函数的单调性、奇偶性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性，通过高考真题与模拟题构建“定义应用-性质综合-迁移拓展”的方法体系，强化逻辑推理与数形结合的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性判断|3题（如Q1、Q9）|复合函数单调性法则、导数与单调性关系|从基本初等函数单调性到复合函数单调性的推导| |奇偶性应用|4题（如Q2、Q15）|奇偶性定义求解析式、性质简化运算|奇偶性与对称性的内在联系及应用拓展| |性质综合|5题（如Q6、Q16）|构造函数法、数形结合比较大小|单调性与奇偶性综合解决不等式及最值问题|

函数与导数 6月第三周，我们进行 2027届一轮复习(2)：函数的单调性、奇偶性 ，题目难度中等。 Q1：难度星级对应什么分数段？ A1：5星题[140,150] 4星题[125,150] 3星半题[100,150] 3星题(0,135] 3星以下题(0,90] 1．（广州市广东实验中学2023-2024学年高一上学期期中·★★★）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）2023届高三二模·★★★）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题·★★★）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（河北省部分地区2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷·★★★）已知函数，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（★★★）已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题·★★★☆）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期开学考试·★★★☆）已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025年高考全国一卷数学真题·★★★☆）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 9．（广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）·★★★）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 10．（湖北省武汉市2024-2025学年高一上学期1月期末·★★★）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若方程有两个不同的实数解，则 11．（★★☆）函数y＝的最大值为________． 12．（★★☆）函数的值域为_____ 13．（福建省莆田第十中学2023-2024学年高三上学期期中考试·★★★）函数的最大值为，最小值为，若，则______． 14．（★★★）设，则函数的最大值为______． 15．（甘肃省西北师大附中2024-2025学年高一上学期期末考试·★★★）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 16．（2026年高考全国1卷数学高考真题·★★★★）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 试卷第2页，共3页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D A A D B BD ACD 1．A 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间、求函数的单调区间 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 2．B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 3．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．D 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】构造并研究其奇偶性和单调性，由等价于，结合对数的性质即可确定参数范围. 【详解】令，易知其定义域为R， ， 所以为奇函数，且在上、、均递增， 所以在上单调递增，且函数在R上连续，故在定义域上递增， 由， 所以，显然该式在上恒成立， 所以. 故选：D 5．A 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据奇偶性和对称性可求得的对称轴为，从而可得的单调性；求得在时的最大值，根据函数单调性可得关于自变量的不等式，解不等式求得结果. 【详解】为偶函数    的对称轴为轴 则的对称轴为： 在上单调递减；在上单调递增 由得： 当时，     即 由单调性可知：，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数的奇偶性、对称性和单调性的应用，关键是能够将恒成立的式子转变为函数值的比较，从而变成自变量的不等关系. 6．A 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 7．D 【难度】0.4 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据题意任意，都有即，构造函数从而得在上单调递增，然后利用复合函数知识从而可得在单调递增，从而可求解. 【详解】因为若对任意，都有， 所以对任意，都有， 令，则在上单调递增． 首先. 因为在上递增，所以在上递增． 当时，显然符合题意； 当时，令， 则在上递增，所以，则. 综上所述，，故D正确． 故选：D． 8．B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 9．BD 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、求含cosx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据三角函数的性质确定的关系判断A；应用奇偶性定义判断B；由特殊值判断C；由，应用换元法及分式不等式的性质求函数的值域判断D. 【详解】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 10．ACD 【难度】0.4 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示：    因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 11． 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】令＝t，写出的范围，换元后根据对勾函数图象结合单调性即可求得结果. 【详解】令＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝＝， 设h(t)＝t＋，根据对勾函数的图象得h(t)在[2，＋∞)上为增函数， ∴h(t)min＝h（2）＝，∴y≤＝ (x＝0时取等号)．即y最大值为. 故答案为：.    【点睛】本题主要考查函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 12． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、斜率公式的应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果. 【详解】表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆， 表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为. 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值. 【详解】因为， 设， 则， 设， 则， 所以是上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 由，得， 故答案为： 14． 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、辅助角公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、利用函数单调性求最值或值域 【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案. 【详解】设，，两边平方得． 设，两边平方得， 则， 由于，，则，， 又由于在区间上单调递增， 所以当时,的最大值为， 则在区间上的最大值为． 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由奇函数定义计算即可得； （2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式； （3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立， 整理得，故； （2）解法一：由（1）知， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得； 所以此时不等式的解集为； 解法二：因为， 令，则可化简为， 即，即， 解得，即． 所以此时不等式的解集为； （3）在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 16． (1) （2）略 （3）（i）略 （ii）略 【难度】0.28 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数新定义 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则 ， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 答案第14页，共14页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $