2.3 一元二次方程的应用（知识解读）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的应用，系统梳理变化率、传染率、枝干、单双循环、销售利润、几何面积及动点与几何等8类实际问题，构建从实际情境抽象等量关系、建立方程模型的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 资料以题型归纳为特色，每个知识点配套例题与变式练习，如农业产量增长、流感传染等真实情境，培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维推理建模的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

2.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 2 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 3 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 4 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 4 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 5 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 7 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 9 【随堂检测】 11 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【变式1-1】某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【变式1-2】某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 【变式2-1】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【变式2-2】某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【变式2-3】有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． (1) 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【变式3-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【变式3-2】为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程______． 【变式3-3】10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给________个同学发了短信． 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【变式4-1】某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【变式4-2】某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 【变式4-3】在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___________． 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 【变式5-1】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【变式5-2】三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【变式5-3】元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例6】某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． (1)若销售单价为每件45元，求每天的销售量为 件； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【变式6-1】综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【变式6-2】小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【变式6-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例7】如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 【变式7-1】如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 【变式7-2】如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 【变式7-3】如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式8-1】在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【变式8-2】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 随堂检测c 1．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 5．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 6．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 8．期末即将到来，为激励大家，班主任要求班上每位同学给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小红所在的学习小组共写了56份留言，设该学习小组共有人，可列方程为_______． 9．在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 10．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙），用60米长的材料作为墙，当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ 11．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，求： (1)用含的代数式表示的面积； (2)当秒时，这时，、两点之间的距离是多少？ (3)当为多少秒时，？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 3 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 6 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 8 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 9 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 11 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 14 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 17 【随堂检测】 22 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 【变式1-1】某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【变式1-2】某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用增长率得到月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵设平均每月增长率为，月份产值为万元， ∴月份产值为万元， ∴月份产值为万元， 又∵已知月份产值为万元， ∴可列方程为 ． 【变式1-3】某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染 人． (2)人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． （1）设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． （2）根据（1）中答案进行解答即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． （2）由题意可得，（人）， 即第三轮共有人患流感． 【变式2-1】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 【变式2-2】某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13头生猪 (2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3天后生猪发病头数（每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 【变式2-3】有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑； (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台． 【分析】（）设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑，由经过两轮传播后共有台电脑被感染建立方程求出其解即可； （）根据题意求出经过四轮传播后被感染的电脑台数即可； 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑； （2）∵经过两轮传播后共有台电脑被感染， ∴经过三轮传播后被感染的电脑台数为：， 经过四轮传播后被感染的电脑台数为：， ∴若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台． 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个， 小分支有个． 根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得． 故答案为：． 【变式3-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 【变式3-2】为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 【变式3-3】10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给________个同学发了短信． 【答案】 【分析】设小童给x个同学发了短信，根据收到这条短信的同学共有人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：小童给x个同学发了短信， 依题意，得：， 解得：（舍去），． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【答案】7 【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建立方程求解，核心是避免航线的重复计算． 【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有个， 根据题意列方程：， 解得：，， 因为飞机场的数量为正整数，所以不符合实际意义，舍去． 