1.3 正方形的性质与判定（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，前承矩形、菱形的性质与判定，构建从平行四边形到特殊四边形的完整知识体系。通过定义、性质（整合平行四边形、矩形、菱形性质）、判定（多条件）及8类分层题型（求角度、线段长等）搭建学习支架。 该资料亮点在于题型设计注重几何直观（如折叠、重叠图形）和推理能力（判定证明），融入黄金构图法等实例培养应用意识。例题配变式分层训练，随堂检测助力课后查漏补缺，课中提升教学效率，课后强化知识掌握。

1.3 正方形的性质与判定（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】.......................................................................................................,.....1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】......................................................................................................,...4 【题型3 根据正方形的性质求面积】.........................................................................................................,...7 【题型4 正方形与折叠问题】.........................................................................................................................9 【题型5 求正方形重叠部分面积】..................................................................................................................12 【题型6 添一条件使四边形是正方形】..........................................................................................................16 【题型7 正方形的判定】.................................................................................................................................18 【题型8 正方形的性质与判定综合】...............................................................................................................21 【随堂检测】...................................................................................................................................................27 知识点1 正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【例1】如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1-1】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角，解题关键是根据正方形的性质得出． 由正方形性质得出，，再根据等边对等角即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ． 故选：． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 【例2】如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再在中，利用勾股定理求出对角线的长度． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 【变式2-1】如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 【变式2-2】摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据正方形的性质求线段长、勾股定理，求出是解题关键．由中点可得，再利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：，， ∵边上取中点E， ∴， ∴； 由题意得：， ∴， 故答案为： 【变式2-3】如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得，再根据勾股定理算出，因为，所以，再在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形对角线互相平分且相等， ∴ ∴， ∴， 则， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 【题型3 根据正方形的性质求面积】 【例3】正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形面积公式，解题的关键是掌握菱形面积公式（对角线乘积的一半）．根据正方形是特殊菱形的性质，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 正方形是特殊的菱形，对角线相等且互相垂直， ∴ 正方形面积 ， 故选：C． 【变式3-1】如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别为边的中点， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 【变式3-3】如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，由四边形，四边形是正方形，得，，然后通过即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 【题型4 正方形与折叠问题】 【例4】如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 【变式4-1】将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 【变式4-2】已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-3】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键．根据翻折的性质可知和全等，则，连接，可证，则， ，在中，设，根据勾股定理列出方程，可求出的值，从而求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【例5】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式5-1】如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为____.    【答案】6cm2 【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′， ∴平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为4-2=2cm，长为4-1=3cm， ∴S阴影部分=2×3=6 cm2， 故答案为6cm2. 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 【变式5-2】将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答. 【详解】解：如图， 连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点， 则，， ， ， ≌， 四边形AENF的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， 四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的． 【变式5-3】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 知识点2 正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型6 添一条件使四边形是正方形】 【例6】在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 【变式6-1】已知E，F，G，H分别是四边形四条边的中点，要使四边形为正方形，则四边形应该具备的条件一定是（    ） A．正方形 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等且互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定，解决本题的关键是掌握正方形的判定方法． 根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再根据正方形的定义即可判断求解． 【详解】解：根据题意画出图，如图所示， 要使四边形为正方形，四边形应具备的条件是对角线相等且互相垂直， 理由是：连接、，两线交于，如图所示， 根据三角形的中位线定理得：， ， 四边形一定是平行四边形， 若， ∵，， ∴，即， ∴为矩形． 若，则， ∴为菱形． ∴当且时，同时为矩形和菱形，即为正方形． 故选：D． 【变式6-2】如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 【题型7 正方形的判定】 【例7】如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【变式7-1】如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键．先证明四边形是矩形，再证四边形是正方形． 【详解】证明：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【变式7-2】如图，点是内一点，连接、，过点作于点．．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握菱形和正方形的判定定理是解题的关键．先根据全等三角形的性质得到边和角的关系，判定四边形是菱形，再结合垂直条件推出一个角为，进而证明其为正方形． 【详解】证明：， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， ，即， 四边形是正方形． 【变式7-3】如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 为的平分线， ． ． ． 矩形为正方形． 【题型8 正方形的性质与判定综合】 【例8】如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质. （1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 又， 和中 （） ； （2）解：∵ ∴ 又四边形是矩形 四边形是正方形 四边形的周长 【变式8-1】如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形； (2)． 【分析】（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴． 【变式8-2】如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式8-3】如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 随堂检测c 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 2．矩形、正方形、菱形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】利用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形分析判断即可． 【详解】解：由矩形对角线不互相垂直，也不能平分一组内角，菱形对角线长度不相等，则A、C、D都不是三者共有的性质；矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，因此B符合要求． 3．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴的原点上，若，则数轴上点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正方形的边长，即可得出，再根据点在数轴的正半轴得出答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴点E表示的数是． 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接，交于H点，如图，利用基本作图得到垂直平分，先根据正方形的性质得到，所以，然后根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 6．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 7．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 9.如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点Q，连接，则，可得当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点Q，连接，则， ∴， ∴当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可知，，， ， 在和中， ． (2) 【分析】（1）利用折叠与正方形性质得到直角和一组直角边相等，结合公共斜边，用证明两个直角三角形全等； （2）借助全等三角形和折叠的性质推出相等线段，设，然后表示出各边长，再用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，点是的中点， ， 由折叠的性质可知，， 据（1）知， ， 设，则，，， ， 在中，，即， 解得， ． 11．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，由可求出，运用勾股定理可得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， 又， ∴， ∴， 在中，． 即正方形的边长为． 12．如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，进而可证得； （2）根据正方形的性质和三角形外角和定理可解得，又有，即可求解． 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以，， 在和中， ， 所以； （2）解：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以， 又因为， 而，所以， 由（1）可知， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 正方形的性质与判定（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】.......................................................................................................,.....1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】......................................................................................................,...4 【题型3 根据正方形的性质求面积】.........................................................................................................,...7 【题型4 正方形与折叠问题】.........................................................................................................................9 【题型5 求正方形重叠部分面积】..................................................................................................................12 【题型6 添一条件使四边形是正方形】..........................................................................................................16 【题型7 正方形的判定】.................................................................................................................................18 【题型8 正方形的性质与判定综合】...............................................................................................................21 【随堂检测】...................................................................................................................................................27 知识点1 正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【例1】如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【变式1-1】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【变式1-3】如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 【例2】如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【变式2-1】如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是______． 【变式2-3】如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ． 【题型3 根据正方形的性质求面积】 【例3】正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 【变式3-1】如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为______． 【变式3-2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【题型4 正方形与折叠问题】 【例4】如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【变式4-1】将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【例5】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为____.    【变式5-2】将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【变式5-3】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点2 正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型6 添一条件使四边形是正方形】 【例6】在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知E，F，G，H分别是四边形四条边的中点，要使四边形为正方形，则四边形应该具备的条件一定是（    ） A．正方形 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等且互相垂直 【变式6-2】如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【变式6-3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【题型7 正方形的判定】 【例7】如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【变式7-1】如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 【变式7-2】如图，点是内一点，连接、，过点作于点．．求证：四边形是正方形． 【变式7-3】如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 【题型8 正方形的性质与判定综合】 【例8】如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【变式8-1】如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【变式8-2】如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【变式8-3】如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 随堂检测c 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 2．矩形、正方形、菱形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角 3．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴的原点上，若，则数轴上点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 8．如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 9．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 10．如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 12．如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $