精品解析：云南红河州蒙自市第一高级中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

2025级高一下学期5月月考 数 学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设及并集定义可得答案． 【详解】由并集定义可得：． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 3. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则求出，由共轭复数的概念得，进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得解. 【详解】由题意可得， 故，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 4. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对于A，，定义域为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，定义域为，， 所以为奇函数，又和都为上的增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故C错误； 对于D，，定义域为， 因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故D错误. 故选：B 5. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意在中，，点是的中点， 故 ， 故选：A 6. 在中，，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理及已知求得，结合角大小得三角形形状． 【详解】在中，对于， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：， 又，所以，又， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以，结合，可得一定是等边三角形. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 8. 三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10. 下列代数式的值为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于. 【详解】选项A：由二倍角余弦公式， 得，A错误. 选项B：由二倍角正弦公式， 得，B正确. 选项C：由同角三角函数关系， 代入得，C正确. 选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上，在正方形内，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 平面截正方体，所得截面的周长为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若平面，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；找出截面，计算出各边的边长，可判断B选项；根据异面直线公垂线段，可判断C选项；求出点的轨迹，结合余弦定理、正弦定理可可判断C选项；推导出平面，结合异面直线间的距离可判断D选项, 【详解】对于A选项，连接，如下图所示： 因为，故直线与直线所成角为或其补角， 因为平面，平面，所以， 因为，，故， 因此，直线与直线所成角的正切值为，A对； 对于B选项，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以， 即、、、四点共面，所以，平面截正方体，所得截面为四边形， 由勾股定理可得， 同理可得，，， 因此，所得截面的周长为，B错； 对于C选项，连接交于点，连接、交于点，连接， 则到直线的距离的最小值即为异面直线、公垂线段的长度， 易知、分别为正方形、的中心， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面，即平面， 因为，，故四边形为平行四边形， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，四边形为平行四边形， 设，过点作交棱于点， 因为，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，、平面，所以，， 因为，，故，， 所以异面直线、公垂线段为，且， 即点到直线的距离的最小值为，C对； 对于D选项，分别取线段、的中点、，连接、、、、， 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，则，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，，则，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，所以，由A选项可知，，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，故平面平面， 当时，平面，则平面，即点的轨迹为线段， 由勾股定理可得， 同理可得，， 由余弦定理可得， 所以， 所以，点的最小值为，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】转化，利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】 13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件. 【答案】12 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件 故甲产品应抽件 故答案为：12 14. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，令，由题意可得方程有个不相等的实数根且，符合题意的情况有和，分别求的范围即可求出答案. 【详解】作出时函数的图象，再根据函数为偶函数得到上的函数图象： 令，方程化为， 由题意得方程有个不相等的实数根，且， 有以下两种情况符合题意： ①当时，，故， ②当时，，故， 综上可知实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”.这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： （1）试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？ 【答案】（1）55，，40 （2）选乙种空调进行购买 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求众数、中位数、平均数的计算规则计算即可得解； （2）先计算乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数，然后在和（1）中计算的平均数做比较，即可得出结果. 【小问1详解】 由使用甲种空调“售后处理时间”的频率分布直方图知，售后处理时间在内的频率分别为， 因此，使用甲种空调的消费者中“售后处理时间”的众数为55， 因为，则“售后处理时间”的中位数， 于是得，解得， 所以所求中位数为， 所求平均数为； 【小问2详解】 依题意，使用乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数为 ， 所以选乙种空调进行购买. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期，对称中心为； （2）和. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【小问1详解】 函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系后可求的大小； （2）根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：①， 因为. 故①式可变形为， 即，化简得：， 因为，所以，故. 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理得，所以， 由（1）知，故，则， 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时等号成立， 因此， 所以面积的最大值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 【小问3详解】 正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 19. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0，1； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； 【小问2详解】 由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期5月月考 数 学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 10. 下列代数式的值为的是（    ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上，在正方形内，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 平面截正方体，所得截面的周长为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若平面，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，且，则______． 13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件. 14. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”.这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： （1）试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？ 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $