精品解析：山东省莱州市第一中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

高二年级全真训练测试题目数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集、补集的运算即可求解； 【详解】解：因为集合， 所以或， 又， . 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题否定是将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称命题否定为特称命题，故原命题的否定为. 故选：B 3. 若幂函数在单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可. 【详解】∵是幂函数，∴ 解得或又函数在单调递减，则 即有幂函数，∴ 故选：D. 4. 已知函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数为偶函数排除选项D；利用时排除选项C；利用时排除选项A；进而仅有选项B正确. 【详解】函数定义域为， 由， 可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D； 由当时，仅有，可知选项C图象错误； 由当时，，则 则选项A图象错误.仅有选项B正确. 故选：B 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解. 【详解】当时，； 当时，，即； 当时，， 故选：D. 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设是图象上切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析 由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接对函数求导研究即可； 对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可； 对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可； 对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案. 【详解】对于A，，， 令，得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 为的极小值点，A错误； 对于B，， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若在上恒成立，得在上恒成立， 则 令，则， 令，， 当时，，单调递减， ，即， 在上单调递减， 故函数，则，C正确； 对于D， 令， ， 则 在上单调递减， 则，即， ，，结合A选项可得， ，函数在上单调递增， 则， 即对任意两个正实数，且，若，则，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题. 11. 定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件结合选项内容，分析函数性质，对选项逐一判断. 【详解】，函数定义域为， 由，有， 即，函数为偶函数，故选项A正确； 由，得， 即，∴， 有，得， ∴， 得，，故选项B正确； ， 当时，函数单调递增，且，有，即，不合题意，故C选项错误； 方程，即， 方程有两个根，等价于函数与函数的图像有两个交点，其中函数单调递减，函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减， 若方程有两个根，则有， 此时，即， 若且，则有， ∴，∴，得，故选项D正确. 故选：ABD 【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出的值. 【详解】由题得， 所以. 故答案为： 13. 若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据条件写出函数即可. 【详解】，可知是偶函数，在上单调递减，符合①②两个条件， 又，所以符合条件③. 同理可得也符合条件. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可. 【详解】设，则，，得， 当单调递增， 当单调递减， 当时，函数取得最大值2， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为， 如图，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，． 故答案为： . 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合结合集合交集、补集运算即可； （2）确定，即可求解. 【小问1详解】 所以或 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则即，需满足且，解得 所以实数a的范围是. 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范围． 试题解析（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有， 即，即，故. （2），且在上恒成立， 故原不等式等价于在上恒成立， 又，所以，所以，从而， 因此，. 17. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元 【解析】 【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解； （2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值. 【小问1详解】 设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． 18. 已知函数，，. （1）求的极值； （2）若对任意，当时，恒成立，求实数的最大值； （3）若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）最大值为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出，讨论其符号后可得其极值. （2）结合（1）的结果可知题设的不等式等价于为上的增函数，利用导数可求实数的最大值. （3）先讨论单调性，结合零点存在定理可求实数的取值范围. 【详解】（1），令，得. 当或时，；当时，， 故为的极小值点，无极大值点， ∵，∴的极小值为，无极大值. （2）由（1）可得在为增函数， ∵，故等价于， 即 设，则在为增函数. ∴在恒成立. ∴恒成立. 设，∵在上恒成立 ∴为增函数，∴在上的最小值为. ∴，∴的最大值为. （3） ①当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为 ， 所以函数至多有一个零点，不合题意，舍. ②当时，，在上单调递增， 此时至多一个零点，不合题意，舍. ③当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为， 所以函数至多有一个零点，不合题意，舍. ④当时，当，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， Ⅰ：当时，即时，函数至多一个零点，不合题意，舍. Ⅱ：当时，， 令，则， 故在为增函数，故， 故，所以， 所以存在，，所以函数在上有唯一的零点. 又， 所以函数在上有唯一的零点. Ⅲ：当时，，在上仅有零点，舍. 综上所述：实数的取值范围为 【点睛】方法点睛： （1）函数的极值取决于其导数的符号，一般地，如果在的左侧附近的导数为负，右侧附近的导数为正，则为函数的极小值点. （2）导数背景下的零点问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理综合判断，取点时注意根据函数解析式的形式取合适点（容易计算方可），必要时可构建新函数再结合导数判断函数值的符号. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性. （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； ②构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ③利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ④根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级全真训练测试题目数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 4. 已知函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（    ） A. B. C. D. 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 11. 定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数，则_________． 13. 若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 14. 已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 18. 已知函数，，. （1）求极值； （2）若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值； （3）若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$