【变式4-1】某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 【变式4-2】某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的班级数为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第一阶段参加比赛有个班级， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴第一阶段参加比赛有个班级， 故答案为：． 【变式4-3】在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设参加这次会议的人数是x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加这次会议的人数是x人，根据题意得： ， 解得：， 答：参加这次会议的人数是6人． 故答案为：6 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设参加比赛的球队有x支，利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：， 化简得． 故答案为：． 【变式5-1】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【答案】 30 【分析】设全班有名学生，可得每名同学需要给名同学写留言，根据总留言数为列出一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设全班有名学生， 根据题意，列方程得， 整理得， 解得，（舍去）， 则全班有名学生． 【变式5-2】三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 【变式5-3】元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键．设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡132张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有12人 故答案为：12． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例6】某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． (1)若销售单价为每件45元，求每天的销售量为 件； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】(1)70 (2)50元 【分析】（1）根据销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，列式计算即可； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：销售单价为每件45元时，每天的销售量为： （件）； （2）解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【变式6-1】综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)该品种葡萄每千克售价应上涨6元 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年种植面积的关系列方程求解即可； （2）设每千克售价上涨y元，先求出y的取值范围，再根据总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， ∵某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到， ∴， 解得：（负值舍去）； （2）解：设每千克售价上涨y元，则每千克利润为元，每周销售量为， ∵该品种葡萄售价不能超过每千克15元，售价应上涨， ∴， 解得， ∵每周销售该品种葡萄的利润为2240元， ∴， 解得：（舍去）， ∴该品种葡萄每千克售价应上涨6元． 【变式6-2】小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【答案】(1) (2)60元或70元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 【变式6-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例7】如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 【答案】(1)每个鸡舍的长为，宽为 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程即可求解； （2）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程，判断方程根的情况即可求解． 【详解】（1）解：设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，， 解得， 当时，，符合题意， ∴每个鸡舍的长． 答：每个鸡舍的长为，宽为． （2）解：不能，理由如下： 设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，，整理得， ∵，，， ∴， ∴无实数根， ∴三个鸡舍的总面积不能为． 【变式7-1】如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形，根据停车位（图中阴影部分）的占地面积为列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为． 【变式7-2】如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 【答案】 【分析】设水渠的宽为，则挖了水渠后的6个矩形小块可以拼成长为，宽为的矩形，据此列出方程，求解即可． 【详解】解：设水渠的宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：水渠的宽为． 【变式7-3】如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式8-1】在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 【变式8-2】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当 时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 【变式8-3】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握相关知识． （1）依题意得：，，当为等腰三角形时，只有，列出方程即可求解； （2）恰好把的面积平分，则可知，由此列方程解题即可 【详解】（1）解：依题意得：，， ， 当为等腰三角形时，， ， 解得：， 当时，为等腰三角形； （2）解：不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；理由如下： 依题意得：， ， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 随堂检测c 1．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 2．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 3．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程． 【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价元， ∴降价后每件的利润为元， ∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价元后每天多售出件， ∴降价后每天的销售量为件， ∵每天总盈利为1400元， ∴可列方程为． 4．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出原正方形和边长增加后新正方形的面积，再根据面积增加20平方尺的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形边长为尺， ∴原正方形面积为平方尺， ∵边长增加2尺后，新正方形边长为尺， ∴新正方形面积为平方尺， 又∵面积增加了20平方尺，即新面积比原面积大20平方尺， ∴列方程得 ． 5．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 6．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 7．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 8．期末即将到来，为激励大家，班主任要求班上每位同学给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小红所在的学习小组共写了56份留言，设该学习小组共有人，可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该学习小组有x人，则每人写份留言，共写份留言，由此即可列出方程． 【详解】解：设该学习小组有x人，则每人写份留言，共写份留言， ∴可列方程为． 故答案为：． 9．在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)降价8元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为，然后根据增长率计算公式建立方程求解； （2）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，再根据利润公式建立方程求解． 【详解】（1）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价8元时，月销售利润达8400元． 10．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙），用60米长的材料作为墙，当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ 【答案】当为12米时，矩形花园面积为300平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设米（），则米，由题意可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设米（），则米；由题意得： ， 解得：， 因，故舍去； 答：当为12米时，矩形花园面积为300平方米． 11．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，求： (1)用含的代数式表示的面积； (2)当秒时，这时，、两点之间的距离是多少？ (3)当为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)t为2秒或3秒时． 【分析】本题考查了直角三角形的面积公式、勾股定理、一元二次方程的应用个知识点，灵活应用方程思想是解题的关键． （1）将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）先求出当时，线段的长，利用勾股定理求P、Q两点之间即可； （3）在中，，，可得的面积，再由（1）可表示出的面积，进而得到一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，则， ∴的面积为； ∴． （2）解：根据题意得：， ∴当秒时，， ∵， ∴．，即当秒时，P、Q两点之间的距离是． （3）解：， ∴， 由（1）可得：， ∴，解得：或． ∴t为2秒或3秒时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $