河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷

**基本信息** 高一数学月考卷覆盖第六章至第十章，以基础题为主，融入社会热点情境（如“重庆呆呆刨猪汤”关注调查）和空间翻折问题，考查数学眼光观察现实、空间观念及推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量、概率、立体几何|基础概念辨析| |多选|3/18|复数、频率分布直方图、方差|选项分层考查| |填空|3/15|投影向量、正三棱台高、概率|空间与统计结合| |解答|5/77|向量运算、立体几何证明、统计、解三角形、翻折问题|翻折问题考查空间观念，统计题结合现实情境|

高一年级数学试卷参考答案 1．C 【详解】由，则. 2．B 【详解】由可得. 所以. 代入，得. 3．A 【详解】因为，，，所以，解得. 4．A 【详解】设该班女生人数为，则，解得， 所以该班女生人数为. 5．D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 6．C 【详解】因为，由正弦定理得， 又，所以，又，所以或. 7．C 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 8．D 【分析】若，作且，得异面直线与所成角的平面角为，过作的垂线，连接，易知过作垂线的垂足必重合，记为，再结合已知及余弦定理求异面直线的夹角余弦值. 【详解】如下图，若取，作且， 所以异面直线与所成角的平面角为， 过作于点，连接， 因,,易得≌，则， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 9．BCD 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 10．ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 11．ABD 【详解】由题意，，. 对于A，若，则， 所以，不满足题意， 则，，不可能都相等，故A正确； 对于B，，，的平均数为， 则方差为 ，故B正确； 对于C，由方差的性质可知，样本数据，，的方差为3， ，，的的方差也为3， 由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当时，取得最小值9，故D正确. 12． 【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为， 所以向量在单位向量上的投影为，即，所以.故答案为：. 13． 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为， 连接，过作交于， 因为，，则，， 又易知平面，所以平面，又易得， 所以，则， 在直角三角形中，，则， 所以正三棱台的高为. 14．/ 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5，4，3；5，4，2；5，4，1；5，3，2；5，3，1；4，3，2；共6种情况； 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5，2，1；4，3，1；4，2，1；3，2，1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况； 所以所求概率为 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量数量积可计算得出的值； （2）求出、的值，利用平面向量数量积可求得的值. 【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得， 所以，； （2）, ， 因此，. 16．(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 17．(1) (2)77；106 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差 （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 18．(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19．(1) （2）①略 ② 【详解】（1）根据题意可知，，且， 所以，且为二面角的平面角，即， . （2）①过点作交于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，， 且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面， 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面； 又平面，则. ②取的中点S，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得，所以， 在中，， 在中，， 在中，，因此， 化简得到， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 班级 姓名 考号 考场号 座位号 考试范围：第六章-第十章； 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．40 B． C． D． 2．已知事件，满足，，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.3 D．0.18 3．已知向量，，若，则（   ） A．-1 B．1 C．-9 D．9 4．某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（   ） A． B． C． D． 5．已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，则（   ） A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 10．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 11．已知一组样本数据，，的方差为3，则（   ） A．，，不可能都相等 B．，，的方差也为3 C．该组样本数据的平均数有最值 D．的最小值为9 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 13．在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 14．从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.（13分）已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 16.（15分）如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18.（15分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 18．（17分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若△ABC的面积为，求c． 19.（17分）如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 数学试卷 第 1 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学试卷 班级 姓名 考号 考场号 座位号 考试范围：第六章-第十章： 考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的。 1.已知==2+6i,则=() A.40 B.410 C.210 D.V10 2.已知事件A,B满足A三B,P(A=0.3,P(B)=0.6,则P(AUB)=() A.0.9 B.0.6 C.0.3 D.0.18 3.已知向量a=(-6,2),b=(3,2),若a/乃，则元=() A.-1 B.1 C.-9 D.9 4.某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人 参加学校公益社团，其中男生4人，则该班女生人数为() A.21 B.24 C.28 D.32 5.已知某圆锥的底面积为3π，母线长为2√3，则该圆锥的体积为() A.6π B.5π C.4 D.3π 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且simC= 2c,则4=() B c .5π 7.在三棱锥P-ABC中，AB=PC=2,其余棱长均为3，若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积为() A.9π B.10元 C.11π D.12π 数学试卷第1 8.如图，在直二面角C-AB-B中，E,F两点都在直线AB上，C, D两点分别在两个半平面内，∠AED=∠AFC=60°，则异面直线DE与 CF所成角的余弦值为() B D A.4 B. c.} D.月 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知复数51=1+1,22=2-3i,则() A.z1=-1+i B.在复平面内二2对应的点在第四象限 C.4-52=2+7i D. 五-1-5 3122 10.2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名)在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙按 猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤” 的关注程度，随机选取了100名年龄在[10,60]内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分 布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）() 频率组距 0.035 A.a=0.020 0.025 B.所调查市民年龄众数的估计值为40 0.010 C.所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D.所调查市民的平均年龄约为34.5岁 0'102030405060年龄（岁） 11.己知一组样本数据x,x2,x3的方差为3，则（) A.X,x2,七3不可能都相等 B.x+k,七+k,+k的方差也为3 C.该组样本数据的平均数有最值 D.x2+x2+x的最小值为9 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a在单位向量b上的投影向量为-2b,则a.b的值为 页（共2页） 13.在正三棱台ABC-AB,C中，AB,=6,AB=3,AA=23,则正三棱台ABC-AB,C1的高 为 14.从1,2,3,4,5中随机取出3个数，其和记为a,其余两个数之积为b,则a>b的概率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 15.(13分)已知d=1,5=2,ā与5的夹角为120， (1)求|2a+: (2)求向量2a+与向量a-b的夹角0的余弦值. 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC,D、E分别是棱BC、CC上的点（点 D不在BC的端点处)，且AD⊥DE,F为BC的中点 (1)求证：AD⊥平面BBCC: (2)求证：AF//平面ADE. B E D --B 18.(15分)某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享 单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 [50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，制成如图所示的频 频率 组距 0.035 率分布直方图！ 0.030 (1)求图中x的值： 0.010 (2)求这组数据的平均数与方差： 0.005 05060708090100满意度评分值/分 数学试卷第2页 (3)已知满意度评分值在[50,60)内的男性人数与女性人数的比为3：2.若在满意度评分值为 [50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 18.(17分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知simC=V2cosB,a2+b2-c2=√2b (1)求B: (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 19.(17分)如图所示，在直角梯形BCEF中，BFICE,∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上 的点，且AD/BC,ED=2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿AD向 上翻折，连接BE,BF,CE,在翻折的过程中，记二面角E-AD-C的大小为a,(0<<π). ()当t=2,a=时，求三棱锥B-ADC的体积： (2)若平面FBE⊥平面CBE. ①求证：BF⊥CE; ②求cosa的最小值. B (共2页)报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可竹形 ▣▣ 高一数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 L0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 1 改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 3] 答题区域书写无效。 4 [4] T51 [5] 6 [6] 正确填涂 ■ 缺考标记 [7] 8] 87 8] 87 8] [8] [9] 97 9] 9] 9] L9] [9] 9 [9] [9] 、 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、 多项选择题（每小题6分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) C F E D 17.(15分) 囚囚■ ■ ■ 18.(17分) ■ 囚■囚 ■ 口 19.(17分) E C B 囚■囚 ■