故选：BC 12.【答案】3  【解析】略 13.【答案】30  【解析】【分析】 本题考查排列与组合的综合应用，分类加法计数原理，属于中档题. 先安排甲、乙，再根据丙、丁是否选择了同一个课外兴趣小组进行分类计算，再综合即可得解. 【解答】 解：先安排甲、乙，从3个课外兴趣小组里任选两个参加，有种， 下面安排丙、丁： ①丙、丁一起选了甲、乙没有选的课外兴趣小组，有1种方法； ②丙、丁中选一个人参加甲、乙没有选的课外兴趣小组，另一个人与甲或乙选的兴趣小组一样，有种方法. 故共有种方法， 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查组合的应用，以及古典概型，属于中档题. 讨论十位数字的情况，可得第一空答案； 先计算所有的“三位递增数”的个数，再计算满足“三个数字之积能被5整除，但不能被10整除”要求的“三位递增数”的个数，相除即可. 【解答】 解：若十位数字是6，则个数可以是7，8，9， 若十位数字是7，个位可以是8，9， 若十位数字是8，个数只能是9， 故百位数字是5的“三位递增数”有6个； 所有的“三位递增数”总共有个， 所有的“三位递增数”中，三个数字之积能被5整除，但不能被10整除，则3个数字只能是5，以及1，3，7，9中的2个， 由于三个选取后顺序既定，故有个， 所以所求概率 故答案是6， 15.【答案】解：由题知，3号球不放在3号方格，则有种放法， 将其余的球放入方格中，则有种放法， 所以，一共有种放法. 当千位为1时：后三位从剩余5个数中选3个排列，有个第个， 当千位为2时：也有60个第个， 第85个在千位为2中排第个， 千位为2时：百位为0：个第个，百位为1：个第个，第84个是2154，第85个是  【解析】号球不放在3号方格，则有种放法，将其余的球放入方格中，则有种放法，由分步乘法计数原理即可求解 16.【答案】解：先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法种 先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法种 分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同选法种   【解析】分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案； 从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 先考虑选出男生乙的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 17.【答案】解：因为展开式的二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b， 所以，，因此由得：，解得 因为，所以的展开式中第4项的二项式系数最大，即 设第项的系数的绝对值最大. 因为， 所以，即，解得，而， 因此，所以系数的绝对值最大的项是第3项，即  【解析】略 18.【答案】解：随机变量X可以取的值是1，2，3， 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 ①由题意得 ②根据条件概率，可得  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 的可能取值为：， 由得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 所以，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $