2.1 一元二次方程 讲义 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理定义（含一个未知数、整式、最高次数2的三条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的概念，通过从识别方程到求参数、化一般形式再到应用解求值的脉络，以例题与变式题搭建学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，如例4结合表格数据判断方程的根培养抽象能力（数学眼光），题型5整体代入求值强化推理意识（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后随堂检测帮助学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

2.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】................................................................................................2 【题型3 一元二次方程的一般形式】............................................................................................................2 【题型4 一元二次方程的解】.......................................................................................................................3 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................4 【随堂检测】..................................................................................................................................................4 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【变式2-2】若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式2-3】方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】将方程化为一般形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-3】把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【变式4-2下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【变式4-3】若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【变式5-1】已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【变式5-2】已知为一元二次方程的根，那么的值是___________． 【变式5-3】若是方程的一个根，则的值为___________ 随堂检测c 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 4．将一元二次方程化为一般形式后，的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 6．已知a是方程的根，则代数式的值为（　　） A．4044 B． C．2024 D． 7．关于x的方程是一元二次方程，则________． 8．一元二次方程的常数项为_________． 9．已知是方程的一个根，则代数式的值是______． 10．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】................................................................................................3 【题型3 一元二次方程的一般形式】............................................................................................................4 【题型4 一元二次方程的解】.......................................................................................................................6 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................8 【随堂检测】..................................................................................................................................................9 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 【变式1-2】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 【变式1-3】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 【变式2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 【变式2-2】若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 【变式2-3】方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式3-1】将方程化为一般形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 通过移项即可整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式3-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 【变式3-3】把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 【变式4-1】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 【变式4-2下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 【变式4-3】若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【变式5-2】已知为一元二次方程的根，那么的值是___________． 【答案】17 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， 即， ∴． 故答案为：17． 【变式5-3】若是方程的一个根，则的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，求代数式的值，正确理解一元二次方程根的意义是解题的关键．根据一元二次方程根的意义，得到，整理得，然后将变形后即可求得答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为： 随堂检测c 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A，整理后为，是一元一次方程，不符合要求； 选项B，，是整式方程，只含一个未知数x，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； 选项C，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； 选项D，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合要求． 2．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，依据一元二次方程一般形式中各部分的定义确定一次项系数即可． 【详解】解：∵方程可变形为 ∴该方程的一次项系数是． 故选：B． 3．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 4．将一元二次方程化为一般形式后，的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握“通过移项、合并同类项将方程化为的形式”是解题的关键．将方程通过移项、合并同类项化为一般形式，再确定、、的值． 【详解】解：∵ 原方程为， ∴ 移项得， 合并同类项得， ∴与一般形式对比，得，，， 故选：A． 5．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 6．已知a是方程的根，则代数式的值为（　　） A．4044 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】根据a是方程的根，得到，整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及整体思想，是解题的关键． 7．关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 8．一元二次方程的常数项为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案． 【详解】解：一元二次方程 化成一般式为，常数项为， 故答案是：． 9．已知是方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】11 【分析】将x=a代入方程，求出，将多项式变形代入即可求出答案． 【详解】解：将x=a代入方程，得， ∴， ∴ =2（）+1 =11， 故答案为：11． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的定义，已知式子的值求代数式的值，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 10．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $