浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期高一数学期末统测模拟1

**基本信息** 杭州学军中学高一数学期末模拟卷，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，以“完整函数”新定义、立体几何翻折等创新题型，考查数学抽象、空间观念与逻辑推理，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、复数虚部、立体几何命题判断|基础概念辨析，如第3题空间线面关系推理| |多选题|4|概率独立事件、三角函数性质、正四面体外接球|第11题结合空间向量与截面问题，考查空间想象| |填空题|3|方程根与系数、函数不等式恒成立、最值计算|第13题含参不等式恒成立，体现数学思维严谨性| |解答题|5|三角函数单调性、统计频率分布直方图、立体几何翻折、函数综合|第18题翻折问题探究二面角与线面角，第16题统计数据处理，培养数据意识与应用能力|

《杭州学军中学2025学年第二学期高一数学期末统测模拟1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B D D B ABD BCD 题号 11 答案 ABD 7．【详解】由题，假设当时，，作出示意图如图所示：    则时，， 当时，，则A选项错误； 因为，，，故C选项错误， 且， 则结合图像可知，当时，恒成立，故B选项错误； 对于D选项，时，由图可知，则D选项正确. 故选：D. 8．【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 10．【详解】由题意得在角的终边上，且， 所以，， 则， ，所以不是函数的一条对称轴，A错误； ， 因为为周期为的函数，故B正确； ， 令， 所以， 当时，取到最大值为，所以，故C正确； 因为，则， 则，D正确. 故选：BCD 11．【详解】平面，平面平面，平面平面 则，，则 又平面，平面平面，平面平面 则，，则 则四边形为平行四边形. 由，可得，则， 又正四面体的棱长为3， 则， 选项A：四边形的周长为.判断正确； 选项B：当时，，，则平行四边形为菱形 又正四面体中，对棱，则， 则菱形为正方形. 判断正确； 分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ ， 设DN、CM交于K ，连接AK，则AK为正四面体的高 正四面体的棱长为3，其外接球的球心为,则在AK上，连接CO ，， 设球半径为R，则， 即，解之得 由，可得 同理有，则为异面直线之间的距离 ，则点到的距离为，球心到的距离为 选项C：当时，设与交于T，则，T到的距离为 球心到平面的距离为 则平面截球所得截面半径为 则平面截球所得截面的周长为.判断错误； 选项D：由， 可得点A到平面的距离为，又平行四边形为矩形， 则四棱锥的体积 令，则 由得，由，得 则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为 故四棱锥的体积的最大值为.判断正确. 故选：ABD 12．2 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 13． 【详解】由于，即恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 故为R上的奇函数； 而在R上单调递增， 故在R上单调递增， 又不等式对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 而，当且仅当即时取等号， 故. 14．4 15．【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 16．【详解】（1）由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，，，，，故平均数为 （2）由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故. 设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故 （3）由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为，则 17．【详解】（1）在矩形中，， ，即， 所以. （2）取的中点，连接，由依次为边的2025等分点， ， 得， 所以. 18．【详解】（1）因为四边形是正方形，为的中点， 所以，，又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）当是边的中点时，由（1）可知，， 又∵，， 由勾股定理得，故， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， 故二面角的大小为90°； （3）设在平面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角， 设（），则，， 在中，，，， 可得， ， 其中平面，，故， ， 因为，即， 又，所以， 令，，， 令，， ， 当，，且时，，，， 则， 可得在上单调递减， 当，即时，最大为. 19．【详解】（1）∵， ∴即为, 当时，，故，显然不成立； 当时，，故，即,解得. 综上所述，的解集为. （2）设，则， 令，整理得：， 故，且，得. ∴在 上单调递增， 所以， 即. （3） ①时，； ②时，； ③时，； ④时，， ∴. 综上所述， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期高一数学期末统测模拟1 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列命题中，错误的是（    ） A．函数的最大值为 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件 5．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（e为自然对数的底数），则（    ） A． B．，当时， C． D．，当时， 8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 二、多选题 9．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 C． D． 10．在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（    ） A．是函数的一条对称轴 B．函数是周期为的函数 C． D．若，则 11．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（    ） A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形 C．当时，截球所得截面的周长为 D．四棱锥的体积的最大值为 三、填空题 12．已知是方程的两个实根，则__________． 13．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为__________． 14．若为实数，则 的最小值为__________． 四、解答题 15．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 16．高一年级举行数学计算大赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示． (1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数； (2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差； (3)在第二组和第五组两个小组中，采用比例分配的分层随机抽样法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率． 17．如图，点分别是矩形的边上的点，． (1)若，求的取值范围； (2)若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值． 18．如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面SFD； (2)当F是边BC的中点时，二面角的大小； (3)若，将沿DE翻折到，沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求的最大值. 19．已知函数. (1)直接写出的解集； (2)若，其中，求的取值范围； (3)已知为正整数，求的最小值（用表示）. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $