1.1 菱形的性质与判定（知识解读）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦初中数学菱形的性质与判定核心知识点，从菱形定义出发，系统梳理其边（四条边相等）、角（对角线平分对角）、对角线（垂直平分）等性质，延伸至面积计算（对角线乘积一半）及三种判定方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，通过例+变式题（如折叠求角度培养几何直观，判定证明题发展推理意识），结合随堂检测，助力学生用数学眼光观察图形，用数学思维推理逻辑，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺，提升综合应用能力。

1.1 菱形的性质与判定（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】................................................................................................................1 【题型2 根据菱形的性质求线段长】............................................................................................................4 【题型3 根据菱形的性质求面积】................................................................................................................6 【题型4 添一条件使四边形是菱形】............................................................................................................9 【题型5 菱形的判定】.................................................................................................................................12 【题型6 菱形的性质与判定综合】..............................................................................................................16 【随堂检测】..................................................................................................................................................21 知识点1 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 【变式1-1】如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形的性质：对角相等；四条边相等． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴． 【变式1-2】如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边对等角求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵菱形纸片，， ∴，， ∴， ∵将菱形纸片折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质证明，得出，利用菱形的性质以及线段垂直平分线的性质求出相关角的度数，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【例2】如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 【变式2-1】菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 【变式2-2】如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．25 B．5 C．20 D．20 【答案】D 【分析】根据题意可知，，在中，由勾股定理得，，即可求解菱形的周长． 【详解】解：，两点的坐标分别是，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为． 【变式2-3】如图，在菱形中，于点E，若菱形的周长为52，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后结合得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 知识点2 菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【例3】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 【变式3-1】如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质可得，，再在中，由勾股定理解得，然后根据进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【变式3-3】如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明得出垂直平分，进而证明是等边三角形，勾股定理求得，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，则 又∵ ∴ ∴，即 又∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴ ∴，则是等边三角形， ∴ ∴ ∴菱形的面积为 知识点3 菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【例4】如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据菱形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，添加，则四边形为矩形，不能判断四边形是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，添加能判断四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 【变式4-1】如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 如图，连接， ∴三角形和三角形的面积相等， ∴当点D在的平分线上，点D到的距离相等， ∴， ∴平行四边形是菱形； B，C，D不能得平行四边形是菱形． 故选：A． 【变式4-2】如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：当添加①时，无法证明四边形是菱形； 当添加②时，无法证明四边形是菱形； 当添加③时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 当添加④时，无法证明四边形是菱形； 故选：C． 【变式4-3】如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 【题型5 菱形的判定】 【例5】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点，即平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质证明． （2）根据菱形性质结合勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，四边形是菱形，，为菱形对角线，交于点， ∴，，互相平分， ∵，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式5-1】在中，点、是边和的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； (2)证明：连接， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （2）根据平分，得出，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边可得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，得到，据此可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， (2)证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，先证四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边相等得到结论． （2）先利用（1）的结论得到四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判定． 【详解】（1）略 （2）略 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【例6】如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）可添加，然后利用平行四边形的性质即可证明结论； （2）先证明是菱形，进而可得，得到，求出，作于点M，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：可添加：， 证明：∵， ∴， 在中， ∴； （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点M，如图， 则，， 在直角三角形中，， ∴． 【变式6-1】在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行线性质和角平分线定义得到，再由等角对等边及已知条件判定，进而由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形性质求出相关边及角度，在中，由勾股定理求出，再由平行四边形的判定与性质得出，最后在中，由勾股定理求出长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 【变式6-2】如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明：根据作图的过程可知：平分 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据作图的过程可知平分，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （2）连接交于点O，根据菱形的性质和，，即可求菱形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接交于点O 四边形是菱形 ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵四边形为菱形， ，， ，， ∴，而， ，， 菱形的周长为． 【变式6-3】如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用和垂直平分线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）先证明为等边三角形，然后在中求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，，． ． 垂直平分， ，． 在和中， （ASA）． ． 又， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵四边形是菱形， ，， 为等边三角形． ． 在中，，，由勾股定理，得 ． 四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的性质和判定、垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、角的性质及勾股定理．根据已知条件选择恰当的判定方法是解决问题的关键． 随堂检测c 1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，，点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先算出长度，利用菱形边长相等得、，然后根据勾股定理求出，再根据，且点在点左侧，得到点坐标． 【详解】解：点，， ，， 四边形为菱形， ， ， ，且点在点左侧， 点的坐标为． 2．如图，菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，则，，， 在中，，则由勾股定理可得， 菱形的周长为． 3．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据菱形的性质确定为的中点，再根据中位线定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O， ∴为的中点， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 4．如图，四边形是菱形，，，于，则等于（     ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 5．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 【答案】C 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】解：过点作于点E，于点，    根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长是． 6．如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 【答案】 【分析】结合菱形性质、等边三角形的判定与性质得到相关线段长度及垂直关系，在中，由勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，，则是等边三角形， 即， 菱形的对角线相互垂直平分， ，， 在中，，，则由勾股定理得， ∴． 7．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 8．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 9．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质得到，由，，利用勾股定理可求出，进而可得． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ． 10．小柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． (1)由以上作图可知，四边形的形状是________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的性质得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，菱形的周长为，对角线相交于点O，． (1)求对角线的长； (2)求菱形的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）菱形的四边相等，周长是20，则边长为5；根据菱形对角线互相垂直平分，可得，，运用勾股定理求出便可求出； （2）利用等积法求解，． 【详解】（1）解：菱形的周长为，对角线相交于点O， ，，，， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：如图，作于点E， ， ， 即菱形的高为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 菱形的性质与判定（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】................................................................................................................1 【题型2 根据菱形的性质求线段长】............................................................................................................2 【题型3 根据菱形的性质求面积】................................................................................................................3 【题型4 添一条件使四边形是菱形】............................................................................................................4 【题型5 菱形的判定】..................................................................................................................................6 【题型6 菱形的性质与判定综合】...............................................................................................................7 【随堂检测】..................................................................................................................................................9 知识点1 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【例2】如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 【变式2-2】如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．25 B．5 C．20 D．20 【变式2-3】如图，在菱形中，于点E，若菱形的周长为52，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 知识点2 菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【例3】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 知识点3 菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【例4】如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 【变式4-2】如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-3】如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【题型5 菱形的判定】 【例5】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【变式5-1】在中，点、是边和的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求证：四边形是菱形． 【变式5-2】如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【例6】如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【变式6-1】在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【变式6-2】如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【变式6-3】如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 随堂检测c 1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，，点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 4．如图，四边形是菱形，，，于，则等于（     ） A． B． C．5 D．4 5．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 6．如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 7．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 8．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 9．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 10．小柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． (1)由以上作图可知，四边形的形状是________． (2)若，求的度数． 11．如图，菱形的周长为，对角线相交于点O，． (1)求对角线的长； (2)求菱形的高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $