1.2 矩形的性质与判定（知识解读）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，前承平行四边形性质，后启特殊四边形学习，以定义为起点，系统梳理矩形特有性质（对角线相等、四个角为直角）、直角三角形斜边中线性质及三种判定方法，构建完整知识支架。 资料通过8类分层题型（含折叠、综合应用等），结合例题与变式训练，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），判定证明题强化逻辑推理（数学思维），面积计算等问题渗透模型意识（数学语言）。课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

1.2 矩形的性质与判定（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】..............................................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】...........................................................................................................2 【题型3 根据矩形的性质求面积】...............................................................................................................3 【题型4 矩形与折叠问题】...........................................................................................................................4 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】.......................................................................................................6 【题型6 添一条件使四边形是矩形】...........................................................................................................7 【题型7 矩形的判定】..................................................................................................................................8 【题型8 矩形的性质与判定综合】...............................................................................................................9 【随堂检测】..................................................................................................................................................11 知识点1 矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，在矩形中，于点E，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，矩形的对角线，以点B为圆心，长为半径作弧，交于E，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为M，作射线与交点为F，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【例2】如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 【变式2-1】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【例3】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【变式3-2】如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，若矩形的面积为，平行四边形的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【题型4 矩形与折叠问题】 【例4】如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【变式4-1】如图，在长方形中，将沿折叠得到，交于点E．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点E是矩形边的中点，将沿对折成，延长交于点G，若，，则的长（   ） A．10 B． C．9 D． 【变式4-3】如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 知识点2 直角三角形斜边上上完中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD=. 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】 【例5】如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，点E是上的中点，于点D，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 知识点3 矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 【例6】如图，平行四边形的对角线，交于点，下列选项不能判定四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（   ） A． B． C． D．四边形是矩形 【变式6-3】如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【题型7 矩形的判定】 【例7】如图，在平行四边形中，，．垂足为．求证：四边形是矩形． 【变式7-1】已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【变式7-2】如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 【变式7-3】如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 【例8】如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【变式8-1】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【变式8-2】如图，的对角线相交于点O，是等边三角形． (1)求证：是矩形； (2)过点O作交于点M、N，，求的长． 【变式8-3】如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 随堂检测c 1．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 3．如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为_________． 11．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为______． 12．如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连接，，G为的中点，H为的中点，连接，则的最大值是_______________． 13．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 14．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 矩形的性质与判定（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】..............................................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】...........................................................................................................4 【题型3 根据矩形的性质求面积】...............................................................................................................7 【题型4 矩形与折叠问题】...........................................................................................................................10 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】.......................................................................................................14 【题型6 添一条件使四边形是矩形】...........................................................................................................16 【题型7 矩形的判定】..................................................................................................................................19 【题型8 矩形的性质与判定综合】...............................................................................................................22 【随堂检测】..................................................................................................................................................27 知识点1 矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，在矩形中，于点E，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质推出，再根据得，然后根据角的和差即可求解． 【详解】∵在矩形中，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【变式1-3】如图，矩形的对角线，以点B为圆心，长为半径作弧，交于E，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为M，作射线与交点为F，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设矩形的对角线交点为O，根据矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，垂线的基本作图，直角三角形的性质求解即可； 【详解】解：设矩形的对角线交点为O， 根据题意，得， ， ， 根据基本作图，得， ， 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【例2】如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出相等的边以及直角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵垂直平分于点E， ∴， ∴， 由勾股定理得． 