精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月阶段性学情诊断考试数学试题B

云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月阶段性学情诊断考试数学试题B 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2. 已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 3. 在直角坐标系 中， 的顶点与坐标原点重合， 始边与 轴正半轴单合， 终边与单位圆 的交点分别为 ， 则 （ ） A B. C. D. 4. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 7. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 8. 在中，角所对的边分别是，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 下列函数中最小值为2的是（     ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为______. 13. 如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 14. 在内角的对边满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 17. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； （2）若是的重心且，求的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，是的中点． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面平面，且，求证：平面平面． 19. 已知的内角的对边分别为，且，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月阶段性学情诊断考试数学试题B 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数，再根据复数的除法运算求得，进而可求模. 【详解】因为复数，所以，所以， 所以 故选：A. 2. 已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数定义求解. 【详解】样本数据共7个，由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5. 故选：B 3. 在直角坐标系 中， 的顶点与坐标原点重合， 始边与 轴正半轴单合， 终边与单位圆 的交点分别为 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，可作图，利用分别表示出两点的坐标，然后计算向量数量积即可完成求解. 【详解】 如图所示，，， 因为两点在单位圆上，所以，， 所以，， 所以. 故选：B. 4. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数图象得到，即，利用余弦二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：D. 6. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件和向量数量积的定义求得，再结合两向量夹角的范围即得. 【详解】由可得， 解得，因，故. 故选：B. 7. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，求出桶的深度，得到雨水的高度，进而求出雨水的体积，圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为，从而得到本次降雨的日降水量. 【详解】如图所示，cm，cm，， 过点作⊥于点，则，cm， cm， 桶的深度为cm， 故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm， 故cm， 雨水的体积， 圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为， 故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm. 故选：A 8. 在中，角所对的边分别是，已知，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合已知条件以及余弦定理，求出，再根据正弦定理进行边化角以及三角恒等变换，将转化为，根据运用整体代换法求出的取值范围，进而得出答案. 【详解】，， 由余弦定理，得， 又，， ，由正弦定理，得， ， 又，， ， 又，，， ，即的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积是否为0验算A，由向量加法验算B，由向量减法、模的计算公式验算C，由投影向量的定义验算D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10. 在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由点在线段上可设，.根据题意可得，，∴.结合平面向量基本定理即可得到，逐项判断即可求解. 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 11. 下列函数中最小值为2的是（     ） A B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用二次函数性质求解最小值判断；对于B、C、D应用基本不等式求解最小值判断即可. 【详解】对于A：，显然时取到最小值2，故A正确； 对于B：由题意，所以， 当且仅当，即，也即时，等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D：， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，根据，求得，结合直角中，利用勾股点列出方程，求得，进而求得三棱锥的体积. 【详解】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为， 则， 由，所以，即， 在直角中，，， 解得，，所以体积 故答案为： 13. 如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直观图面积，根据原图形面积与直观图面积关系求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 在内角的对边满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，由得：， 由余弦定理得： ， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，进而可求； （2）由向量数量积及（1）可求得的值，进而计算可求三角形面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以，所以，所以； 【小问2详解】 由，可得，即， 由（1），，所以， 所以. 16. 某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图计算该样本的中位数； （2）现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； （3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】（1） （2） （3）该生态园选择方案获利更多． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【小问1详解】 设样本的中位数为， 则， 即，解得； 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； 【小问3详解】 方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 17. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； （2）若是的重心且，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由正弦定理边化角可得，讨论即可得证；（ii）由题意得，故只需求出角的范围即可得解； （2）由题意得，再结合余弦定理有，进一步求得，最后结合对勾函数的性质即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为，， 所以，即 （ⅱ）由（1）知，所以， 所以， 因为三角形为锐角三角形， 所以，， ， 所以； 【小问2详解】 设中点为，用向量，表示向量，， 同理，可得 由得，， 所以 所以， 化简得：，即① 由余弦定理可得：② 联立①②得 因为为锐角三角形，所以，， 则有：，则， 即，令，则，即 ， 令，， 由双勾函数的性质可得：， 所以， 所以的取值范围是. 18. 如图，在三棱柱中，是的中点． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面平面，且，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）连接，证出，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可得，利用面面垂直的性质定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证出. 【详解】证明：（1）连接， ∵是的中点，为的中点，四边形是平行四边形， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面 ∴平面． （2）∵是的中点，， ∴， ∵平面平面，平面， 平面平面， ∴平面， 又平面， ∴平面平面． 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理. （3）利用面面平行的性质. 证明面面垂直的方法： 证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明. 19. 已知的内角的对边分别为，且，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）选①，；选②， 【解析】 【分析】（1）由，可得为锐角，利用二倍角公式求解即可； （2）选①，由正弦定理可得，从而得，即可求得，代入求解即可；选②，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，代入求解即可. 【小问1详解】 因为，所以为锐角， 由，可得， 故； 【小问2详解】 选①，，为锐角，，， 由正弦定理，可得，即， 所以， 所以， 所以； 选②，，，，， 由正弦定理，可得，即， 由余弦定理，可得，即， 解得(负根舍去)， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$