【变式2-1】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，即可判定为等边三角形，则，求出对角线，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 【变式2-3】如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的性质知对角线相等和相互平分，结合垂直平分线的性质，得到等边三角形，根据等边三角形的性质和含直角三角形的性质得到长，从而得到的长，即的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【例3】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式3-1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 【变式3-2】如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，若矩形的面积为，平行四边形的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点H，由题意知：，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点H， 由题意知：，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据中位线的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵点、分别是的中点， ∴， 由题意可得：， ∴． 【题型4 矩形与折叠问题】 【例4】如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】设，根据折叠性质可知，用表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 【变式4-1】如图，在长方形中，将沿折叠得到，交于点E．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，再根据平行线的性质以及角度的和差关系即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到，， ∴， ∵长方形中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，点E是矩形边的中点，将沿对折成，延长交于点G，若，，则的长（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】连接，设，则，，根据勾股定理，得，求解即可； 【详解】解：连接， 矩形中，， ，， 因为点E是矩形边的中点， ， 根据折叠的性质，得， 故， ∵在和中 ， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故； 【变式4-3】如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 知识点2 直角三角形斜边上上完中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD=. 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】 【例5】如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而得到，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ， ， ∵， ∵D为的中点， ∴． 【变式5-1】如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 【变式5-2】如图，点E是上的中点，于点D，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长 【详解】解： 在中， 点是上的中点 是斜边上的中线 ． 【变式5-3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得到，，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，进而利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，则， ∵，， ∴，则， ∴菱形的面积为． 知识点3 矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 【例6】如图，平行四边形的对角线，交于点，下列选项不能判定四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可． 【详解】解：A、，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B、，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形，不符合题意； D、可判定平行四边形为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 【变式6-1】在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90度的平行四边形是矩形来分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故A选项不符合题意；. 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故B选项不符合题意； 由无法推出平行四边形满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C选项不符合题意； 当时，得平行四边形是矩形，故D选项符合题意； 【变式6-2】如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（   ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，解题关键是掌握这些定理，并能运用这些定理求解． 根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形各边中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 【变式6-3】如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【题型7 矩形的判定】 【例7】如图，在平行四边形中，，．垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形和平行线的性质，以及且垂足为，得到，从而证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∵，，垂足为， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【变式7-1】已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【变式7-2】如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵，D为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再结合得到，最后根据和得到四边形为矩形． 【详解】略 【变式7-3】如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】根据题意证明，得到，结合题意得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求证． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 【例8】如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 【变式8-2】如图，的对角线相交于点O，是等边三角形． (1)求证：是矩形； (2)过点O作交于点M、N，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明平行四边形的对角线相等即可； （2）先求出，而，则，设，则在中，由勾股定理建立方程求解，证明，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ∵是等边三角形 ∴ ∴， 是矩形； （2）解：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∵矩形中，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式8-3】如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 随堂检测c 1．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【详解】解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 3．如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形的性质得出，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出的度数，再代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】C 【分析】对比两种图形的性质，找出菱形特有而矩形不一定具有的性质即可． 【详解】解：∵菱形和矩形都是特殊的平行四边形， ∴二者都具有对边平行、对角相等的性质，可排除A，B选项． ∵矩形对角线相等但不一定互相垂直，菱形对角线互相垂直但不一定相等． ∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 7．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 8．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，则，在中，，解得，，故． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， 设，则， 在中，， 化简得，，即， 解得，， ． 9．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________． 【答案】40 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可以求出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的 性质可以求出，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，结合已知条件求出，判定为等边三角形，从而得出，再根据矩形对角线互相平分求解． 【详解】解：四边形为矩形 ，，， 为等边三角形 ． ． 12．如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连接，，G为的中点，H为的中点，连接，则的最大值是_______________． 【答案】 【分析】连接，，求出，，则求出的最大值即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴（三角形的中位线定理）， ∴当取得最大值时，也取得最大值， ∵在是边上的动点，且， ∴当点与点重合时，的值最大，最大值为， ∴的最大值是． 13．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据两组对边分别平行的条件，判定四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得到是直角，由此可证明该平行四边形是矩形； （2）根据菱形对角线互相平分的性质，求出和的长度；再利用矩形的性质，得到与相等，结合勾股定理计算的长度即可得到的长度． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， 、， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ． 14．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $